Interpolação de Newton

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1 Interpolação de Newton Laura Goulart UESB 21 de Março de 2019 Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

2 Introdução As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos sucientemente próximos. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

3 Introdução As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos sucientemente próximos. Considere a função f (x) tabelada nos pontos x 0, x 1,..., x n. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

4 Introdução As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos sucientemente próximos. Considere a função f (x) tabelada nos pontos x 0, x 1,..., x n. A diferença dividida de ordem zero é denida por f [x k ] = f (x k ). Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

5 Introdução As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos sucientemente próximos. Considere a função f (x) tabelada nos pontos x 0, x 1,..., x n. A diferença dividida de ordem zero é denida por f [x k ] = f (x k ). Lembremos que f f (x) f (x 0 ) (x 0 ) = lim. x x 0 x x 0 Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

6 Introdução As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos sucientemente próximos. Considere a função f (x) tabelada nos pontos x 0, x 1,..., x n. A diferença dividida de ordem zero é denida por f [x k ] = f (x k ). Lembremos que f f (x) f (x 0 ) (x 0 ) = lim. x x 0 x x 0 A diferença dividida de 1 a ordem é denida como uma aproximação da 1 a derivada, ie, f [x, x 0 ] = f (x) f (x 0).(1) x x 0 Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

7 Fazendo x = x 1 em (1) têm-se a diferença dividida de 1 a ordem em relação aos argumentos x 0, x 1 : f [x 1, x 0 ] = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

8 Fazendo x = x 1 em (1) têm-se a diferença dividida de 1 a ordem em relação aos argumentos x 0, x 1 : f [x 1, x 0 ] = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0. De modo geral, a diferença dividida de ordem i é dada por f [x k+i,..., x k+1, x k ] = f [x k+i,..., x k+1 ] f [x k+i 1,..., x k ] x k+i x k Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

9 Tabela das diferenças divididas x ordem 0 ordem 1 ordem 2... ordem n x 0 f [x 0 ]... x 1 f [x 1 ] f [x 1, x 0 ]... x 2 f [x 2 ] f [x 2, x 1 ] f [x 2, x 1, x 3 ] x n f [x n ] f [x n, x n 1 ] f [x n, x n 1, x n 2 ]... f [x n,..., x 0 ] Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

10 Exemplo Dada a função tabelada abaixo, construa a tabela de diferenças divididas. x f(x) Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

11 Exemplo Dada a função tabelada abaixo, construa a tabela de diferenças divididas. x f(x) Tabela: Tabela das diferenças divididas x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem , , , 41 6 Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

12 Observação Podemos provar que as diferenças divididas satisfazem f [x k,..., x 0 ] = f [x jk,..., x j0 ], onde j k,..., j 0 é uma permutação dos indíces de 0,..., k. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

13 Forma de Newton para o polinômio interpolador Vamos construir sucessivamente os polinômios p k (x) para k = 0,..., n. Para k=0, tome x x 0. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

14 Forma de Newton para o polinômio interpolador Vamos construir sucessivamente os polinômios p k (x) para k = 0,..., n. Para k=0, tome x x 0. A expressão (2) não pode ser usada diretamente, pois não podemos calcular o valor de f [x, x 0 ]. Como p 0 (x) f (x) podemos concluir que E 0 (x) = f (x) p 0 (x) = (x x 0 ) f [x, x 0 ] é o erro de truncamento obtido. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

15 Para k=1, tome x x 0 e x x 1. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

16 Para k=1, tome x x 0 e x x 1. Podemos vericar que p 1 (x) = f (x 0 ) + (x x 0 ) f [x 1, x 0 ] e portanto, E 1 (x) = (x x 0 )(x x 1 ) f [x, x 1, x 0 ]. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

17 Por recorrência, temos que: 1 p n (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f [x 0, x 1 ] (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) f [x 0, x 1,..., x n ]. 2 E n (x) = (x x 0 ) (x x n ) f [x 0,..., x n, x]. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

18 Exemplo x f(x) Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

19 Exemplo x f(x) Tabela: Tabela de Diferenças Divididas x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem , ,3333 0, ,75-0,1548-0,0135 Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

20 Exemplo x f(x) Tabela: Tabela de Diferenças Divididas x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem , ,3333 0, ,75-0,1548-0,0135 p 3 (x) = f (x 0 ) + (x x 0 ) f [x 1, x 0 ] + (x x 0 )(x x 1 ) f [x 2, x 1, x 0 ]+ +(x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )f [x 3, x 2, x 1, x 0 ] = = 2 + 0, 5x 0, 0333x(x 2) 0, 0135x(x 2)(x 5) Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

21 Escolha do Grau Deve-se em primeiro lugar construir a tabela de diferenças divididas. Em seguida, examinar as diferenças divididas da função na vizinhança do ponto de interesse. Se nesta vizinhança as diferenças divididas de ordem k são praticamente constantes (ou se as diferenças divididas de ordem (k+1) variarem em torno de zero), podemos concluir que um polinômio interpolador de grau k será o que melhor aproximará a função na região considerada na tabela. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

22 Escolha do Grau Deve-se em primeiro lugar construir a tabela de diferenças divididas. Em seguida, examinar as diferenças divididas da função na vizinhança do ponto de interesse. Se nesta vizinhança as diferenças divididas de ordem k são praticamente constantes (ou se as diferenças divididas de ordem (k+1) variarem em torno de zero), podemos concluir que um polinômio interpolador de grau k será o que melhor aproximará a função na região considerada na tabela. Exemplo Consideremos f (x) = x tabelada abaixo com quatro casas decimais. x 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 f(x) 1 1,005 1,01 1,0149 1,0198 1,0247 Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

23 x Ordem 0 Ordem 1 Ordem ,01 1,005 0,5 1,02 1,01 0,5 0 1,03 1,0149 0,49 0,5 1,04 1,0198 0,49 0 1,05 1,0247 0,49 0 Tabela: Tabela de Diferenças Divididas Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

24 x Ordem 0 Ordem 1 Ordem ,01 1,005 0,5 1,02 1,01 0,5 0 1,03 1,0149 0,49 0,5 1,04 1,0198 0,49 0 1,05 1,0247 0,49 0 Tabela: Tabela de Diferenças Divididas Assim, no intervalo [1; 1, 05] dizemos que um polinômio de grau 1 é uma boa aproximação para f (x) = x. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

25 Estimativa para o erro Se a função f (x) é dada na forma de tabela, o valor absoluto do erro E n (x) só pode ser estimado. Isto porque, neste caso, não é possível calcular M = max f (n+1)(x) ; mas, se construirmos a tabela de x 0 x x n diferenças divididas até a ordem n + 1, podemos usar o maior valor (em módulo) K destas diferenças como uma aproximação para M (n + 1)! no intervalo [x 0, x n ]. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

26 Estimativa para o erro Se a função f (x) é dada na forma de tabela, o valor absoluto do erro E n (x) só pode ser estimado. Isto porque, neste caso, não é possível calcular M = max f (n+1)(x) ; mas, se construirmos a tabela de x 0 x x n diferenças divididas até a ordem n + 1, podemos usar o maior valor (em módulo) K destas diferenças como uma aproximação para M (n + 1)! no intervalo [x 0, x n ]. Portanto, E n ( x) K n x x i. i=0 Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

27 Exemplo Seja f (x) a função tabelada abaixo: x 0,2 0,3 0,5 f(x) 2,008 4,064 5,125 Dê uma estimativa para o erro para x = 0, 4. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

28 Exemplo Seja f (x) a função tabelada abaixo: x 0,2 0,3 0,5 f(x) 2,008 4,064 5,125 Dê uma estimativa para o erro para x = 0, 4. Tabela: Tabela de diferenaças divididas x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 0,2 2,008 0,3 4,064 20,56 0,5 5,125 5,305-50,85 Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

29 Observações Finais Vantagens: Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

30 Observações Finais Vantagens: Os cálculos são mais simples do que no método de Lagrange. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

31 Observações Finais Vantagens: Os cálculos são mais simples do que no método de Lagrange. É possível calcular uma estimativa para o erro Desvantagem: Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16

32 Observações Finais Vantagens: Os cálculos são mais simples do que no método de Lagrange. É possível calcular uma estimativa para o erro Desvantagem: Quando possuímos um mesmo conjunto nós, mas com imagens diferentes, para serem interpolados, é mais vantajoso o emprego da fórmula de Lagrange. Laura Goulart (UESB) Interpolação de Newton 21 de Março de / 16