étodos uméricos ZEROS DE FUNÇÕES DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 étodos uméricos ZEROS DE FUNÇÕES DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 2016

2 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática No cálculo das raizes baseado na aproximação da função f(x) por um PI de grau 1, a estimativa da raiz é o ponto onde a reta intercepta o eixo das abscissas. Estimativa pode ser ainda melhor utilizando um polinômio de grau 2.

3 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática 1 Método de Muller: Consiste em aproximar f(x), na vizinhança da raiz [x 0, x 2 ], por um polinômio quadrático. Polinômio construído de modo a passar pelos três pontos de coordenadas [x 0, f(x 0 )], [x 1, f(x 1 )] e [x 2, f(x 2 )]. O zero do polinômio usado como uma estimativa da raiz de f(x) = 0. Processo é repetido usando sempre os três pontos mais próximos da raiz. Dados os três pontos de coordenadas: Polinômio do segundo grau

4 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática com Para cada um dos três pontos

5 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

6 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática Definindo Sistema linear em termos das incógnitas a e b Solução sendo r = h 1 /h 2 e

7 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática Dois zeros do polinômio de grau 2 em v Para ser obtida a raiz mais próxima de x i-1, o sinal na expressão deve ser escolhido de modo a tornar o numerador o menor possível. Em vista de v = x-x i-1, a próxima estimativa da raiz de f(x) = 0 é Na próxima iteração, devem ser utilizados os três pontos mais próximos de.

8 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática Exemplo: Determinar a raiz da função a seguir com com 0.001, sabendo-se que [-1, 2]. Raiz da equação é

9 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática Exemplo: Determinar a raiz da função a seguir com com 10-10, sabendo-se que [10, 12]. Raiz da equação é

10 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática 2 Método de van Wijngaarden-Dekker-Brent (vwdb): Resultado da combinação da interpolação inversa quadrática e da bisseção. Implementados de forma a garantir que a raiz continue sempre isolada. Na interpolação quadrática, a forma analítica de um polinômio P 2 (x) f(x) = y é determinada a partir de três pontos de coordenadas Para obter um valor aproximado de f(t), basta avaliar P 2 (t). Na interpolação inversa quadrática, o PI de grau 2, 2 (y) f -1 (y) = x, é construído a partir dos pontos de coordenadas

11 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática Para ter um valor aproximado de f -1 (z) é necessário avaliar 2 (z). Utilizando o polinômio de Lagrange 2 (y) é: Como y = f(x) x = f -1 (y), então uma aproximação da raiz de f(x) = 0 é o ponto de abscissa correspondente à f -1 (0). Esta aproximação é dada por x = 2 (0).

12 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática Exemplo: Calcular a menor raiz da função a seguir com com 10-10, sabendo-se que [-5, -3]. A menor raiz da equação é

13 Métodos Baseados em Aproximação Quadrática Exemplo: Calcular a raiz da função a seguir com com 10-10, sabendo-se que [10, 12]. A raiz procurada é A convergência pelo método é garantida desde que haja uma raiz no intervalo. Esquema robusto e eficiente.

14 Métodos Baseados em Tangente Exceto o método da Bisseção, os outros são uma aproximação de f(x) por polinômios lineares e quadráticos. Métodos baseados no cálculo da tangente à curva de f(x): Método de Newton e Método de Schröder.

15 Métodos Baseados em Tangente 1 Método de Newton: Seja a única raiz de f(x) = 0 no intervalo [a, b]. Seja x k uma aproximação desta raiz sendo que x 0 [a, b]. As derivadas f (x) e f (x) devem existir, ser contínuas e com sinal constante neste intervalo. Geometricamente o método de Newton é equivalente a aproximar um arco da curva por uma reta tangente traçada a partir de um ponto da curva. Seja a curva a seguir na qual:

16 Métodos Baseados em Tangente Fórmula de recorrência do método de Newton

17 Métodos Baseados em Tangente A fórmula de Newton também pode ser obtida analiticamente: tal que k tenha um valor pequeno. Fazendo uma expansão em série de Taylor Substituindo essa correção Pela figura, a sequência produzida convergirá para a raiz se o valor inicial for x 0 = b. Processo pode não convergir se x 0 = a, pois se terá x 1 [a, b]. Escolha do valor inicial deve garantir a convergência.

18 Métodos Baseados em Tangente Teorema (Convergência) Se f(a)f(b) < 0, e f (x) e f (x) forem não nulas e preservarem o sinal em [a, b], então partindo da aproximação inicial x 0 [a, b] tal que é possível construir uma sequência {x i } que convirja para a raiz de f(x) = 0. Valor inicial x 0 deve ser um ponto no qual a função tenha o mesmo sinal de sua derivada segunda. Se f (x 0 ) > 0, então x 0 é tal que f(x 0 ) > 0. Se f (x 0 ) < 0, então f(x 0 ) < 0.

19 Métodos Baseados em Tangente Exemplo: Calcular a maior raiz da função a seguir com Sabe-se que [2, 4], f(2) < 0 e f(4) > 0. As derivadas são: Valor inicial: x 0 = 4, pois P(4)P (4) > 0.

20 Métodos Baseados em Tangente Raiz da equação é:

21 Métodos Baseados em Tangente Exemplo: Calcular uma raiz positiva da função a seguir com Esboço da curva: [1, 2], f(1) > 0 e f(2) < 0.

22 Métodos Baseados em Tangente As derivadas são: Valor inicial: x 0 = 2, pois P(2)P (2) > 0. Raiz da equação é:

23 Métodos Baseados em Tangente 1 Método de Schröder: Método de Newton apresenta convergência linear quando uma raiz tem multiplicidade m > 1, pois: pela fórmula à medida que Uma modificação simples permite o cálculo de uma raiz de multiplicidade m

24 Métodos Baseados em Tangente Exemplo: Calcular a raiz da função a seguir com 10-5 multiplicidade m = 3. e de Esboço da curva: [0, 2]

25 Métodos Baseados em Tangente As derivadas são: Valor inicial: x 0 = 2, pois P(2)P (2) > 0. Raiz da equação é: Método de Newton gasta 27 iterações para calcular esta raiz com a mesma tolerância 10-5.

26 Comparação dos Métodos Cinco equações e intervalo que isola a raiz Utilizados o mesmo número máximo de iterações (500), tolerância ( = ). Para o método de Newton, x 0 foi escolhido como o ponto médio do intervalo dado.

27 Comparação dos Métodos

28 Comparação dos Métodos

29 Comparação dos Métodos

30 Comparação dos Métodos

31 Comparação dos Métodos

32 Comparação dos Métodos Bisseção mostrou sua robustez, pois não falhou, apesar de não ser o mais eficiente. Secante, embora seja rápida, encontrou uma raiz fora do intervalo dado. Regula falsi apresentou uma convergência muito lenta e falhou três vezes. Pégaso, além de ser robusto, foi competitivo com relação ao van Wijngaarden-Dekker-Brent. Muller não foi robusto, embora eficiciente, pois falhou nos casos onde a raiz possui multiplicidade. Van Wijngaarden-Dekker-Brent foi robusto, mas também foi menos eficiente na presença de multiplicidade. Schroder é uma efetiva modificação do método de Newton para evitar problemas com raízes de multiplicidade.

33 Referencias Bibliográficas 1. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.