Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo temático Interpolação

3 Conteúdo específico Instabilidade Numérica Polinômios malcondicionados Fenômeno de Runge Algumas observações úteis Exercícios

4 Interpolação Mas a interpolação, não importando a técnica, pode apresentar problemas...

5 Interpolação Mas a interpolação, não importando a técnica, pode apresentar problemas... Como qualquer criação humana...

6 Interpolação Para este estudo usaremos o Maxima mais uma vez Mal_poli onde veremos uma questão numérica que os polinômios carregam

7 Interpolação Polinômios podem ser mal-condicionados e o condicionamento tende a piorar com o aumento do grau

8 Fenômeno de Runge Interpolemos a função f (x)= x 2 no intervalo [-1,1] com pontos igualmente espaçados usando 3, 5, 7 e 9 pontos.

9 Fenômeno de Runge O efeito da interpolação com mais e mais pontos igualmente espaçados está representado na figura

10 Fenômeno de Runge Observe que a interpolação piora como um todo quando aumentamos o grau do polinômio interpolante A interpolação melhora na parte próxima ao centro da figura A interpolação piora nos extremos do intervalo de interpolação

11 Fenômeno de Runge Para este estudo usaremos o Maxima mais uma vez Exemplo_de_Runge4 Runge_derivadas O_porque Leve em conta a fórmula de erro para a interpolação que apresentamos anteriormente

12 Fenômeno de Runge Deste estudo chegamos a três questões: Não controlamos as derivadas da função original Usar pontos igualmente espaçados pode gerar problemas Os pontos calculados nos extremos do intervalo de interpolação são mais sensíveis a apresentarem problemas

13 Interpolação Num resumo: compreendamos o problema no qual estamos trabalhando devemos encarar cada problema como único todas as técnicas, numéricas ou não, tem suas limitações Use pontos extras nos extremos

14 Interpolação Interpolação: como usar Estude a natureza do seu problema Evite usar polinômios de ordem alta (n>10) Verifique qual a técnica mais adequada em termos computacionais

15 Interpolação Interpolação: como usar as técnicas aqui apresentadas Se o polinômio é necessário na forma canônica, vá pela solução do sistema Se o número de valores a serem interpolados é menor que o número de pontos interpolantes, use Lagrange Se os pontos são igualmente espaçados, use Newton-Gregory

16 Interpolação Interpolação: como usar as técnicas aqui apresentadas Se o número de valores a serem interpolados é maior que o número de pontos interpolantes, resolva o sistema e use o algoritmo de Horner Se você necessitar adicionar pontos, use Newton-Gregory

17 Interpolação Interpolação: como usar as técnicas aqui apresentadas Se o número de valores a serem interpolados é maior que o número de pontos interpolantes, resolva o sistema e use o algoritmo de Horner Se você necessitar adicionar pontos, use Newton-Gregory Estas regras são gerais e podem não valer para um caso específico

18 Interpolação Vamos a um exercício...

19 Interpolação Mais um Exemplo Dada a função tabelada abaixo, dê a melhor estimativa possível para o ponto de máximo. Justifique seus procedimentos. x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24

20 Interpolação Mais um Exemplo Dada a função tabelada abaixo, dê a melhor estimativa possível para o ponto de máximo. Justifique seus procedimentos. O que se quer? x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24

21 Interpolação Mais um Exemplo Dada a função tabelada abaixo, dê a melhor estimativa possível para o ponto de máximo. Justifique seus procedimentos. O que se quer? Para o que se quer? x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24

22 Interpolação Mais um Exemplo Dada a função tabelada abaixo, dê a melhor estimativa possível para o ponto de máximo. Justifique seus procedimentos. O que se quer? Para o que se quer? O que temos? x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24

23 Interpolação Mais um Exemplo Dada a função tabelada abaixo, dê a melhor estimativa possível para o ponto de máximo. Justifique seus procedimentos. x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24 O que se quer? Para o que se quer? O que temos? Qual a técnica mais conveniente ao problema?

24 Interpolação Mais um Exemplo x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24 Observe que necessitamos do ponto de máximo de uma função que não temos.

25 Interpolação Mais um Exemplo x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24 Observe que necessitamos do ponto de máximo de uma função da qual não temos a expressão. Para obter uma aproximação da função usaremos interpolação. Os pontos igualmente espaçados nos sugere Newton-Gregory?

26 Interpolação Mais um Exemplo x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24 Observe que necessitamos do ponto de máximo de uma função da qual não temos a expressão. Para obter uma aproximação da função usaremos interpolação. Os pontos igualmente espaçados nos sugere Newton-Gregory? Claro que não!

27 Interpolação Mais um Exemplo x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24 Observe que necessitamos do ponto de máximo de uma função da qual não temos a expressão. Para obter uma aproximação da função usaremos interpolação. Os pontos igualmente espaçados nos sugere Newton-Gregory? Claro que não! Nosso objetivo só é possível se derivarmos o polinômio Derivar o polinômio dado por Newton-Gregory é mais trabalhoso que na forma canônica

28 Interpolação Mais um Exemplo Nosso objetivo só é possível se derivarmos o polinômio Derivar o polinômio dado por Newton-Gregory é (assim como achar as raizes deste polinômio) mais trabalhoso que na forma canônica

29 Interpolação Mais um Exemplo x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24 Como desejamos a melhor estimativa possível, usaremos todos os pontos

30 Interpolação Mais um Exemplo x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24 Resolvamos o sistema para determinar os coeficientes do polinômio interpolador, no caso, de grau 3. (1 2 x0 x0 2 1 x 1 x x 2 x 2 1 x 3 x x 0 3 x 1 3)( a0 a 1 3)=( y0 y 1 3) 3 x 2 a 2 y 2 x 3 a y

31 Interpolação Mais um Exemplo Teremos para os pontos dados e daí o sistema x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24 (1 0,6 0,36 0, ,1 1,21 1, ,6 2,56 4, ,1 4,41 9,261) ( a0 a 1 3)=( a 2 a 2,341 ) 2,491 2,451 2,24

32 Interpolação Mais um Exemplo Resolvendo... (1 0,6 0,36 0, ,1 1,21 1, ,6 2,56 4, ,1 4,41 9,261) ( a0 a 1 3)=( a 2 a 2,341 ) 2,491 2,451 2,24. m 21 = 1/1= 1 m 31 = 1/1= 1 m 41 = 1/1= 1

33 Interpolação Mais um Exemplo Resolvendo... (1 0,6 0,36 0, ,1 1,21 1, ,6 2,56 4, ,1 4,41 9,261) ( a0 a 1 3)=( a 2 a 2,341 ) 2,491 2,451 2,24. m 21 = 1/1= 1 m 31 = 1/1= 1 m 41 = 1/1= 1 (1 0,6 0,36 0,216 ) 0 0,5 0,85 1, ,2 3,88 0 1,5 4,05 9,045 ( a0 a 1 3)=( a 2 a 2,341 0,15 0,11 0,101).. m 32 = 1/0,5= 2 m 42 = 1,5/0,5= 3

34 Interpolação Mais um Exemplo Resolvendo... (1 0,6 0,36 0,216 ) 0 0,5 0,85 1, ,5 1, ,5 5,7 (a0 a 1 3)=( a 2 a 2,341 0,15 0,19 0,551)... m 43 = 1,5/0,5= 3

35 Interpolação Mais um Exemplo Resolvendo... (1 0,6 0,36 0,216 ) 0 0,5 0,85 1, ,5 1, ,5 5,7 (a0 a 1 3)=( a 2 a 2,341 0,15 0,19 0,551)... m 43 = 1,5/0,5= 3 (1 0,6 0,36 0,216 ) 0 0,5 0,85 1, ,5 1, ,75 (a0 a 1 3)=( a 2 a 2,341 ) 0,15 0,19 0,019

36 Interpolação Mais um Exemplo ( 1 0,6 0,36 0,216 ) 0 0,5 0,85 1, ,5 1, ,75 ( )=( a0 a 1 a 2 a 3 2,341 ) 0,15 0,19 0,019 Observe que o fato dos pontos serem ordenados e igualmente espaçados facilita os cálculos

37 Interpolação Mais um Exemplo Resolvendo... ( 1 0,6 0,36 0,216 ) 0 0,5 0,85 1, ,5 1, ,75 ( a0 a 1 3)=( a 2 a 2,341 ) 0,15 0,19 0,019 0,75 a 3 =0,019 a 3 =0,019/0,75=0,025 33

38 Interpolação Mais um Exemplo Resolvendo... ( 1 0,6 0,36 0,216 ) 0 0,5 0,85 1, ,5 1, ,75 ( a0 a 1 3)=( a 2 a 2,341 ) 0,15 0,19 0,019 0,75 a 3 =0,019 a 3 =0,019/0,75=0, ,5 a 2 +1,65 a 3 = 0,19 a 2 = 1 ( 0,19 1,65 0, )= 0,4636 0,5

39 Interpolação Mais um Exemplo Resolvendo... ( a0 a 1 3)=( a 2 a ( 1 0,6 0,36 0,216 ) 2,341 ) 0 0,5 0,85 1,115 0, ,5 1,65 0, ,75 0,019 0,75 a 3 =0,019 a 3 =0,019/0,75=0, ,5 a 2 +1,65 a 3 = 0,19 a 2 = 1 0,5 ( 0,19 1,65 0, )= 0,4636 0,5 a 1 +0,85 a 2 +1,115 a 3 =0,15 a 1 = 1 0,5 [ 0,15 0,85 ( 0,4636) 1,115 0, ]=1,

40 Interpolação Mais um Exemplo Resolvendo... ( a0 a 1 3)=( a 2 a ( 1 0,6 0,36 0,216 ) 2,341 ) 0 0,5 0,85 1,115 0, ,5 1,65 0, ,75 0,019 0,75 a 3 =0,019 a 3 =0,019/0,75=0, ,5 a 2 +1,65 a 3 = 0,19 a 2 = 1 ( 0,19 1,65 0, )= 0,4636 0,5 0,5 a 1 +0,85 a 2 +1,115 a 3 =0,15 a 1 = 1 0,5 [ 0,15 0,85 ( 0,4636) 1,115 0, ]=1, a 0 +0,6 a 1 +0,36 a 2 +0,215 a 3 =2,341 a 0 =2,341 0,6 1, ,36 ( 0,4636) 0,216 0,025(33)=1,883448

41 Interpolação Mais um Exemplo Polinômio interpolador p 3 (x)=1, , x 0,4636 x 2 +0,02533 x 3 Derivando para determinar o máximo...

42 Interpolação Mais um Exemplo Polinômio interpolador p 3 (x)=1, , x 0,4636 x 2 +0,02533 x 3 Derivando para determinar o máximo... p 3 (x) ' =1, ,9272 x+0,076 x 2 =0 x= ( 0,9272)± ( 0,9272) 2 4 0,076 1, ,076 = 0,9272± 0, ,152

43 Interpolação Mais um Exemplo As raízes da derivada do polinômio interpolador são 10, e 1, Observe que somente um destes pontos está dentro do intervalo de interpolação x 0,6 1,1 1,6 2,1 y 2,341 2,491 2,451 2,24 A resposta do problema é aproximadamente 1,238

44 Interpolação A inexperiência num assunto pode nos levar a agir impulsivamente o que, algumas vezes, resulta em dificuldades

45 Interpolação A inexperiência num assunto pode nos levar a agir impulsivamente o que, algumas vezes, resulta em dificuldades O foco deve estar no problema e não na nossa pretensa comodidade

46 Interpolação A inexperiência num assunto pode nos levar a agir impulsivamente o que, algumas vezes, resulta em dificuldades O foco deve estar no problema e não na nossa pretensa comodidade Observe que o sistema de equações gerado na interpolação é mais simples que um sistema genérico

47 Interpolação A inexperiência num assunto pode nos levar a agir impulsivamente o que, algumas vezes, resulta em dificuldades O foco deve estar no problema e não na nossa pretensa comodidade Observe que o sistema de equações gerado na interpolação é mais simples que um sistema genérico Usar poucas casas decimais nem sempre facilita resolver o problema

48 Interpolação Tópico avançado Resolução eficiente do sistema com a matriz de Vandermonde (1 2 3 n x 0 x 0 x 0 x n 1 x 1 x 1 x 1 x n 1 x 2 x 2 x 2 x 2 n)( )=( y0 a 1 y 1 a 2 y n) n 1 x 3 x 3 x 3 x 3 a 3 y x n x n x n x a n n y Já tínhamos observado que a estrutura desta matriz poderia proporcionar uma maneira mais eficiente na sua resolução a0

49 Interpolação Resolução eficiente m. Vandermonde Resolução eficiente do sistema com a matriz de Vandermonde Aqui apresentaremos o pseudocódigo que pode ser encontrado no livro Matrix Computations de Gene H. Golub e Charles F. Van Loan que tem custo computacional O(n 2 ).

50 Interpolação Resolução eficiente m. Vandermonde Resolução eficiente do sistema com a matriz de Vandermonde para k = 0 até n-1 para i de n-1 até k y i = (y i y i-1 )/(x i x i-k-1 ) para k = n-2 até 0 para i de k até n-2 y i = y i+1 * x k

51 Interpolação Resolução eficiente m. Vandermonde Resolução eficiente do sistema com a matriz de Vandermonde Este pseudocódigo parte dos pontos interpolantes armazenados em dois vetores x e y. Os valores de y são destruídos no processo. Após o primeiro par de laços, y contém os coeficientes da fórmula de Newton-Gregory Após o segundo par de laços, y contém os coeficientes do polinômio na forma canônica

52 Interpolação Resolução eficiente m. Vandermonde Este algoritmo pode ser feito também com o uso de tabelas fazendo com que o método partindo do sistema se torne competitivo com cálculos manuais em termos de custo computacional em relação aos outros métodos aqui apresentados.