Home Work Limpeza, Ordem e Clareza. (0, 000 0) 10 L,

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1 Universidade Federal de Pelotas - UFPel Centro de Engenharias DISCIPLINA: Cálculo Numérico Semestre de 2014 Home Work Limpeza, Ordem e Clareza. 1. Para realizar a soma de dois números ˆx 1 e ˆx 2 representado em ponto utuante em base decimal com t = 4, ˆx 1 = (0, b 1 b 2 b 3 b 4 ) e 1 ˆx 2 = (0, d 1 d 2 d 3 d 4 ) e 2 é necessário fazer o alinhamento das mantissas, onde o número com o menor expoente é reescrito em uma forma não normalizada. 1.a) apresente um exemplo numérico para o procedimento descrito acima; 1.b) o número zero é representado em praticamente todos os computadores por (0, 000 0) 10 L, onde L é o menor expoente considerado pela máquina. Sinalize o dígito da posição t; e Com base no passo (1.a) apresente uma justicativa para o procedimento descrito em (1.b). 2. Realize as operações abaixo indicadas considerando a aritmética que permite a manipulação de apenas 6 dígitos. Represente os passos (i) comparação dos expoentes; (ii) alinhamento da mantissa; (iii) adição/subtração da mantissa; e (iv) normalização, para cada um dos casos. 2.a) x 3 = x 1 + x 2 onde x 1 = , 00 x 2 = 25, b) x 3 = x 1 + x 2 onde x 1 = 3 x 2 = 1, c) x 3 = x 1 + x 2 onde x 1 = 3 x 2 = 1, x 1 = e x 2 = π 2.d) x 3 = x 1 + x 2 onde x 3 =? (using chopping and rounding ) 2.e) x 3 = x 1 + x 2 onde x 1 = 10 n=1 n 2 x 2 = 1, f) x 3 = x 1 + x 2 onde x 1 = π e x 2 = 1, 3134 x 3 =? (using chopping and rounding )

2 3. Obtenha a solução do sistema de equações algébricas lineares 5x 331y = 3, 5 6x 397y = 5, 2 Resolva agora o sistema muito semelhante ao anterior 5x 331y = 3, 5 6x 397y = 5, 1 Faça um comentário sobre os resultados obtidos. 4. Calcule 6 n=1 n1/2 π 2n com erro inferior a Sugestão: Faça uma tabela como a seguinte n π 2n n 1/2 Termo 1 0, , , = 5. Considere as seguintes séries alternadas: a) ( 1) n x 2n (2n)! b) ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)!, x <, x < c) ( 1) n 1 x n n=1 n d) ( 1) n x 2n+1 2n + 1, 1 < x 1, x 1 Para quais valores de x podemos considerar tão somente os 2 primeiros termos da série para obtermos um erro de magnitude inferior a 0, ; 6. Use representação gráca para determinar os zeros das seguintes funções: (i) f(x) = 4sen x + 1 x (ii) f(x) = 1 x e 2x (iii) f(x) = x 4 4x 3 + 2x 2 8 (iv) f(x) = e x + x 2 + x (v) f(x) = e x x 2 2x 2 (vi) f(x) = 3x 2 + tan x (vii) f(x) = ( x 2) 2 sen x 7. Mostre analiticamente que as seguintes equações têm uma raiz no intervalo (0, 00; 1, 60) (a) x cos x = ln x (b) 2x e x = 0 (c) e 2x = 1 x 8. A velocidade ascendente de um projétil é dada em cada instante t por ( ) m0 v = u ln gt m 0 qt onde u é a velocidade relativa ao projétil de expulsão dos gases, m 0 é a massa inicial do projétil, q é o coeciente de consumo do combustível e g = 9, 8m/s 2 é a aceleração da gravidade (que supomos constante). 2

3 Se u = 2200m/s, m 0 = kg e q = 2680kg/s, determine em que instante t a velocidade atinge v = 1000m/s, pelo método de Newton. 9. Utilizando o método da bisseção determinar a profundidade h correspondente ao equilíbrio tal que γ S V S = γ l V l (h), com γ S = 2, 7g/cm 3 - densidade do sólido; V S = 3m 3 - volume do sólido; γ l = 0, 99g/cm 3 - densidade do líquido; V l (h) = 1200h 3 L - volume do líquido deslocado; 10. A fórmula de Colebrook para escoamentos turbulentos incompressíveis num tubo relaciona o fator de atrito de Moody f com o número de Reynolds R: ( ) R f f = 1, , 51 Use esta fórmula para determinar f quando R = 10000, aplicando o método de Newton com tolerância Uma das equações de estado para gases reais é a equação de Redlich-Kwong: p = RT v b a v(v + b) T onde v é o volume molar (= V/n). Para o butano, a = atm K 1 2 (cm 3 /mol) 2 e b = 80, 7 cm 3 /mol. Qual o volume ocupado por 1kg de butano a 30 atm e 500 o C? 12. Uma variação do método da bisseção é o método da trisseção que consiste, em cada etapa, em dividir o intervalo em três subintervalos iguais. Desenvolva um algoritmo para aproximar a solução dum problema genérico f(x) = 0 usando este método. 13. O deslocamento, em dada instante, de uma estrutura em oscilação é denido pela seguinte equação y = 10e kt cos(wt) 3

4 Usando o método de Newton com uma aproximação conveniente, determine o tempo necessário para o deslocamento ser igual a 4, supondo k = 0, 5 e w = A concentração dum poluente num lago é dada por C = 70e 2t + 20e 0,1t Determine o tempo necessário para a concentração atingir o valor A equação da reação química reversível 2A + B C pode ser caracterizada pela relação de C C equilíbrio K = CA 2 C. C designa a concentração do produto. Designa-se por x o número de B moles do produto de reação C obtidas. Usando a lei da conservação da massa a relação de equilíbrio é dada por: K = onde o índice 0 se refere às concentrações iniciais. C c,0 + x (C A,0 2x) 2 (C B,0 x) Sendo K = 1, , C A,0 = 50, C B,0 = 30 e C C,0 = 4, determine x. Utilize um método numérico à sua escolha. 16. Na Tabela seguinte são apresentados valores da evolução populacional (EP) da cidade de Pelotas (FONTE: 2013 IBGE). Ano Evolução Populacional a) Obtenha a expressão do polinômio interpolador nos pontos tabelados através da fórmula de Lagrange. b) Calcule o valor interpolador para o ano de A resistência de um certo o de metal, f(x), varia com o diâmetro desse o, x. Foram medidas as resistências de 5 os de diversos diâmetros: x i 1,5 2,0 2,2 3,0 3,8 f(x i ) 4,9 3,3 3,0 2,0 1,75 Estime a resistência de um o de diâmetro 1, A resposta de um transdutor a uma onda de choque causada por uma explosão é dada pela função F (t) = 8e t I(a) π, para t a em que 4

5 I(a) = 2 Calcule o valor aproximado de I(1, 75) usando : 1 f(x, a)dx, com f(x, a) = eax x. i. A regra dos trapézios. ii. Uma quadratura gaussiana com n = 2; n = 3; n = 4. Comente os resultados obtidos nos itens i. e ii. 19. Um ciclista demora 158 segundos a percorrer uma pista. A velocidade do mesmo (em m/seg) é determinada através de um radar e é apresentada desde o início da volta na seguinte tabela Tempo 0 0,5 1, , Velocidade ,5 60,5 49,5 42, , ,5 62,5 45,5 51,1 Qual o comprimento da pista? [1] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise numérica. 8 ed. São Paulo: Cengage Learning, [2] CUNHA, M. C. Métodos Numéricos. Editora da UNICAMP, [3] GOLUB, G. H.; LOAN, C. F. V. Matrix Computations. 2nd. ed. Baltimore, Maryland: The Johns Hopkins University Press, [4] BARROSO, L. et alii. Cálculo Numérico. São Paulo, Haper & Row do Brasil,