Raízes de Equações não Lineares. Computação 2º Semestre 2016/2017

Transcrição

1 Raízes de Equações não Lineares Computação º Semestre 01/017

2 Caso de Estudo Efeito de Estufa

3 Efeito de Estufa Tem-se observado ao longo dos anos um aumento da pressão parcial do dióxido de carbono na atmosfera

4 Efeito de Estufa Esta tendência pode ser aproximada por um polinómio: 0.01( t 198) ( t 198) em que representa a pressão parcial de (ppm) p CO p CO p CO CO entre 1958 e 008 aumentou de 15 para 8 ppm ( %) Problema: Quais as consequências do aumento do p CO no ph da água da chuva? 4

5 Efeito de Estufa O CO tem uma importância determinante no ph da chuva O ph é uma medida da actividade dos iões de hidrogénio que indica a sua acidez ou alcalinidade: ph log10 em que + é a concentração molar dos iões de hidrogénio 5

6 Efeito de Estufa A química da água pode ser modelada pelo seguinte conjunto de equações: c T 1 10 H 10 CO H p CO p CO em que: H é a constante de Henry - CO - [CO - - [CO - - [OH CO w 1, e w são coeficientes de equilíbrio c T (carbono total inorgânico), CO - (bicarbonato), (carbonato), (ião de hidrogénio) e [OH (ião hidroxilo) são as 5 incógnitas. [CO - 0 CO - [CO - - [OH

7 Efeito de Estufa Problema: 1 Assumindo H =10 1.4, 1 =10., = e w =10 14 Comparar os resultados em 1958 em que 008 em que p 8 CO com os de Os valores de ph[,1 só podem ser medidos com decimais Solução: - CO CO H p CO H p CO - [CO - CO [CO CO - - p CO 15 [CO - - 1CO H p CO 0 1 H H 1 w 7

8 Efeito de Estufa Problema: Assumindo H =10 1.4, 1 =10., = e w =10 14 Comparar os resultados em 1958 em que 008 em que p 8 CO com os de Os valores de ph[,1 só podem ser medidos com decimais Solução: 1 0 H H ph log10 Calcular o valor de ph que é a raiz da equação Como apenas estamos interessados em obter decimais correctas: E t Iterações com o método da bissecção: p CO 15 1 w 10 ph b a log n tol 8

9 Efeito de Estufa Problema: Assumindo H =10 1.4, 1 =10., = e w =10 14 Comparar os resultados em 1958 em que 008 em que p 8 CO com os de Os valores de ph[,1 só podem ser medidos com decimais Solução: Calcular o valor de ph que é a raiz da equação Como o ph varia entre e 1 podemos calcular o número de iterações que garante a precisão desejada: >> n = log((1-)/0.005) n = H H ph log10 p CO 15 1 w 10 ph (número iterações = 11) 9

10 Efeito de Estufa Problema: Assumindo H =10 1.4, 1 =10., = e w =10 14 Comparar os resultados em 1958 em que 008 em que p 8 CO Solução: Traduzindo a função para MATLAB: function f = fph(ph,) end 1=10^-.;=10^-10.;w=10^-14; H=10^-1.4; H=10^-pH; 1 0 H H ph log10 p CO 15 com os de 1 w f=1/(1e*h)*h*+**1/(1e*h^)*h*+w/h-h; 10 ph 10

11 Efeito de Estufa Problema: Assumindo H =10 1.4, 1 =10., = e w =10 14 Comparar os resultados em 1958 em que 008 em que p 8 CO Solução: com os de Podemos calcular o ph em 1958: >> [ph1958 fx ea iter=bisect(@fph,,1,1e-8,11,15) ph1958 = 5.79 fx = -.71e-008 ea = iter = H H ph log10 p CO 15 1 w 10 ph 5. ( decimais correctas) (muito pequeno) (número iterações = 11) 11

12 Efeito de Estufa Problema: Assumindo H =10 1.4, 1 =10., = e w =10 14 Comparar os resultados em 1958 em que 008 em que p 8 CO Solução: com os de Podemos calcular o ph em 1958: >> [ph008 fx ea iter=bisect(@fph,,1,1e-8,11,8) ph008 = fx =.95e-008 ea = iter = H H ph log10 p CO 15 1 w 10 ph 5.59 ( decimais correctas) 1

13 Efeito de Estufa Problema: Assumindo H =10 1.4, 1 =10., = e w =10 14 Comparar os resultados em 1958 em que 008 em que p 8 CO Solução: 1958 : 008 : 1 0 H H ph log10 p CO 15 com os de 1 w p 15 CO ph 5. p 8 CO ph % 0.78% 10 ph 1

14 Caso de Estudo Atrito de um fluido 14

15 Atrito de um fluido A determinação do atrito de um fluido quando passa num tubo é um problema importante em muitas áreas de ciência e engenharia: Passagem de líquidos ou gases em canalizações Corrente sanguínea A equação de Colebrook pode ser usada para calcular o factor de atrito f: log f.7d Re f onde: rugosidade (m); D diâmetro (m) VD Re nº de Reynold densidade do fluido (kg/m ); V velocidade (m/s); viscosidade (Ns/m ); 15

16 Atrito de um fluido A equação de Colebrook pode ser usada para calcular o factor de atrito f: log VD f Re.7D Re f Neste estudo: passagem do ar num tubo estreito = 1. kg/m ; = Ns/m ; D= m; V = 40 m/s; = (mm); Os valores de f estão entre e 0.08 Pode ser calculada uma estimativa aproximada de f com a equação de Swamee-Jain: 1.5 f 5.74 ln Re D 1

17 Atrito de um fluido Solução: VD 1.(40)0.005 Re g( f ) 1 f.0log (0.005) f Antes de resolver fazemos o plot >> rho=1.;mu=1.79e-5;d=0.005;v=40;e=0.0015/1000; >> Re=rho*V*D/mu; >> g=@(f) 1/sqrt(f)+*log10(e/(.7*D)+.51/(Re*sqrt(f))); >> fplot(g,[ ),grid,xlabel('f'),ylabel('g(f)') 17

18 Atrito de um fluido A solução é 0.0 Método de Newton-Raphson: >> dg=@(f) -/log(10)*1.55/re*f^(-/)/(e/d/ /Re/sqrt(f))-0.5/f^(/); >> [f ea it=newtraph(g,dg,0.008) f = ea = e-00 it = >> [f ea iter=newtraph(g,dg,0.08) f = NaN + NaNi 18

19 Atrito de um fluido O método de Newton-Raphson é muito eficiente mas requer boas estimativas iniciais. Sabendo a equação de Swamee-Jain: >> fsj=1.5/log(e/(.7*d)+5.74/re^0.9)^ fsj = >> [f ea iter=newtraph(g,dg,fsj) f = ea = e-010 iter = 19

20 Atrito de um fluido Se usarmos a função fzero também podemos ter problemas: >> fzero(g,0.008) Exiting fzero: aborting search for an interval containing a sign change because complex function value encountered during search. (Function value at is i.) Check function or try again with a different starting value. ans = NaN >> fzero(g,0.08) ans =

21 Atrito de um fluido Este problema também pode ser resolvido pelo método das substituições sucessivas: f i1 0.5 log.7d.51 Re f i 1

22 Problemas

23 Problemas 1. Considere a seguinte função: f ( x).75x 18x 1x 1 a) Use o gráfico da função para identificar um intervalo inicial onde estão todas a raízes da função. b) Use o método da bissecção para calcular a primeira raiz da função com a garantia de correcção 4 casas decimais. c) Use o método de pesquisa incremental para localizar automaticamente todas as raízes da função. d) Defina uma função que combine os métodos anteriores para calcular todos os zeros da função com 4 casas decimais correctas. (baseie-se sempre no gráfico para obter as estimativas iniciais requeridas) 7 Março 017 Raízes de Equações não Lineares

24 Problemas. Considere a seguinte função: f ( x) sin( x) x a) Use o gráfico da função para identificar uma boa estimativa inicial para a raíz da função. b) Use o método das substituições sucessivas para calcular a raiz da função com um erro aproximado inferior a 0.001%. c) Use o método de Newton-Raphson para calcular a raiz da função com um erro relativo inferior ou igual a d) Use a função fzero para calcular a raiz da função com um erro relativo inferior ou igual a (baseie-se sempre no gráfico para obter as estimativas iniciais requeridas) 7 Março 017 Raízes de Equações não Lineares 4