UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Departamento de Computação Cálculo Numérico - BCC760 Lista 4 - Raízes de Equações Não Lineares

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Departamento de Computação Cálculo Numérico - BCC760 Lista 4 - Raízes de Equações Não Lineares 1. Localize graficamente as raízes das equações: a) f(x) = x 2 + x 6 b) f(x) = e x x c) f(x) = x 2 ln(x) d) f(x) = e x x 2 e) f(x) = ln(x) 5 + x 2. Isolar pelo menos um zero das funções utilizando uma tabela de valores para f(x): a) f(x) = x 3 + x 10 b) f(x) = 2x 3 5x 2 x + 3 c) f(x) = x 2 10x Isole os zeros da função f(x) = xln(x) 3.2 Dica: Use a tabela de valores para f(x) e analise as mudanças de sinais: x Calcular os limitantes e a quantidade de raízes reais existentes dos polinômios: a) 2x 3 3x 2 6x + 5 = 0 b) 2x 3 5x 2 x + 3 = 0 5. Determine um valor aproximado para 5, com precisão de 10 2 ou um máximo de 6 iterações, utilizando o: a) Método da Bisseção b) Método da Falsa Posição c) Método de Newton-Raphson d) Compare os resultados obtidos pelos métodos acima, analisando o número de iterações e a aproximação da raiz encontrada com o valor exato. 6. Suponha que uma certa calculadora pode realizar apenas as operações de soma, subtração e multiplicação. Calcule o valor de 3/13 nesta calculadora utilizando um dos métodos estudados em sala de aula. Justifique a escolha do método. 7. Encontre a maior raiz da função f(x) = x 2 + x 6 utilizando: a) Método da Bisseção 1

2 b) Método da Falsa Posição c) Método de Newton-Raphson c) Compare os resultados obtidos pelos métodos, analisando o número de iterações e a aproximação da raiz encontrada. 8. Para cada uma das equações seguintes, calcule pelo menos uma raiz com precisão de pelos métodos da Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson e compare os resultados obtidos. a) f(x) = 2x 3 5x 2 x + 3, b) f(x) = e x x (4x 7) 9. Sabe-se que a função f(x) = se anula no ponto x = 7/4. Utilizando o método (x 2) da bisseção e como critério de parada ɛ 0, 01 ou 4 iterações, calcule raiz da função considerando o intervalo [ ]. Compare o resultado obtido com o resultado exato. 10. Você comprou um veículo de R$35.000, 00 sem entrada e pagando R$8.500, 00 por ano, durante 7 anos. Use o método da bisseção para determinar a taxa de juros que você está pagando. Empregue aproximações iniciais para a taxa de juros de [0, 01 0, 3] e um critério de parada de 0, A fórmula que relaciona o valor atual P, os pagamentos anuais A, o número de anos n e a taxa de juros i é: A = P i(1 + i)n (1 + i) n A figura a seguir mostra uma viga uniforme sujeita a uma carga distribuída de forma linearmente crescente. A equação para a curva elástica resultante é: y = w 0 120E.I.L ( x5 + 2L 2 x 3 L 4 x) (1) Use o método da bisseção para determinar o ponto de deflexão máxima (isto é, o valor de x onde dy/dx=0). A seguir, substitua esse valor na equação 1 para determinar 2

3 o valor da deflexão máxima. Use os seguintes valores de parâmetros nos seus cálculos: L = 600cm, E = 50000KN/cm 2, I = 30000cm 4 e w 0 = 2, 5kN/cm 12. Você está projetando um tanque esférico, como mostra a figura abaixo, para armazenar água para uma pequena vila em um país em desenvolvimento. O volume de líquido que ele pode armazenar pode ser calculado por: V = π 3 h2 (3R h) onde V é o volume (m 3 ), h é a profundidade da água no tanque (m) e R é o raio do tanque (m). Se R = 3, até qual profundidade o tanque deve ser enchido para que armazene 30m 3? Use no máximo quatro iterações do método do Falsa Posição para determinar sua resposta e o intervalo [1 3]. 13. A distribuição de temperatura em cada ponto x de um pedaço de arame de 1, 80m é dada por: T (x) = 8, 12x , 88x 2 71, 99x + 40, 23 Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Posição com precisão 0, 001 e um máximo de 10 iterações. Utilize o método da Falsa 14. A função f(x) = xsen(x) é utilizada no estudo de oscilações forçadas sem amortecimento. Encontre o valor de x [0, 2] onde a função assume o valor f(x) = 1. Use os métodos da bisseção e falsa posição. Existem diferenças entres os dois resultados? Explique. 15. Calcule uma raiz negativa para a equação f(x) = x 4 3x 3 6x 2 2 pelos métodos: a) Bisseção b) Falsa Posição c) Newton-Raphson utilize uma precisão de 10 3 ou um máximo de 6 iterações. 3

4 16. Obtenha os pontos críticos da função f(x) = x2 2 + x(ex 1). 17. A recolha de energia solar através da focagem de um campo plano de espelho numa central de recolha foi estudada por Vant-Hull (1976). A equação para a concentração geométrica do fator C é dada por: C = π(h/cos(a)) 2 F 0.5πD 2 (1 + sen(a) 0.5cos(A)) em que A é o ângulo do campo, F é a cobertura da fracção do campo com espelhos, D é o diâmetro do coletor e h é o comprimento do coletor. Considerando h = 300, F = 0.8 e D = 14, calcule o ângulo positivo A inferior a π/25 para o qual a concentração do fator C é Utilize o método iterativo mais adequado e considere como critério de parada uma precisão de 10 3 ou no máximo 4 iterações. 18. Uma das soluções para os resíduos de material nuclear é colocá-los em barris especiais que serão mais tarde depositados no fundo do oceano. Se os recipientes permanecerem intactos, a contaminação do ambiente circundante é mínima. Resolvendo as equações de movimento para os barris à medida que eles descem na água, chega-se à seguinte relação entre a velocidade de impacto, v, e a profundidade da água, D: D = 1 [ ( W (W B)ln 1 + kv ) ] W kv k 2 g W B em que W é o peso dos barris, B é a sua flutuabilidade, g é a constante gravitacional e k é o coeficiente de atrito. A flutuabilidade dos barris pode ser determinada através do seu volume, sendo igual a 470. O coeficiente de atrito é determinado experimentalmente e é dado por k = A constante gravitacional é g = 32 e o peso dos barris é W = 527. Determine a velocidade de impacto v usando um método iterativo adequado, quando os barris são lançados numa zona cuja profundidade é D = 300. Utilize como aproximações iniciais v 1 = 40 e v 2 = 45, e critério de parada uma precisão de ou no máximo 4 iterações. Através de experiências, mostrou-se que os barris se danificam se a velocidade de impacto com o fundo do oceano for superior a 40. Considerando a situação anterior, haverá risco de contaminação? Referências [1] F. F. Campos Filho Algoritmos Numéricos. LTC editora, Rio de Janeiro, 2 a edição, [2] S. C. Chapra Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB Para Engenheiro e Cientistas. Bookman editora, Porto Alegre, 3 a edição,

5 Respostas -Raízes de Equações Não Lineares 1. a)[ 4 ; 2] e [1 ; 3] b) [ 3 ; 2] c) não tem raiz real. d) [ 2 ; 1] e [1 ; 2] e) [3, 4] 2. a)[1, 5 ; 2, 5] b) [ 1, 0], [0, 1] e [2, 3] c) [3, 4] e [6, 7] 3. [2, 3] 4. a) L s = 4, n + = 2 ou 0 L i = 2, 7320, n = 1 b) L s = 3, 5, n + = 2 ou 0 L i = 2, 5, n = 1 5. raiz exata: x 2, x = raízes exatas ξ = 3 ou ξ = 2 8. a) Raízes: x 2, 4548 ou 0, 7594 ou 0, b) x 2, x = 1, x 0, x 2, x 2, x 1, e mais duas raízes complexas. 14. x x f (x) = 0 f (x) = x + x(e x + 1) 1 = 0 e x = A radianos 18. v