Fundamentos Teóricos de uma Calculadora Financeira

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1 Fundamentos Teóricos de uma Calculadora Financeira Jorge edraza Arpasi 19 de Janeiro de 2006 Conteúdo 1 Introdução 2 2 Operações financeiras antecipadas: compra de produtos com entrada e pagamento parcelado Cálculo dos valores da parcela, e número de prestações n Cálculo da taxa de juros i Operações financeiras postecipadas: compra de produtos sem entrada e pagamento parcelado e postergado, empréstimos bancarios Cálculo dos valores da parcela, e número de prestações n Cálculo da taxa de juros i O autor é professor do Departamento de Ciências e Engenharias da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões, campus Frederico Westphalen, URI -FW. arpasi@fw.uri.br 1

2 1 Introdução Neste documento introdutório discutimos aspectos teóricos do aplicativo Calculadora Financeira contruído como uma implementação prática do rojeto de Iniciação Científica 1322, rograma IIC URI, Edital , Construção de uma Calculadora Financeira Usando Métodos Numéricos, da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões, campus Frederico Westphalen, URI-FW. Inicialmente, esta calculadora foi construida para o ambiente KDE (UNIX/LINUX), usando QtDesigner da TrollTech, pelo primeiro bolsista do projeto Juliano Sott (julianosott@yahoo.com.br). osteriormente, o atual bolsista do projeto Glaucio Ricardo Vivian(inf10704@al.fw.uri.br), esta desenvolvendo esta calculadora para todos os sistemas operacionais que suportem java. Estes aplicativos, em KDE e Java, podem ser baixados, junto com o manual de uso, na web site do projeto arpasi/financeira/index.php. Enfatizamos o cálculo da taxa de juros pois as diferentes aplicativos calculadoras e web sites que possuem alguma calculadora financeira, não oferecem este ítem quando a pagamento é parcelado. Este documento esta organizado em duas partes; na primeira parte operações do tipo antecipado e na segunda do tipo postecipado. 2 Operações financeiras antecipadas: compra de produtos com entrada e pagamento parcelado O fundamento principal das operações financeiras antecipadas cujo exemplo mais importante é a compra de produtos para serem pagos em prestações, é a equação onde A = E + A= preço atual ou preço à vista. 1 + i + (1 + i) (1 + i) n, (1) 2

3 E=valor do pagamento no momento em que é efetuada a operação, também conhecida como entrada. Uma relação importante de A e de E é que A E > 0, pois em caso contrário, se A E = 0 então é uma compra à vista, e A E < 0 é um absurdo financeiro. =valor da prestação ou parcela a partir do seguinte periodo de tempo. Como A E > 0 então > 0. i=taxa de juros da operação. O valor desta taxa é sempre maior do que zero e cosideraremos taxa máxima de 100%, isto é, 0 < i 1 n=número de parcelas, referido períodos de tempo os mesmo que que majoritariamente são meses. Desde que > 0 então n 1. O valor total a ser pago T é a soma dos valores das parcelas e o valor da entrada E, isto é; T = E + n, (2) e uma condição importante é que o preço total T deve ser maior do que o preço à vista A, isto é; T = E + n > A (3) Em caso contrário, se fosse T = n + E = A na equação (1), teriamos i = 0, ou seja taxa de juros zero ; e se fosse T = n + E < A teriamos i < 0, taxa de juros negativa, um absurdo. 2.1 Cálculo dos valores da parcela, e número de prestações n Usando a identidade algébrica a equação fundamental (1) converte-se em 1 x n+1 1 x = 1 + x + x2 + + x n (4) A = E i ( 1 (1 + i) n 3 1 (1 + i) 1 ), (5)

4 donde podemos obter, por manipulações puramente algébricas, o valor da prestação = (A E)i, (6) 1 (1 + i) n e também o número de parcelas que pode servir básicamente para verificação n = A E log(1 ( )i) log(1 + i) (7) Um conceito importante em operaçôes financeiras, que no caso não tem importância para o usuário de pagamentos parcelados é o valor futuro F do preço à vista daquí a n meses Usando (5) teremos F = E + A(1 + i) n (8) F = E + ((1 + i)n 1) i Uma observação é que o valor total T de (2) é sempre menor do que F. Com efeito, basta considerar que a função linear f(x) = ax + 1 é menor do que a função exponencial g(x) = (1 + a) x para todo x > 1, e a > 0. Se x = 1 teremos f = g. Então (9) ni + 1 < (1 + i) n n < (1+i)n 1 i n < ((1+i)n 1) i E + n < E + ((1+i)n 1) i T < F 2.2 Cálculo da taxa de juros i Já para calcular a taxa de juros i as manipulações algébricas são insuficientes em razão de que não há como deixar em evidencia esta variável i a partir da equação fundamental (1). Então, para resolver isto, usando a equação (6), obtemos A E i = 1 (1 + i) n 4

5 n n par n ímpar Figura 1: Função taxa de juros f(i) = ( ) A E i + (1 + i) n 1, para n par e n ímpar donde ( A E ) i + (1 + i) n 1 = 0 isto é, conhecidas as variáveis A, E,, e n; a taxa de juros i pode ser interpretada como uma raiz da função ( ) A E f(i) = i + (1 + i) n 1 (10) Vamos fazer uma análise desta função. Em primeiro lugar o domínio da mesma é D f = R { 1}. O comportamento da função em torno da assíntota i = 1, e nos infinitos e + é: lim i 1 +[f(i)] = + + se n par lim i 1 [f(i)] = se n ímpar lim i [f(i)] = lim i + [f(i)] = +. or outro lado f é derivável em todo D f, sendo a derivada f(i) i = A E n(1 + i) n 1, 5

6 para todo i 1. Os pontos críticos obtemos fazendo f(i) = 0. Se n é par teremos um i único ponto crítico que é i = n+1 n 1 que é um valor positivo, vide Figura 1. Se n é A E ímpar obtemos dois pontos críticos i 1 = n+1 n 1 > 0 e i A E 2 = n+1 n 1 < 1 < 0, A E vide Figura 1. Desde que f(0) = 0 e f(0) i < 0, então existe i 0 > 0 tal que f(i) < 0 para todo i (0, i 0 ). Escolha α arbitrário, porem fixo, tal que i 0 > α > 0 então f(α) < 0. or outro lado, f(1) = ( ) A E 1 + (1 + 1) n 1 = A E + ( 1 1 ) > 0 2 n ortanto a continuidade de f em (α, 1) D f, garante a existência γ [α, 1] tal que f(γ) = 0. Este valor γ é a taxa de juros que pode ser encontrada por métodos numéricos iterativos de cálculo de raízes de uma função, tais como o método da Bissecção e o método de Newton-Raphson. No presente projeto usamos o algoritmo da Bissecção mostrado a seguir 6

7 ALGORITMO DA BISSECÇÃO ARA CALCULAR A RAIZ OSITIVA DA FUNÇÃO TAXA DE JUROS begin //Informar A, E,, n, e fazer a função taxa de juros f(i) = A E i + (1 + i) n 1 //Informar o grau de aproximação ɛ do od a 1 = α; b 1 = 1; i 1 = a 1+b 1 2 ; k = 1; while b k a k > ɛ do od do od end if f(a k ) f(i k ) > 0 a k+1 = i k ; b k+1 = b k ; i k+1 = a k+1+b k+1 2 ; elsif f(a k ) f(i k ) < 0 else fi a k+1 = a k ; b k+1 = i k ; i k+1 = a k+1+b k+1 2 ; break; k = k + 1; Taxa de juros = i k ; //com aproximação ɛ Raiz de juros aproximada = f(i k ) 7

8 Exemplo 1 Suponha que você vai a uma loja de eletrodomésticos para comprar uma máquina de lavar roupa cujo preço à vista é 1180 reais. Um dos esquemas de financiamento da máquina que o vendedor lhe oferece é entrada de 400 reais mas 3 prestações mensais de 280 reais cada. Qual é a taxa de juros mensal aplicada?. ara este exemplo temos A = 1180, E = 400, = 280 e n = 3, então a função taxa de juros é dada por f(i) = ( )i + (1 + i) 3 1= i + (1 + i) 3 1, e que tem o gráfico mostrado na Figura 2. Figura 2: Função taxa de juros f(i) = i + (1 + i) 3 1, Conforme previsto acima o gráfico mostra que f(0) = 0, e f(i) < 0 para valores de i (0, 0.02), pois f(0.02) < 0. odemos tomar α = A taxa de juros pertence ao intervalo [α, 1] = [0.0001, 1], esta taxa é o ponto onde a curva da função intercepta o eixo horizontal, que de acordo ao gráfico esta bem próximo de 0.04, podemos chutar 0.039, isto é, uma taxa de juros de 3.9%. O cálculo preciso da taxa de juros fazemos usando o algoritmo da Bissecção acima descrito. Usando as primeiras 23 iterações e o intervalo inicial [0.0001,1], obtemos a taxa 8

9 de juros i = , a mesma que com uma precisão de 4 casas decimais é 3.798%, conforme a Tabela 1 3 Operações financeiras postecipadas: compra de produtos sem entrada e pagamento parcelado e postergado, empréstimos bancarios O fundamento principal das operações financeiras postecipadas cujos exemplos mais importantes são a compra de produtos para serem pagos em prestações, e os empréstimos bancários, é a equação onde A = (1 + i) + m (1 + i) + +, (11) m+1 (1 + i) m+n 1 m=número de periodos de tempo da postergação, usualmente meses. Esta postergação não pode ser menor do que 1, isto é, m 1. A= preço atual ou preço à vista. =valor da prestação ou parcela a partir do periodo de tempo m. Como A > 0 então > 0. i=taxa de juros da operação. O valor desta taxa é sempre maior do que zero e cosideraremos taxa máxima de 100%, isto é, 0 < i 1 n=número de parcelas ou períodos de tempo, os mesmos que majoritariamente são meses. Desde que > 0, então n 1. Note que para m = 1, teremos que (11) converte-se em A = 1+i + (1+i) 2 + +, (1+i) n que coincide como a equação (1) sem entrada, i.e., com E = 0. O valor total ou final T a ser pago é a soma dos valores das parcelas, isto é; T = n, (12) 9

10 Iteração k i k f(i k ) Tabela 1: Iterações do método da Bissecção mostrando que a taxa de juros para f(i) = 39 i + ( i) 3 1, com uma aproximação de 4 casas decimais, é 3.798% 10

11 elas mesmas considerações usadas em (3), neste caso também devemos ter que o preço final T deve ser maior do que o preço à vista A, isto é; T = n > A. (13) 3.1 Cálculo dos valores da parcela, e número de prestações n Usando, de novo, a identidade algébrica (4), a equação fundamental postecipada (11) convertese em A = (1 + i) m ( ) 1 (1 + i) n 1 (1 + i) 1 = (1 (1 + i) n ) i(1 + i) m 1, donde podemos obter, por manipulações puramente algébricas, o valor da prestação = Ai(1 + i)m 1, (14) 1 (1 + i) n e também o número de parcelas que pode servir básicamente para verificação n = log(1 ( A )i(1 + i)m 1 ) log(1 + i) (15) 3.2 Cálculo da taxa de juros i Do mesmo modo que para o caso das operações antecipadas, para o cálculo da taxa de juros i, no caso postecipado, as manipulações algébricas são insuficientes em razão de que não há como deixar em evidencia esta variável i na equação fundamental (11). Então, para resolver isto, usando a equação (14), obtemos [1 (1 + i) n ] = Ai(1 + i) m 1 donde A i(1 + i)m 1 + (1 + i) n 1 = 0 isto é, conhecidas as variáveis A,, n e m; a taxa de juros i pode ser interpretada como uma raiz da função f(i) = A i(1 + i)m 1 + (1 + i) n 1 (16) 11

12 Note que se em (10) E = 0, e em (16) m = 1, ambas as equações coincidem. O domínio da função (16) é D f = R { 1} onde é derivável e portanto contínua. O comportamento da função em torno da assíntota i = 1, e nos infinitos e + é: lim i 1 +[f(i)] = + + se n par lim i 1 [f(i)] = se n ímpar + se m par lim i [f(i)] = se m ímpar lim i + [f(i)] = +. Claramente temos que f(0) = 0 e para a derivada f(i) i = m A (1 + i)m 1 (m 1) A (1 + i) m 2 n(1 + i) n 1, temos f(0) i = A n que pela condição (13) tem sinal negativo. Isto implica que existe i 0 > 0 tal que f(i) < 0 para todo i (0, i 0 ). Escolha α arbitrário, porem fixo, tal que i 0 > α > 0 então f(α) < 0. or outro lado, f(1) = A.1.2m n 1 = A 2m 1 + ( 1 2 n 1 ) > 0, pois m 1. ortanto a continuidade de f em (α, 1) D f, garante a existência γ [α, 1] tal que f(γ) = 0. Este valor γ é a taxa de juros que pode ser encontrada pelo método da Bissecção descrito acima. Exemplo 2 Suponha agora que você quer adquirir um empréstimo 3000 reais do seu banco para ser pago em 12 parcelas mensais e iguais. O operador do seu banco lhe diz que cada mês você vai pagar 340 reais. A primeira parcela terá que pagar depois de dois meses. Qual é a taxa de juros mensal que você vai pagar ao banco? Neste caso temos A = 3000, = 340, n = 12, e m = 2, então a função taxa de juros é dada por f(i) = i(1 + i)2 1 + (1 + i) 12 1 = i(1 + i) + (1 + i) 12 1 e que tem o gráfico da Figura 3. Conforme previsto acima o gráfico mostra que f(0) = 0, e f(i) < 0 para valores de i (0, 0.02], pois f(0.02) < 0. odemos tomar α = A taxa de juros pertence ao intervalo [0.01, 1]. De acordo ao gráfico esta taxa esta bem próximo de O cálculo preciso da taxa de juros, feito usando o algoritmo da Bissecção acima descrito, e com uma precisão de 4 casas decimais, resulta em 4.333% 12

13 Referências Figura 3: Função taxa de juros f(i) = i(1 + i) + (1 + i) 12 1 [1] A.C. Morgado, E. Wagner, S. Zani; rogressões e Matemática Financeira, 4ta Ed., IMA, Rio de Janeiro,