CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano.

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 11 Sistemas de Equações não-lineares

3 SISTEMAS NÃO-LINEARES Cálculo Numérico 3/39

4 SISTEMA NÃO LINEAR Vamos considerar o problema de resolver um sistema de equações não-lineares: onde cada f i, i = 1, 2,..., n é uma função real de n variáveis reais. Cálculo Numérico 4/39

5 EXEMPLOS Exemplo 1: ì ï í ï î f ( x, x ) = x 2 + x 2-2 = ( ) = x 2 - x f 2 x 1, x 2 9-1= 0 Cálculo Numérico 5/39

6 Este sistema admite 4 soluções, que são os pontos onde as curvas se interceptam: Cálculo Numérico 6/39

7 EXEMPLOS Exemplo 2: ìï í îï f ( x, x ) = x 2 - x - 0,2 = f ( x, x ) = x 2 - x +1= Cálculo Numérico 7/39

8 Este sistema não tem solução, ou seja, não existem pontos onde as curvas se interceptam: Cálculo Numérico 8/39

9 Vamos usar a seguinte notação: Cada função f i (x) é uma função não linear em x. Cálculo Numérico 9/39

10 Vetor gradiente O vetor das derivadas parciais da função f i (x 1,x 2,...,x n ) é denominado de f i (x) e será denotado por: Cálculo Numérico 10/39

11 Matriz Jacobiana A matriz das derivadas parciais de F(x) é chamada e será denotada por: Cálculo Numérico 11/39

12 Exemplo 3 Para o sistema de equações não-linear abaixo, obtenha a matriz Jacobiana: ( ) = x 1 F x ì í ï 3-3x 1 x = 0 îï 3x 2 x - x 3 = Cálculo Numérico 12/39

13 MÉTODO DE NEWTON Cálculo Numérico 13/39

14 MÉTODO DE NEWTON O método mais amplamente estudado e conhecido para resolver sistemas de equações não linear é o. Para uma única equação não-linear, vimos que, pelo Método de Newton-Raphson, tínhamos: f ( x )+ f '( x )( x- x ) = 0 k k k Ampliando para um sistema de equações não-linear: f i ( ( x k )) + Ñf ( i x k ) ( ) T ( ( x- x k )) = 0 Cálculo Numérico 14/39

15 MÉTODO DE NEWTON Logo, para F (x), teremos: ( ) + J ( x ( k ))( x- x ( k )) = 0 ( F x k ) ou ainda: ( )( x- x ( k )) = -F ( x ( k )) ( J x k ) Cálculo Numérico 15/39

16 MÉTODO DE NEWTON Se denotarmos (x x (k) ) por s, temos que: ( x k+1 ) ( = x k) + s onde s é a solução do sistema linear: ( ) ( J x k ) ( ) ( k) s= -F x Cálculo Numérico 16/39

17 MÉTODO DE NEWTON Portanto, uma iteração de Newton requer basicamente: A avaliação da matriz Jacobiana em x (k) ; A resolução do sistema linear: ( ) ( J x k ) ( ) ( k) s= -F x e por esses motivo, cada iteração é considerada computacionalmente cara. Cálculo Numérico 17/39

18 CRITÉRIO DE PARADA Um critério de parada consiste em verificar se todas as componentes de F (x (k) ) têm módulo pequeno. Como F (x (k) ) é um vetor do R n, verificamos se a norma é menor que o erro: ( ) < e s ( F x k ) Outro critério é verificar se: ( x k+1 ) ( - x k ) < e s Cálculo Numérico 18/39

19 Para se detectar a divergência e interromper o processo de cálculos, podemos estabelecer um número máximo de iterações, ou ainda, interromper se, para algum k, a norma de F (x (k) ) for maior que uma tolerância, por exemplo: ( ) >1020 ( F x k ) Sob condições adequadas, a sequência gerada pelo Método de Newton tem convergência quadrática. Cálculo Numérico 19/39

20 Exemplo 4 Aplicar o Método de Newton à resolução dos sistema não linear F(x) = 0, onde F(x) é dada por: As soluções são: e e =10-4 Use: e æ F ( x) = x + x - 3 ö 1 ç 2 èx 2 + x ø é x * = 3ù é ê ë0 ú x ** = 0ù ê û ë3 ú û é x = 1ù 0 ê ë5 ú û Cálculo Numérico 20/39

21 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO Cálculo Numérico 21/39

22 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO Para diminuir o custo computacional, podemos modificar o Método de Newton, fazendo com que a cada iteração k, a matriz J(x (0) ) seja utilizada, ao invés de J(x (k) ). Assim, a partir de uma aproximação inicial x (0), teremos a solução do sistema linear: ( ) ( J x 0 ) ( ) ( k) s= -F x e a matriz Jacobiana é avaliada apenas uma vez, para todo k. Cálculo Numérico 22/39

23 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO Se usarmos fatoração LU para resolver o sistema linear, calcularemos apenas uma vez os fatores L e U e, a partir da segunda iteração, será necessário resolver apenas os sistemas triangulares. Perde-se a propriedade de taxa quadrática de convergência e em lugar consegue-se apenas taxa linear. Cálculo Numérico 23/39

24 Exemplo 5 Resolva o sistema do Exemplo 4 usando o Método de Newton Modificado. æ F ( x) = x + x - 3 ö 1 ç 2 èx 2 + x ø e =10-4 Use: e 0 x 1 5 Cálculo Numérico 24/39

25 Referências BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, xiii, 721 p. ISBN RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, c1997. xvi, 406 p. ISBN CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, p. ISBN Cálculo Numérico 25/39