Zeros de Polinômios. 1 Resultados Básicos. Iguer Luis Domini dos Santos 1, Geraldo Nunes Silva 2

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1 Zeros de Polinômios Iguer Luis Domini dos Santos, Geraldo Nunes Silva 2 DCCE/IBILCE/UNESP, São José do Rio Preto, SP, Brazil, iguerluis@hotmail.com 2 DCCE/IBILCE/UNESP, São José do Rio Preto, SP,Brazil, gsilva@ibilce.unesp.br Resumo No presente trabalho é feito um estudo sobre zeros de polinômios. Dessa forma, fazemos uma discussão sobre localização dos zeros, avaliação de polinômios e consideramos os Métodos de Newton e Newton-Bairstow. Palavras-chave Zero de polinômio, cálculo de raízes, avaliação de polinômios Resultados Básicos Dados a 0, a,..., a n, a n 0, um polinômio de grau n é escrito na forma onde os a i são chamados de coeficientes de p(x). p n (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 Definição Diz-se que o número real ou complexo ξ é raíz (zero) de p n (x) se p n (ξ) = 0. Definição A raíz ξ é chamada de raíz múltipla de p n (x) = 0 com multiplicidade m se p n (ξ) = p n(ξ) =... = p (m ) n = 0 e p (m) n (ξ) 0 Segue os principais resultados sobre zeros de polinômios: Teorema. (Teorema Fundamental da Álgebra). Se p n (x) é um polinômio de grau n, então p n (x) possui pelo menos uma raíz (possivelmente complexa Corolário.. Sendo p n (x) um polinômio de grau n e x,..., x k raízes de p n (x), então existem únicos números inteiros m,..., m k tais que e k m i = n i= p n (x) = a n (x x ) m (x x 2 ) m2... (x x k ) m k Este corolário diz que p n (x) é escrito de modo único como produto de fatores de sua raízes x i e multiplicidade m i, sendo i =,..., k. Teorema.2. Se z k = a k + ib k é uma raíz do polinômio de grau n, p n (x), então z k = a k ib k também é uma raíz de p n (x). Além disso, se z k possui multiplicidade m, z k também possui multiplicidade m. Apoio fincanceiro: CAPES

2 2 Localização dos Zeros Sendo p n (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 um polinômio real (ou seja, todos os seus coeficientes são reais) de grau n, é possível determinar um círculo de raio R onde todas as raízes de p n (x) estão no interior desse círculo. O seguinte resultado é devido a Augustin Cauchy: Teorema 2.. Seja p n (x) um polinômio real de grau n e A = max{ a 0, a,..., a n }. Então cada zero de p n (x) pertencem ao círculo centrado na origem e raio R = + A a n. Demonstração:Sabemos que a + b a b. Logo, p n (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 a n x n a n x n a x + a 0... ( ) a n x n a n x n a x + a 0 ( x a n x n A( x n n x + ) = a n x n n ) A = x ( ) = a n x n A x n x + A x > a n A x x n Assim, a n A x 0 o que implica em p n(x) > 0, ou seja, p n (x) não tem raízes reais, o que nos dá uma contradição. Portanto as raízes de p n (x) devem satisfazer a n A x < 0 a n < A x a n x a n < A a n x < A + a n x < A a n + = R. Podemos também prever a localização das raízes de p n (x) através do seguinte resultado Teorema 2.2. Seja p n (x) polinômio real de grau n e B = max{ a, a 2,..., a n }. Então as raízes de p n (x) estão fora do círculo de centro 0 e raio r = ( ) + B a 0 Demonstração:Seja y = x. Assim, Considerando Q n (y) := y n P n ( y ), segue que Q n (y) = y n (a n y n + a n y n a y + a 0 = a n + a n y a y n + a 0 y n. p n ( y ) = a n y n + a n y n a y + a 0. Do teorema anterior segue que as raízes de Q n (y) devem satisfazer ) = y + B a 0 x = y + B a 0 r = ( ) x. + B a 0 Dessa forma, dos dois últimos resultados segue que as raízes de um polinômio real de grau n, p n (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 (a n 0 e a 0 0) estão sempre no anel {z C; r z R}. 2

3 Exemplo Seja p 3 (x) = x 3 x 2 + x. Então, n = 3, a 0 =, a =, a 2 = e a 3 =, além disso a 0 = a = a 2 = e do teorema 2. segue que R = + A a 3 = + = 2, logo, os zeros de p 3(x) se encontram num disco centrado na origem e raio 2. De fato os zeros de p 3 (x) são x =, x 2 = i e x 3 = i. Exemplo Considere p 2 (x) = (x 2)(x + 2) = x 2 4. Logo, n = 2, a 0 = 4, a = 0, e a 2 =, então a 0 = 4, a = 0 e do teorema 2. segue que R = + A a 2 = + 4 = 5, e portanto os zeros de p 2(x) se encontram num disco centrado na origem e raio 5. De fato os zeros de p 2 (x) são x = 2 e x 2 = 2. 3

4 3 Avaliação de Polinômios Seja p n (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 um polinômio real de grau n. Para calcular p n (x) num ponto x 0 dado é necessário efetuar n adições e n + (n ) = n(n+) 2 multiplicações. Assim, para n este procedimento se torna inviável. Com o objetivo de minimizar esforços, temos a seguinte solução: Teorema 3. (Método de Horner). Sendo p n (x) = a n x n + a n x n a x + a 0. Se então b 0 = p(x 0 ). Além disso, se b n = a n e b k = a k + b k+ x 0, k = 0,,..., n então Q(x) = b n x n + b n x n b 2 x + b p(x) = (x x 0 )Q(x) + b 0 Demonstração:Da definição de Q(x), (x x 0 )Q(x) + b 0 = (x x 0 )(b n x n + b n x n b 2 x + b ) + b 0 = = (b n x n + b n x n b 2 x 2 + b x) (b n x 0 x n b 2 x 0 x + b x 0 ) + b 0 = = b n x n + (b n b n x 0 )x n (b b 2 x 0 )x + (b 0 b x 0 ) = = a n x n + a n x n a 0 logo, (x x 0 )Q(x) + b 0 = p(x) e b 0 = p(x 0 ). Do último teorema segue que p n (x 0 ) = b 0 = a 0 + b x 0 = a 0 + (a + b 2 x 0 )x 0 =... = a 0 + (a + (a 2 + (... + (a n + a n x 0 )x 0...)x 0 )x 0 )x 0 e neste caso efetuamos n adições e n multiplicações para calcular x 0. Observe que n(n+) 2 = n 2 + n2 2 > n n 2 e então de fato vemos que o esforço para calcular p n (x 0 ) é reduzido. 4

5 4 Método de Newton Seja p n (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 e x 0 uma aproximação inicial para uma raiz procurada de p n (x). O Método de Newton consiste, a partir da aproximação inicial x 0, desenvolver aproximações sucessivas para a raíz ξ a partir da iteração: Do método de Horner, sabemos que x k+ = x k p(x k) p (x k ) () sendo p(x) = (x x 0 )Q(x) + b 0 dessa forma, derivando em relação a x Q(x) = b n x n + b n x n b 2 x + b p (x) = Q(x) + (x x 0 )Q (x) e p (x 0 ) = Q(x 0 ) Assim, podemos combinar o Método de Newton com o método de Horner, de modo que e para cada x k calculamos então Q(x). p (x k ) = Q(x k ) Exemplo Considere p 2 (x) = (x )(x 2) = x 2 3x + 2 e tomemos a aproximação inicial para a raíz ξ =, x 0 = 0.5. Utilizando o método iterativo () de Newton, temos as seguintes aproximações para ξ Neste caso, x 4 ξ =.0 6 e f(x 4 ) f(ξ) =.0 6. Iteracao x k f(x k ) 0, 875 0, , , , , (0) 4 4 0, (0) 6 5

6 5 Deflação Seja P (x) um polinômio de grau n. Ao se obter um zero aproximado x N de P (x), por exemplo pelo método de Newton, do método de Horner segue que, P (x) = (x x N )Q(x) + b 0 = (x x N )Q(x) + P (x N ) (x x N )Q(x) ou seja, x x N é um fator aproximado de P (x). Fazendo x = x N como um zero aproximado de P e Q Q(x) como um fator de aproximação, temos P (x) (x x )Q (x) Podemos encontrar um segundo zero aproximado de P aplicando o método de Newton a Q (x). Se P (x) é um polinômio de grau n com n zeros reais, esse procedimento aplicado de forma repetida resultará em (n 2) zeros aproximados de P e um fator de aproximação quadrático Q n 2 (x). Nesse momento, Q n 2 (x) = 0 pode ser resolvido pela fórmula quadrática para encontrar os dois últimos zeros aproximados de P. Esse procedimento que acabamos de descrever é chamado Deflação. A dificuldade na precisão dos zeros de P (x) por este procedimento deve-se ao fato de que, quando obtemos os zeros aproximados de P (x), o método de Newton é utilizado no polinômio reduzido Q k (x), ou seja, o polinômio que tem a propriedade P (x) (x x )(x x 2 )...(x x k )Q k (x) Assim, um zero aproximado x k+ de Q k dará um valor aproximado da raíz de P (x) = 0 e a imprecisão crescerá à medida que k crescer. Uma maneira de eliminar essa inconveniência é tomar os zeros aproximados de Q k e então utilizá-los como dados iniciais no método de Newton sobre o polinômio P (x), para então melhorar essas aproximações para os zeros de P (x). Exemplo Considere p 3 (x) = (x )(x 2)(x 0) = x 3 3x x 20 e suponhamos que uma estimativa da raíz ξ = 0 seja 0.. Dividindo p 3 (x) por x 0. temos p 3 (x) = (x 0.)(x 2 2.9x + 2.7) (x 0.)(x 2 2.9x + 2.7) Sendo que os zeros de (x 2 2.9x+2.7) são dados por 2.9 ± i ±0.78i. E então, através de um erro de = 0. na aproximação da raíz ξ considerada, o método da deflação produziu um grande erro na aproximação dos zeros restantes de p 3 (x). Agora, se considerarmos uma estimativa da raíz ξ = como., segue que p 3 (x) = (x.)(x 2.9x + 8.9) (x.)(x 2.9x + 8.9) e neste caso as raízes de (x 2.9x + 8.9) são ξ 0.0 e ξ 2.889, e portanto são boas aproximações para os zeros restantes de p 3, uma vez que ξ 0 = 0.0 e ξ 2 2 = 0.. Exemplo Considere agora p 2 (x) = (x )(x 2) = x 2 3x + 2 e. uma estimativa para a raíz ξ =. Temos que x 2 3x + 2 = (x.)(x.9) 0.09 (x.)(x.9) e como µ =.9 é raíz de (x.9), segue que µ =.9 será uma aproximação para a raíz α = 2 de p 2 (x). O erro de aproximação neste caso será µ 2 = 0.. 6

7 6 Método de Newton-Bairstow Seja P n (x) = a 0 x n + a x n a n x + a n um polinômio real de grau n, antes de mencionarmos o método de Newton-Bairstow faremos algumas considerações: Inicialmente fazemos a divisão de P n (x) pelo fator quadrático x 2 px q, com p, q R, e obtemos sendo P n (x) = (x 2 px q)p n 2 (x) + b n (x p) + b n P n 2 (x) = b 0 x n 2 + b x n 3 + b 2 x n b n 4 x 2 + b n 3 x + b n 2 e a relação entre os coeficientes dada por x n a 0 = b 0 x n a = b pb 0 x n 2 a 2 = b 2 pb qb 0... x n j a j = b j pb j qb j 2 (j = 2, 3,..., n) Logo, os coeficientes de P n 2 (x) são calculados através do seguinte algoritmo b 0 = a 0, b = a + pb 0 b j = a j + pb j + qb j 2 (j = 2, 3,..., n) O fator x 2 px q é um divisor de P n (x) se, e somente se, o resto R(x) = b n (x p) + b n for nulo, ou seja, se tivermos b n = b n = 0. Dados os valores de p e q, os coeficientes de P n 2 (x) e de R(x) são unicamente determinados. Tais coeficientes podem ser considerados como funções de duas variáveis, no caso, p e q. Dessa forma, o problema de encontrar o divisor quadrático considerado de P n (x) é equivalente a resolver o sistema de equações não lineares b n (p, q) = 0 b n (p, q) = 0 (3) nas variáveis p e q. Para solucionar (3) é utilizado o método iterativo de Newton, e para isto necessitamos das derivadas parciais de b n (p, q) e b n (p, q) com relação a p e q. De (2) segue que (2) além disso, b j p = b j + p b j + q b j 2 p p (j = 2, 3,..., n) (4) Através de (4) e de (5) definimos b 0 p = 0 e b p = b 0. (5) c j = b j p Assim, de (4) e (5) temos o seguinte algoritmo (j =, 2, 3,..., n) (6) c 0 = b 0, c = b + pc 0 c j = b j + pc j + qc j 2 (j = 2, 3,..., n ) Novamente de (2), agora considerando as derivadas parciais com relação a q, temos (7) além disso, b j q = b j 2 + p b j + q b j 2 q q (j = 2, 3,..., n) (8) 7

8 Então, b 0 q = 0 b q = 0 e b 2 q = b 0. (9) b j q = c j 2 (j = 2, 3,..., n) (0) sendo que estas derivadas parciais satisfazem (7). Em particular, de (6) e de (0) as derivadas necessárias para o método de Newton são b n p = c n 2 b n q = c n 3 b n p = c n b n q = c n 2 () Consideradas essas preliminares, pode-se iniciar o método iterativo de Newton para solucionar o sistema (3). A fórmula () define os elementos da matriz Jacobiana Φ e do método de Newton segue que p (k+) = p (k) + b nc n 3 b n c n 2 c 2 n 2 c n c n 3, q (k+) = q (k) + b n c n b n c n 2 c 2 n 2 c n c n 3 (2) O denominador c 2 n 2 c n c n 3 é o determinante da matriz Jacobiana Φ. Se este determinante for nulo, não podemos utilizar a fórmula (2), neste caso, podemos utilizar o método de Newton simplificado ou os valores iterados p (k) e q (k) podem ser mudados pela adição de números aleatórios. 8

9 (Newton-Bairstow) O Método de Newton-Bairstow consiste na determinação de um fator quadrático x 2 px q de um polinômio real P n (x) de grau n > 2, através dos seguintes passos: () dadas as aproximações p (k) e q (k), calcule os valores de b j através de (2) e os valores de c j através de (7). (2) se o determinante da matriz Jacobiana é não nulo, os valores iterados p (k+) e q (k+) são calculados através de (2). Observe que o Método de Newton-Bairstow possui ordem de convergência quadrática, já que o sistema não linear (3) é solucionado pela iteração do método de Newton. Exemplo Considere o polinômio p 3 (x) = (x )(x 2)(x 0) = x 3 3x 2 +32x 20. Neste caso n = 3 aplicando o método de Newton-Bairstow para p (0) = e q (0) =, segue que k p (k) q (k) b b c 0 c c p (k) q (k) Assim, x 2 p (4) q (4) = x 2 3x + 2 é um fator quadrático de p 3 (x), cujos zeros são ξ = 2 e ξ 2 =. Além disso p 3 (x) = (x 2 3x + 2)p (x) + b 2 (x 3) + b 3 = (x 2 3x + 2)(x 0) logo, (x 0) também é um fator de p 3 (x), cuja raíz é ξ 3 = 0. 9

10 Consideremos agora o caso de raízes complexas. Exemplo Seja p 4 (x) = x 4 2x 3 + 4x 2 4x + 4. Temos que n = 4, e considerando p 0 = e q 0 =, segue do último método que k 0 p (k) 2 q (k) - -2 b 3-0 b 4 0 c 0 c 2 c 3 0 p (k) q (k) - Portanto x 2 p () q () = x 2 2x + 2 é um fator quadrático exato de p 4 (x). Temos também que logo, as raízes de p 4 (x) são ± i e ± i 2. p 4 (x) = (x 2 2x + 2)p 2 (x) + b 3 (x 2) + b 4 = (x 2 2x + 2)(x 2 + 2) 0

11 BIBLIOGRAFIA FUNDAMENTAL [] SCHWARZ, H. R., Numerical Analysis - A comprehensive Introduction, John Wiley, 989. [2] BURDEN, RICHARD L., Numerical Analysis, PWS-Kent, Boston, 993. [3] RUGGIERO, MÁRCIA A. GOMES, Cálculo Numérico, Makron Books, São Paulo, 997. [4] JACQUES, IAN, Numerical Analysis, Chapman and Hall, London, 987. [5] ATKINSON, KENDALL E., An Introduction to numerical analysis, J. Wiley, New York, 988. [6]ALBRECHT, PETER, Análise numérica, LTC EDUSP, Rio de Janeiro, 973. [7] CONTE, SAMUEL DANIEL, Elementos de Análise Numérica, Editora Globo, Porto Alegre, 977. [8] RUAS, VITORIANO, Curso de Cálculo Numérico, LTC, Rio de Janeiro, 977.