Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza.

Transcrição

1 Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza

2 Agenda do Dia Aula 20 (09/11/15) Interpolação: Introdução Características Interpolação Linear: Introdução Características Exercícios

3 Interpolação Muitas funções são conhecidas apenas em um conjunto finito e discreto de pontos de um intervalo [a, b], como, por exemplo, a tabela abaixo que relaciona calor específico da água e temperatura: A interpolação é utilizada quando se quer calcular, por exemplo, o calor específico da água a 32.5ºC ou a temperatura para o qual o calor específico é 0,99837

4 Interpolação Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definidas a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x)

5 Interpolação A interpolação surgiu em função da necessidade de situações como: Quando se conhece somente os valores numéricos da função por um conjunto de pontos (não dispondo da forma analítica) e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado (exemplo anterior) Quando relizar operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou impossíveis). Neste caso, usa-se outra função mais simples (aproximação da função dada)

6 Interpolação Seja a função y = f(x), dada pela tabela 1. Desejase determinar f ( x), sendo: x (x 0, x 7 )e x x i,i=0,1,...,7 x (x 0, x 7 ) (a) (b) Para resolver (a) tem-se que fazer uma interpolação. E, sendo assim, determina-se o polinômio interpolador, que é uma aproximação da função tabelada. Por outro lado, para resolver (b), deve-se realizar uma extrapolação

7 Interpolação Consideremos (n+1) pontos distintos: x 0, x 1,..., x n, chamados nós da interpolação, e os valores de f(x) nesses pontos: f ( x 0 ), f ( x 1 ),..., f ( x n ) A forma de interpolação de f(x) que veremos consiste em se obter uma determinada função g(x) tal que: g ( x 0 )= f ( x 0 ) g ( x 1 )= f ( x 1 )... g ( x n )= f ( x n )

8 Interpolação Graficamente, para n = 5

9 Interpolação Outras Considerações Usaremos funções polinomiais, porém poderíamos usar funções racionais, exponenciais, trigonométricas, Um polinômio interpolador é uma unidade menor que o número de pontos conhecidos (polinômios de grau 1 requerem 2 pontos conhecidos, de grau 2 requerem 3 pontos conhecidos, ) Teorema: Se todos os pontos forem distintos, então o polinômio interpolador é único e com solução única

10 Interpolação Linear Um polinômio interpolador de grau 1 é escrito no formato: P₁(x) = a₁x + a₀ Para determiná-lo, os coeficientes a₁ e a₀ devem ser calculados de forma que: P₁(x₀) = f(x₀) = y₀ P₁(x₁) = f(x₁) = y₁ ou { a 1 x 0 +a 0 = y 0 a 1 x 1 +a 0 = y 1 onde a 1 e a 0 sãoincógnitas

11 Interpolação Linear A matriz de coeficientes do sistema é: ( x 0 1 x 1 1) O determinante de A é diferente de zero sempre que x₀ x₁. Logo, solução é única O polinômio interpolador P₁(x) = a₁x + a₀ tem como imagem geométrica uma reta, então estamos aproximando a função original para uma reta que passa pelos pontos (x₀, y₀) e (x₁, y₁)

12 Interpolação Linear

13 Interpolação Linear Exemplo: Seja a função y = f(x) definida pelos pontos (0.00; 1.35) e (1.00; 2.94). Determinar aproximadamente o valor de f(0.73)

14 Interpolação Linear Exemplo: Seja a função y = f(x) definida pelos pontos (0.00; 1.35) e (1.00; 2.94). Determinar aproximadamente o valor de f(0.73) Formato do polinômio interpolador: P₁(x) = a₁x + a₀ Pontos utilizados: (0.00; 1.35) e (1.00; 2.94) Cálculo dos coeficientes: P₁(0) = a₁*0 + a₀ = 1.35 a₀ = 1.35 P₁(1) = a₁*1 + a₀ = 2.94 a₁ = 1.59

15 Interpolação Linear Exemplo: Seja a função y = f(x) definida pelos pontos (0.00; 1.35) e (1.00; 2.94). Determinar aproximadamente o valor de f(0.73) Polinômio interpolador: P₁(x) = 1.59x Resposta: P₁(0.73) = 1.59* P₁(0.73) = 2.51

16 Interpolação Linear O resultado obtido acima está afetado por dois tipos de erros: Erros de arredondamento: ocorre durante a execução das operações e no caso de um resultado ser arredondado Erros de truncamento: ocorre quando a fórmula de interpolação é escolhida, pois esta fará uma aproximação de valores e resultados

17 Interpolação Linear Exercícios: Dada a função f(x) = 10x⁴ + 2x + 1 com os valores de f(0.1) e f(0.2) determinar P₁(0.15) e o erro absoluto cometido Calcular o calor específico aproximado da água a 32,5ºC usando os valores da tabela 1

18 Próxima Aula Interpolação Quadrática