étodos uméricos INTEGRAÇÃO NUMÉRICA (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 étodos uméricos INTEGRAÇÃO NUMÉRICA (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 2016

2 Conteúdo 1. Integ. dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes. 2. Integ. dupla via fórmulas de Gauss-Legendre. 3. Comparação dos métodos para integ. Dupla.

3 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Determinação do valor da integral dupla definida por: Função integrando f(x, y) pode ser aproximada por um PI. Integral do polinômio obtida analiticamente. Fazendo Cálculo de uma integral dupla consiste na solução de duas integrais simples.

4 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes 1 Fórmulas Simples: Para resolver uma integral simples, pode-se aplicar qualquer uma das fórmulas de Newton-Cotes. Se for utilizada a regra do 1/3 de Simpson Para o cálculo de G(x i ) pode ser utilizada também qualquer uma das fórmulas de Newton-Cotes.

5 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Utilizando a regra dos 3/8 de Simpson: f(x i ; y j ) é o valor da função integrando no ponto f(x i ; y j ). Substituindo os valores de G(x i ):

6 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Exemplo: Calcular : Fazendo: Utilizando a regra do 1/3 de Simpson em x: Cálculo de:

7 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Utilizando a regra do 3/8 de Simpson em x:

8 Para Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Para

9 Para Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Valor numérico da integral:

10 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Valor analítico da integral:

11 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Dispositivo prático: utilizando a regra do 1/3 de Simpson para integração em x e a regra dos 3/8 em y:

12 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Valor da integral: S: soma obtida, tomando-se todas as células da tabela, do produto c xi. c yj dos coeficientes de Cotes pelo valor da função f(x i, y j ).

13 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Exemplo: Calcular : Para tal,

14 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes 2 Fórmulas Compostas: Melhorar a exatidão de uma integral. Subdividir o intervalo [a, b] em m x subintervalos iguais. m x múltiplo do grau n x do polinômio usado em x. Na regra do 1/3 de Simpson, m x deve ser múltiplo de 2 (= n x ). c x0 = c xmx = 1 c xmi = 4 (i ímpar) c xmx = 2 (i par) h x =(b-a)/m x

15 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Para o cálculo de G(x i ), i = 0, 1,....mx usando a regra dos 3/8 de Simpson Subdividindo o intervalo [c, d] em m y subintervalos iguais. m y múltiplo do grau n y do polinômio usado em y.

16 Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes Substituindo os valores de G(x i ): c y0 = c ymy = 1 c ymj = 2 (j múltiplo de 3) c ymj = 3 (j não múltiplo de 3) h y =(d-c)/m y Fórmula generalizada para qualquer grau do PI utilizado Valores de d e c obtidos na tabela já apresentada.

17 Integração Dupla via Gauss-Legendre Fórmulas de Gauss-Legendre também podem ser utilizadas para o cálculo aproximado da integral dupla definida: Fazendo Cálculo de integral dupla por Gauss-Legendre consiste na determinação de duas integrais simples.

18 Integração Dupla via Gauss-Legendre 1 Fórmula para dois Pontos: Fazendo uma mudança de variável de x para t sendo que -1 t 1 Tomando Definindo: Resolvendo a integral simples por Gauss-Legendre, com n x = 2 pontos

19 Integração Dupla via Gauss-Legendre A i : pesos e t i : abscissas ou zeros do polinômio de Legendre de grau n x = 2. Valores de A i e ti podem ser obtidos na literatura ou gerados. Particularmente, para n x = 2: Cálculo de: Mudança de variável de y para u tal que -1 u 1 Tomando

20 Integração Dupla via Gauss-Legendre Definindo: Valor de G(x i ): Usando a fórmula para n y = 2 pontos B j : pesos e

21 Logo: Integração Dupla via Gauss-Legendre Substituindo os valores de H(t i ): Substituindo F i (u j ); j = 1, 2

22 Integração Dupla via Gauss-Legendre Rearranjando:

23 Integração Dupla via Gauss-Legendre Dispositivo prático: Sistematizar dados necessários para calcular uma integral dupla pela fórmula de Gauss-Legendre. Usando n x = 2 pontos em x e n y = 2 pontos em y: Valor da integral:

24 Integração Dupla via Gauss-Legendre Exemplo: Utilizando n x = n y = 2 pontos, calcular:

25 Integração Dupla via Gauss-Legendre 2 Fórmula Geral: Fórmula para n x = n y = 2 pontos pode ser modificada para um número qualquer de pontos em x e em y. Fórmula geral para integração dupla por Gauss-Legendre Pesos A i, i = 1, 2,.... n x e B j, j = 1, 2,.... n y e as abscissas t i e u j podem ser obtidos na literatura ou gerados.

26 Integração Dupla via Gauss-Legendre Dispositivo prático: Calcular uma integral dupla pela fórmula de Gauss-Legendre com n x pontos em x e n y em y. Valor da integral:

27 Integração Dupla via Gauss-Legendre Exemplo: Utilizando n x = 3 e n y = 4 pontos, calcular:

28 Comparação dos Métodos para Integração Dupla Primeiro teste: Solução analítica: Resultados (Fórmulas de Newton-Cotes são simples, nr. De subintervalos = ao grau do polinômio)

29 Comparação dos Métodos para Integração Dupla Gráfico da função f(x; y) = 2xysen(xy 2 )

30 Comparação dos Métodos para Integração Dupla Newton-Cotes com n = 2, 4 e 8 com m múltiplo de n e Gauss- Legendre com número de pontos p = 3, 5, 7, Abscissa contém o número p de pontos avaliados, e a ordenada, o logaritmo decimal da diferença entre o valor obtido pelo método e o valor exato.

31 Comparação dos Métodos para Integração Dupla Segundo teste: Valor exato

32 Comparação dos Métodos para Integração Dupla Desempenho dos quatro métodos.

33 Referencias Bibliográficas 1. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.