CÁLCULO I. Gabarito - Lista Semanal = 0, 5 π 70 dr. 0, 55 m/min. m3 /min. Então, para = 0, 2 m/min, teremos

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1 CÁLCULO I Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz Gabarito - Lista Semanal 06 Questão. Uma tempestade no mar danicou uma plataforma do petróleo, produzindo uma vazamento de 60 m /min que resultou numa mancha de forma circular com 5 centímetros de espessura. a Qual a taxa de aumento do raio da mancha quando o raio é de 70 metros? Sendo R o raio do círculo que varia de acordo com o tempo e h = 5 cm, a espessura da mancha, então o volume V do petróleo sobre o mar será dado por V = πr h = 5πR. A taxa de variação,, do volume em relação ao tempo é em que R dr = 0, 5π RdR = 0, 5πRdR é a taxa de variação do raio em relação ao tempo. Para = 60 m /min e R = 70 m, temos 60 = 0, 5 π 70 dr. Logo, dr = 60 0, 55 m/min. 0, 5 π 70 Assim, quando o raio é 70 metros, está aumentando à taxa de 0,55 m/min. b Suponha que o defeito seja consertado de tal forma que o vazamento pare instantaneamente. o raio da mancha estava aumentando à taxa de 0, m/min quando o vazamento parou, qual foi o volume de petróleo derramado. Então, R = Sabemos que = 60 dr m /min. Então, para = 0, m/min, teremos 60 0, 5 π 0,. Portanto, o volume de petróleo derramado foi 60 = 0, 5 π R 0,. 60 V = 0, 5π 8647m. 0, 5 π 0, Se

2 Questão. Em um exame médico, o tamanho de um tumor aproximadamente esférico é estimado medindose o diâmetro do tumor e usando a expressão V = 4 πr para calcular o volume. Se o diâmetro medido é,5 cm com um erro máximo de %, qual é a precisão do volume medido? por Seja x o diâmetro em questão, então o volume do tumor, aproximadamente esférico, será dado Temos que, o volume para x =, 5 cm é V = 4 πr = 4 π x = 6 πx. V, 5 = 6 π, 5 8, 8 cm. Seja E a função que dá o erro cometido ao calcular o volume usando um diâmetro de x =, 5 cm, quando o diâmetro real é, 5 + x, então E = V, 5 + x V, 5 V, 5 x. Como o erro máximo da medida do diâmetro é de %, então o erro pode ser no máximo de 0, 0, 5 = 0, 05 para mais ou para menos. Assim, x = ±0, 05. Temos que V x = πx e para x =, 5, teremos V, 5 = π, 5 9, 87. Substituindo V, 5 e x = ±0, 05 na equação que descreve o erro máximo do volume, temos E = 9, 87 ±0, 05 = ±0, 49. Portanto, o erro cometido ao se calcular o volume correspondente a 8, 8 cm é 0, 49 cm, então o volume real V está no intervalo [7, 690; 8, 678]. Questão. Um avião caça descreve um círculo de km de raio, como mostra a gura abaixo. Vamos assumir um sistema de coordenadas retangulares, de modo que a origem do sistema esteja no centro do círculo. A nave dispara um míssil que descreve uma trajetória retilínea tangente ao círculo e atinge um objeto sobre o solo cujas coordenadas são,-. a Determine o ponto sobre o círculo de onde foi disparado o míssil. Colocando em um sistema de coordenadas retangulares, temos que a trajetória do avião será dada pela equação x + y =, o solo é a reta y = e o objeto que foi atingido pelo míssil está no ponto Q =,. Temos a seguinte imagem Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz

3 Seja P = x 0, y 0 o ponto sobre o círculo de onde foi disparado o míssil, então a reta que passa pelos pontos P e Q é tangente à circunferência x + y =. Seja m a inclinação da reta que passa pelos pontos P e Q, então m = y 0 x 0. Usamos derivação implícita para descobrirmos a inclinação de uma reta tangente à circunferência, isto é, d dx x + y = d dx x + y dy dx = 0 dy Então, dx = x 0 é a inclinação da reta tangente à circunferência de raio no ponto P = x 0, y 0. y 0 Logo, para a reta tangente ao gráco de x + y = que passa pelos pontos P e Q, devemos ter m = y 0 x 0 = x 0 y 0 = dy dx, de onde temos que y 0 +x 0 = x 0 +y 0 =, pois P é um ponto da circunferência, logo x 0 +y 0 =. Com essas informações temos o seguinte sistema { x 0 + y0 = x 0 y 0 = Resolvendo o sistema temos como solução os pontos P = Como nossa solução está no quarto quadrante, o ponto P = é ponto que procurávamos. Abaixo vemos o gráco + 7 4, + 7 e P = 4 7, , Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz

4 b Se o míssil for disparado do ponto solo?, A inclinação da reta tangente à circunfência no ponto P = sobre o círculo, em que ponto se chocará com o, dado, será dy = dx P =. Logo, a equação da reta tangente à circunferência no ponto P será dada por y + = x + Fazendo a intersecção com a reta y =, temos que x = + 6, logo se o míssil for disparado do ponto P =, + 6, tocará o solo no ponto Q =,. Questão 4. Considere a função f contínua denida sobre [a, b], como na gura. Dado que de c a c 0 são números críticos: a Enumere os números críticos nos quais f x = 0. Os números críticos nos quais f x = 0, são aqueles em que a reta tangente é paralela ao eixo x. De acordo com o gráco, vemos que os pontos em que a reta tangente é paralela ao eixo x são c, c, c 4 e c 0 b Enumere os números críticos nos quais f x não está denida. A função é contínua sobre [a, b]. Os pontos do domínio onde o gráco da função possui "bicos" são os pontos em que a função não é derivável. Esse é um critério para determinarmos geometricamente os pontos do domínio em que a função não é derivável. Assim, pelo gráco vemos que nos pontos c, c 5, c 6, c 7 e c 9 a derivada não existe. Também em c 8 a derivada não está denida. De fato, pelo gráco vemos que não há a possibilidade da derivada ser zero em c 8, e sendo esse um número crítico a única possibilidade é que a derivada não exista em c 8 e que tenhamos a reta tangente paralela ao eixo y. c Distinguir os números de máximo relativo e os números de mínimo relativo. Analisando o gráco, vemos que fc fx, para todo x próximo de c, logo c é um número de máximo relativo. Analogamente, c 5 e c 9, também são números de máximo. Analisando o gráco, vemos que fc fx para todo x próximo de c, logo c é um número de mínimo relativo. Usando a mesma análise, vemos que c 4, c 7 e c 0 também são números de mínimo relativo. Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz 4

5 Questão 5. Considere a função fx = x 4 + x x. Use esta função e o Teorema de Rolle para mostrar que a equação 4x + x = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo [, ]. A função fx = x 4 + x x é uma função polinomial, que por sua vez é contínua em [, ] e diferenciável em,. Temos também que f = f, de fato f = 4 + = + = 0 e f = 4 + = + = 0. Logo, f satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle, que garante a existência de um c,, onde f c = 0. Como f c = 4c + c, temos que existe um c,, tal que 4c + c = 0, em outras palavras, a equação 4x + x = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo [, ]. Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz 5