Lista de Exercícios 1 Cálculo Numérico - Professor Daniel

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1 Lista de Exercícios 1 Cálculo Numérico - Professor Daniel Observação: Esta lista abrange os três primeiros tópicos da ementa do curso, teoria dos erros, sistemas lineares, e zeros de funções. Ela abrange toda a matéria da primeira prova. Instruções para a entrega: Nem todos os exercícios dessa lista devem ser entregues. Essa lista é dividida em três partes. Uma parte contendo questões teóricas, uma parte com exercícios que envolvem cálculos, e uma terceira parte com exercícios de modelagem. Cada parte da lista contém exercícios que devem ser entregues ou não, dependendo do seu K. No caso de dúvidas sobre o valor do seu coeficiente K, você pode conferi-lo com o professor em qualquer aula, perguntar por (danielhs@dm.ufscar.br). O mesmo vale para dúvidas em relação às operações mod. data de entrega é 30/04, mesmo dia da primeira prova. lista pode ser entregue até o dia da prova pessoalmente, ou por , enviando para danielhs@dm.ufscar.br, com o assunto Trabalho de Cálculo Numérico. Listas fora do prazo não serão aceitas! Sobre os exercícios teóricos: Seja NT o número do exercício teórico correspondente. Responda aos exercícios tais que K mod 9 = N T mod 9. ssim, por exemplo, se seu K for 22, então K mod 9 = 22 mod 9 = 4, então você deverá responder os exercícios cujo número também deixem resto 4 quando divididos por 9. Você faria para entrega os exercícios teóricos 4, 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67 e 76. Se o seu K for 1, então K mod 1 = 1 mod 1 = 1, então você deverá fazer os exercícios que deixem resto 1 quando divididos por 9. No caso, os exercícios 1, 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, e 73. Nada impede de você fazer os outros exercícios para estudar, mas apenas esse serão para entrega. Sobre os exercícios de cálculos: O exercício de cálculo 1 deve ser entregue por todos. Se o seu K for par, você também deverá entregar os exercícios pares, se o seu K for ímpar, você deverá também entregar os ímpares. Resumindo, K pares: entregar os exercícios 1, 2, 4 e 6 K ímpares: entregar os exercícios 1, 3, 5 e 7 Para todos os exercícios teóricos, utilizar erro relativo, (ao eixo x no caso de zeros de funções). tenção: Sempre utilizar três casas decimais de precisão quando for trabalhar com sistemas lineares. Sempre utilizar cinco casas decimais de precisão quando for trabalhar com zeros de funções. Sobre os exercícios de modelagem: Seja NM o número do exercício de modelagem correspondente. Responda aos exercícios tais que K mod 4 = N M mod 4. Os exercícios de modelagem são baseados em apenas montar o problema, mas não resolver. penas mostre qual o sistema, função que resolve o problema, e descreva o raciocínio utilizado para se chegar a essa conclusão. Não é necessário chegar aos resultados numéricos desses problemas! tenção com os exercícios que deverão ser entregues. Exercícios que não são os devidos de acordo com o seu K serão descosiderados! Teóricos 1) Diferencie erro de modelagem, erro de transição binária e erro de arredondamento. 2) Dando um exemplo numérico, explique por que os erros de transição binária são inevitáveis em programas de computador. 3) Descreva a diferença entre erro relativo e erro absoluto, mencionando um exemplo numérico. 4) Caracterize erro de overflow e de underflow. 5) Explique a diferença entre um método direto e um método iterativo.

2 6) Já foi visto em aula que o erro relativo de um problema, onde a solução é x, e temos um valor x, é dado por ε = x x. Essa definição é viável computacionalmente? Explique. x 7) Escreva o algoritmo para a resolução de um sistema triangular inferior. Não se esqueça de declarar as variáveis antes de descrever o seu algoritmo. 8) Por que usamos a estratégia de pivoteamento para resolver um sistema linear pelo método de Gauss? 9) Escreva o algoritmo para o pivoteamento de uma matriz pelo método de Gauss Parcial. Não se esqueça de declarar as variáveis antes de descrever seu algoritmo. 10) Explique as diferenças quanto à abordagem entre o método de Gauss com pivoteamento parcial e total. 11) Mencione uma vantagem e uma desvantagem entre o método de Gauss parcial e o método de Gauss total. 12) Embora o método do pivoteamento total exija menor esforço computacional para as operações, por fazer cálculos com números menores do que o pivoteamento parcial, esse método não é muito utilizado. Por que? 13) Explique o princípio de funcionamento do método LU, deixando bem claro por que a decomposição é feita, e como o algoritmo funciona após a divisão. (Não é necessário explicar como a decomposição é feita nessa questão) 14) Quais são os critérios necessários para que seja possível fazer a decomposição LU em uma matriz? 15) Uma das condições para a decomposição LU seja possível é que os menores principais sejam não-nulos. Porém essa condição pode ser ignorada se adotarmos a estratégia de pivoteamento? Justifique. 16) Mencione uma vantagem e uma desvantagem do método LU em relação ao método de Gauss parcial. 17) Escreva as fórmulas para a obtenção das matrizes L e U na decomposição LU. 18) Enuncie (mas não demonstre) o teorema da decomposição LU. 19) Dê exemplo de uma situação, preferencialmente prática, onde é conveniente aplicar o método LU. 20) Explique a base de funcionamento do método de Gauss-Jordan. 21) Escreva um algoritmo para a resolução de um sistema pelo método de Gauss-Jordan. Não se esqueça de declarar as variáveis. 22) Mencione uma vantagem e uma desvantagem do método de Gauss-Jordan em relação ao método de Gauss Parcial. 23) Explique como (e porque) o método de Gauss-Jordan nos permite calcular matrizes inversas. 24) Tanto o método de Gauss Jordan quanto o método LU podem resolver vários sistemas que possuam a mesma matriz. Mencione uma vantagem e uma desvantagem de cada um deles sobre o outro nessa situação. 25) Quais são os requisitos da matriz para que se possa ser aplicada a decomposição de Cholesky nessa matriz? 26) Mencione uma vantagem e uma desvantagem da decomposição de Cholesky em relação à decomposição LU. 27) Explique a diferença entre métodos iterativos e métodos diretos para a resolução de sistemas lineares. 28) Descreva como é feito o processo de Gauss Jacobi (ou Jacobi-Richardson) para a resolução de sistemas. Não se esqueça de mencionar quais são os dados de entrada e de saída do processo, bem como o critério de parada. 29) Quais os requisitos para que haja convergência no método iterativo de Gauss Jacobi (ou Jacobi Richardson)? 30) Descreva as diferenças entre os métodos de Gauss Jacobi e Gauss Seidel. 31) Dado um vetor x 2 = n, x = (x1, x2,, xn), diga como são calculadas as três normas de vetores. 32) Dada uma matriz quadrada 2 = nxn, diga como são calculadas as três normas de matrizes. 33) Dentre as três normas de vetores, qual a mais utilizada computacionalmente? Por que?

3 34) Dentre as três normas de matrizes, qual a mais utilizada computacionalmente? Por que? 35) Como se calcula o erro relativo em um método iterativo para sistemas lineares? 36) Em geral, qual normas são utilizadas para calcular erro sobre um sistema linear? Por que essa norma é melhor do que as outras, computacionalmente? 37) teoria de zeros de funções, tem como objetivo encontrar os pontos x onde uma função f(x) se anula, ou seja, os pontos onde uma função f(x) = 0. Descreva como essa mesma teoria pode ser aplicada para se resolver uma equação genérica, do tipo g(x) = h(x). 38) Mostre uma aplicação prática na sua área sobre encontrar raízes de funções reais. 39) Enuncie (mas não demonstre) o teorema do anulamento. 40) Explique como o erro para zeros de funções pode ser calculado em relação a dois parâmetros diferentes, um relativo ao eixo x e um relativo ao eixo y. 41) Para as funções f(x) = log( x) 3 e g(x) = 10 x-3 1, diga qual erro (em x ou em y) é o mais apropriado. Justifique a necessidade de cada um deles, faça gráficos se julgar necessário. 42) Para problemas práticos, geralmente utilizamos o erro relativo ao eixo x. Justifique por que fazemos isso. 43) Foi visto em aula que, se f(x) é uma função contínua em um intervalo [a,b], e f(a).f(b) < 0, então existe uma raiz em (a;b). Justifique geometricamente essa afirmação. 44) Justifique por que a função deve ser contínua para aplicarmos o teorema do anulamento, mostrando um contraexemplo. 45) O teorema do anulamento não permite que encontremos raízes duplas. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique. 46) O teorema do anulamento não permite que encontremos raízes triplas. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique. 47) volta do teorema do anulamento é válido? Ou seja, é correto dizer que, para qualquer raiz x, então vão existir pontos a e b tais que f(a).f(b) < 0, com x 2 [a;b]? Se for verdadeiro, justifique, se for falso, mostre um contra-exemplo. 48) Deduza qual o número N de passos necessários pelo método da bissecção, partindo-se de um intervalo de tamanho inicial L0, a raiz possa ser determinada com erro menor que ε dado. 49) Escreva o algoritmo para o método da bissecção. Suponha que a convergência seja garantida, e os dados de entrada são ε, a função f(x) e o intervalo [a;b] 50) O método da bissecção consegue encontrar raízes duplas? Justifique. 51) Quais condições devem ser satisfeitas de modo que o método da bissecção tenha sua convergência assegurada? 52) Explique o graficamente princípio de funcionamento do método das aproximações sucessivas. 53) Dada uma função f(x) genérica, mostre que existem pelo menos dois modos distintos de criar funções φ1(x) e φ2(x), que possam ser aplicadas no método das aproximações sucessivas. (penas mostre que φ pode ser construída, mas não se preocupe em mostrar a convergência!) 54) Escreva um algoritmo para o método das aproximações sucessivas. Suponha que a sua convergência seja válida, e os dados de entrada são ε, o ponto inicial x0, e a função φ(x). 55) Escreva um algoritmo para o método das aproximações sucessivas, onde você não sabe se a convergência é garantida ou não. Os dados de entrada serão ε, o ponto inicial x0, a função φ(x), e o número máximo de iterações permitidas Nmax. 56) Quais condições devem ser satisfeitas de modo que o método das aproximações sucessivas tenha sua convergência assegurada?

4 57) Explique geometricamente o funcionamento do método das aproximações sucessivas, e faça gráficos que ilustrem essa situação, em três casos, quando a função converge, sendo crescente, onde ela converge e é decrescente, e um terceiro caso, quando a função diverge. 58) Justifique geometricamente os critérios de convergência do método das aproximações sucessivas. 59) Mencione uma vantagem e uma desvantagem do método das aproximações sucessivas em relação ao método da bissecção. 60) O método das aproximações sucessivas pode determinar raízes duplas? Justifique. 61) Explique geometricamente o funcionamento do método de Newton para zeros de funções. 62) Escreva um algoritmo para o método de Newton. Suponha que a convergência seja assegurada, e os dados de entrada são ε, o ponto inicial x0, e a função f(x). 63) Quais condições devem ser satisfeitas para que haja garantia de convergência no método de Newton? 64) Verdadeiro ou falso: O método de Newton sempre converge mais rapidamente que o método da bissecção. Caso você julgue a afirmação verdadeira, justifique, caso contrário, mostre um contra-exemplo. 65) O método de Newton é um caso especial do método das aproximações sucessivas. Justifique essa afirmação. 66) Deduza os critérios de convergência para o método de Newton a partir da convergência do método das aproximações sucessivas. 67) Explique com suas palavras o conceito de ordem de convergência. 68) Demonstre que o método de Newton para zeros de funções sempre converge para equações de primeiro grau. 69) Demonstre algebricamente que o método de Newton sempre encontra raízes de equações de primeiro grau utilizando uma única iteração. 70) Justifique geometricamente a afirmação da questão anterior. 71) O método de Newton pode ser utilizado para encontrar raízes duplas? Justifique algébrica e geometricamente. 72) O método de Newton, dentre todos os métodos estudados é o que apresenta a convergência mais rápida. No entanto ele não é muito aplicado computacionalmente. Justifique o porquê disso. 73) O método de Newton é sempre mais rápido que o método da bissecção. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Se julgar falsa, mostre um contra-exemplo, se julgar verdadeira, justifique o porquê. 74) Dê uma descrição geométrica para o método das secantes, fazendo um gráfico que explique como ele funciona, e deduza seu algoritmo. 75) Diferencie o método de Newton do método das Secantes, citando uma vantagem e uma desvantagem de cada um deles sobre o outro. 76) Verdadeiro ou falso: Os métodos de Newton e das Secantes apresentam o mesmo critério de convergência. Justifique o seu raciocínio. 77) Escreva um algoritmo para o método das secantes. Suponha que a convergência é garantida, e que os dados de entrada são dois pontos iniciais x0 e x1, a função f(x), e o erro ε. 78) função f(x) = x 2.(x-3) 2.(x+3) 2 possui três raízes reais, além de ser contínua, uma vez que é polinomial. Porém, ela é sempre não-negativa, para qualquer x real. Isso vai contra o teorema do anulamento? 79) O método da bissecção pode ser aplicado ao polinômio f(x) = x 2.(x-1), cujas raízes são 0 e 1, utilizando o intervalo [-2;3]. Para qual das raízes o método convergirá? 80) Na questão anterior, se tomássemos o intervalo [-2;2], o que aconteceria? 81) Se uma função f(x) possuir três raízes em um intervalo [a;b]. Proponha um modo para que se possa achar cada uma das três raízes. (Suponha que nenhuma das três raízes é dupla)

5 De cálculos 1) Dado o sistema linear { 4.2x x x 3 0.6x 4 = x x 2 0.7x 3 = x 1 0.8x x 3 1.6x 4 = x 1 + 2x 2 + (4 + K 2 ) x 4 = 6.5, onde K é o seu K na lista de chamada. a) Verifique quais métodos (diretos e iterativos) podem ser aplicados nesse sistema. b) Resolva esse sistema utilizando todos os métodos diretos. c) plique os dois métodos iterativos para esse sistema, a partir do ponto inicial x 0 = (0, 0, 0, 0) t, e faça as três primeiras iterações. Compare os erros encontrados ) Seja a matriz dada [ ] a) Verifique se é possível realizar a decomposição LU nessa matriz. b) Faça a decomposição LU dessa matriz c) Resolva os sistemas x = [ 7.6], x = [ 7.18] e x = [ 7.4], pelo método LU ) Determine a matriz inversa da matriz [ 4 2 6] pelo método de Gauss Jordan. Justifique o ocorrido x 1 + x 2 + 7x 3 = K 4 5x 1 + 2x 3 = K 4 3, onde K4 = K mod 4 2x 1 + 8x 2 + 2x 3 = 2K 4 a) Resolva esse sistema por todos os métodos diretos possíveis. (Verifique antes se cada método é possível!) b) plique, se possível os métodos iterativos para resolver esse sistema, com ε = ) Seja o sistema dado por { 5) Seja a função polinomial dada por p(x) = -1.2x x x a) Esboce um gráfico dessa função no intervalo [-5; 5]. (Você pode utilizar um software gráfico caso julgue necessário) b) Demonstre que essa função tem três raízes x1, x2 e x3, utilizando o teorema do valor intermediário, e determine intervalos I1, I2 e I3, de tamanho 1, tais que x1 2 I1, x2 2 I2 e x3 2 I3. c) Fazendo o método da bissecção no intervalo [-5, 5], para qual das raízes o método convergirá? d) Caso se deseje determinar uma das x1 com precisão ε = , quantas iterações seriam necessárias, partindo do intervalo I1? e) Determine x2 com precisão ε = pelo método da bissecção, partindo do intervalo I2, definido no item b) 6) Seja a função polinomial dada por p(x) = 2x 2 5x 17. a) Mostre que a função tem duas raízes reais no intervalo [-4; 6] b) Construa ao menos quatro funções φ(x) que possam ser utilizadas no método das aproximações sucessivas (mas não se preocupe em mostrar a convergência). c) Demonstre que utilizando a função iterativa φ(x) = 5x+17 converge para a raiz positiva da função. 2 d) plique o método das aproximações sucessivas com a função de iteração descrita no item anterior, e obtenha a raiz com precisão ε = ) Seja a função f(x) = ln(4x) x a) Determine o domínio dessa função. b) Mostre que o método de Newton converge no intervalo [0.1; 0,5] c) Calcule a raiz dessa função pelos métodos de Newton e das secantes, com ε = d) Calcule as quatro primeiras iterações para o método de Newton, partindo do ponto inicial x = 2.0. De modelagem 1) Escreva o sistema linear cuja solução é o ponto de intersecção entre os planos a: 3x 2y + z = 10, b: 7x + 5y z = 7, g: x 3y + z = 7 2) Modele um sistema linear que determine uma função de segundo grau que passa pelos pontos cujas coordenadas são (2; 4), (-1; 5) e (0; -2)

6 3) Modele um sistema linear que determine uma equação de terceiro grau do tipo y = ax 3 + bx 2 + cx + d tal que ela passe pelos pontos [2,1],[1,4],[0,-3],[-1,-2]. 4) soma dos primeiros n + 1 números naturais, ou seja, n, é dado por uma equação de segundo grau, do tipo ax 2 + bx + c. Modele um sistema linear que calcule os valores de a, b e c. (Embora seja possível se deduzir isso com soma de P.., faça o sistema linear correspondente) 5) soma dos n + 1 primeiros quadrados, ou seja: n 2 será uma equação de terceiro grau. Modele um sistema linear cuja solução determine os coeficientes da função de terceiro grau em questão. (Esse exercício também pode ser resolvido por séries, mas faça através de sistemas lineares!) 6) nalogamente, a soma dos primeiros n + 1 cubos perfeitos, n 3 será uma equação de quarto grau. Crie o sistema que modela esse problema. O método das frações parciais, muito utilizado em equações diferenciais transforma uma fração entre dois polinômios, onde o grau do polinômio numerador é menor do que o do polinômio denominador é transformado em uma soma de frações, onde cada uma delas tem numerador como sendo um número real, e denominador de primeiro grau. Todo o método é baseado na resolução de sistemas lineares. Descubra, para cada item, quais são os valores dos coeficientes reais, B, C... que tornem as equações verdadeiras: 7) 8) 9) 3x+1 (x+3)(x 1) = x 2 + 9x + 2 (x 2)x(x+1) = (x 1) + 5x 2 6x + 3 (x 1)x(x+1)(x+3) = 10) 2.5x2 + 9x 1.5 x(x 3)(x+1) B (x+3) (x 2) + B x + C (x+1) (x 1) + B x + = x + B x 3 + C x+1 C (x+1) + D (x+3) 11) Em um restaurante japonês são vendidas várias opções de combos de almoço, com preços variados. Na lista, nós temos as seguintes opções, seguida pelos relativos preços: Combo Individual Executivo: 4 Sushis + 2 Sashimis + 1 Bolinho da sorte + 1 Sakê = R$ 9,60 Combo Familiar : 15 Sushis + 10 sashimis + 5 Bolinhos da sorte = R$ 29,00 Combo Grupo Executivo :12 Sushis + 6 Sashimis + 3 Bolinhos da sorte + 7 Sakê = R$ 40,80 Combo Super Sumô : 20 Sushis + 20 sashimis + 4 Bolinhos da sorte + 2 Sakê = R$ 56,00 Suponha que não hajam promoções (ou seja, não há descontos em cada combo). Modele um sistema linear que determine o preço de cada item individual do cardápio. 12) Quarto números são tais que suas somas, três a três são iguais a 22, 24, 27 e 29. Modele um sistema linear que calcule que números são esses. 13) Seja f(x) a função f(x) = 3cos(x).x 2. Determine um modelo computacional para encontrar o menor valor para x positivo tal que f(x) = ) Um vendedor de churros percebeu que, vendendo churros à R$ 1,80, ele conseguia vender 1200 churros por dia. lém disso, para cada R$ 0,10 a mais no preço dos churros, ele perdia 50 clientes. Determine uma função que calcule o lucro dele, em função da variação de preço x. 15) Uma micro empresa tem seu custo, dado através do tempo, estimado pela função C(t) = (1.1) t, t em meses. Já a sua receita é estimada através da função R(t) = (2+0.1t) 3t, para t entre 0 e 15. Determine uma função que dê o lucro dessa empresa. E escreva uma equação que determine a partir de qual mês a empresa passa a dar lucro superior a 1000,00. 16) Seja o polinômio de 6º grau f(x) = x 6 x 5 25x x x 2 4x 12. Calcule o valor desse polinômio em todos os números de -4 a 4, incrementando de 0.5 em 0.5. nalise os sinais, e determine todas as raízes possíveis, utilizando o método de sua preferência. 1 17) Seja a função f(x) = 1+x2 e seja α um ponto qualquer de seu domínio. Passando-se retas tangentes à f(x) por α, teremos sempre uma inclinação com o eixo x, e um coeficiente angular. Determine uma equação que calcule para qual valor de α esse coeficiente angular será máximo.

7 18) Proponha uma método para determinar qual valor é maior: e p ou p e. 19) Para o polinômio do exercício 16, determine equações que calculem seus pontos críticos, e de inflexão. 20) Seja f(x) a função modelada na questão 14 (você pode supor ela como pré-calculada). Como proceder para saber qual o preço ideal para o lucro máximo?