1 a Lista de Exercícios Prof a. Vanessa Rolnik. seguir e indique o tipo de erro quando a representação não for possível.

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1 Tópicos de Análise Numérica 1 a Lista de Exercícios Prof a. Vanessa Rolnik 1. Considere o sistema PF( 1, 3, -4, 4) de base 1, 3 dígitos na mantissa, menor expoente -4 e maior expoente 4.Quantos números podemos representar exatamente nete sistema? Quais as regiões de overflow e underflow desse sistema? Represente neste sistema os números a seguir e indique o tipo de erro quando a representação não for possível. (a) (b) (c) (d) Considere o sistema PF( 2, 5, -3, 1) de base 2, 5 dígitos na mantissa, menor expoente -3 e maior expoente 1. Quantos números podemos representar exatamente nete sistema? Quais as regiões (na base 1) de overflow e underflow desse sistema? Represente neste sistema os números a seguir e indique o tipo de erro quando a representação não for possível. (a) (b) (c) (d) Seja: x = 17, 678 3, (9, 617)2 3, 716 1, 85. a) calcule x considerando o sistema PF( 1, 3, -4, 3) fazendo arredondamento a cada operação efetuada. b) compare com o valor obtido na calculadora sem efetuar arredondamento. 4. Seja P (x) = 2, 3x 3, 6x 2 + 1, 8x 2, 2. a) calcule P (1, 61) considerando o sistema PF( 1, 3, -4, 3) fazendo arredondamento a cada operação efetuada. b) compare com o valor obtido na calculadora sem efetuar arredondamento. 5. Deseja-se calcular e.15. Considere o sistema PF( 1, 5, -1, 1) e a série truncada em 25 termos. Calcule: a)e.15 b e.15 1 e em seguida e.15 c) compare os resultados de a) e b) com o valor obtido na calculadora. Qual a explicação? 1

2 6. Calcule 71 7 usando 6 dígitos significativos em todas as operações. O resultado que você obteve possui 6 algarismos corretos? Qual a explicação? Como obter um resultado mais preciso? 7. Resolva o sistema linear: { x + y = 2 x + 1, 1y = 2, 1 Agora, altere o número 2, 1 para 2, 2 e resolva novamente. Pequenas mudanças nos dados de entrada produziram pequenas mudanças no resultado? Dê uma interpretação geométrica do problema? Qual tipo de efeito numérico está associado a esse problema? 8. Deseja-se determinar numericamente o valor da integral: para um valor fixo de a = 1. a)calcule y usando a integral; y n = 1 b) mostre que uma relação de recorrência pode ser x n x + a dx, y n = 1 n ay n 1; c) calcule y n para n = 1, 2,..., 1 usando a recorrência. Os valores obtidos são confiáveis? d) mostre que outra relação de recorrência é y n 1 = 1 a ( ) 1 n y n. e) considere que y 2 = e obtenha y n para n = 1, 9,...,. Os resultados foram melhores que os do item c)? Como você explica isso? 9. Escreva os números a seguir seguindo a norma IEEE-754 em uma cadeia de 32 bits em precisão simples e em uma cadeia de 64 bits em precisão dupla: a) 256,1875 b) c), O valor de π pode ser calculado com a série: π = 4 ( 1) n 1 1 2n 1. n=1 Escreva um programa no Matlab que calcule o valor de pi usando n termos da série e calcule o erro relativo real correspondente (para o valor verdadeiro de π use a variável pi predefinida no Matlab). Use o programa para n = 1, n = 2 e n = 4. 2

3 x f(x) Dada a tabela: a) ajuste seus dados por uma função do tipo: reta polinômio do 2o grau g(x) = ae x + be x b) calcule o Erro Total de cada um dos 3 ajustes. 12. Considere x y (a) Através do teste de alinhamento, escolha umas das seguintes famílias de funções que melhor ajusta estes dados: ae bx, 1/(a + bx), x/(a + bx). (b) Ajuste os dados acima à família de funções escolhida. 13. A partir de uma tabela com n pontos (x i, f(x i )), i = 1, 2,..., n, deduza as fórmulas para a e b (abaixo) do ajuste linear g(x) = a + bx. a = f(x i ) x 2 i n x 2 i x i x i x i f(x i ) b = x i n x i f(x i ) n x 2 i x i f(x i ) x i x i 14. Deduza um sistema normal específico para ajustar uma função tabelada, com n pontos, por uma função polinomial de grau p dado, p < n. 15. Seja f(x) = (x 3 1) 2, x [ 1, 1]. Usando o método dos mínimos quadrados e o produto escalar usual em C[ 1, 1], aproximar a função f(x) por: uma reta um polinômio do 2o grau um polinômio do 2o grau, usando como base os polinômios de Legendre. Calcule o Erro Total do ajuste por reta. 3

4 16. Considere a função: y(t) = { 1, π t 1, t π Verifique que a aproximação trigonométrica de grau 2 é dado por g(t) = 4 π sen(2t). y(t) g(t) = a + a 1 cos(t) + b 1 sen(t) + a 2 cos(2t) + b 2 sen(2t) 17. Considere a função f(x) dada por: k f(x) onde k = 2kπ 12. Obtenha uma aproximação trigonométrica de grau Resolva, pelo método dos mínimos quadrados, o sistema linear: 3x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 2x 1 x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + x 2 x 3 = 2x 1 3x 2 2x 3 = Um capacitor de capacitância C Farads e com carga inicial de q Coulombs está sendo descarregado através de um circuito elétrico que possui um resistor com resistência de R Ohms. Da teoria, sabe-se que em um certo instante t, a corrente I do circuito é dada por: I = I e ( t RC ), onde t = é instante em que o circuito é ligado e I q/rc. Os seguintes dados experimentais foram obtidos: t(s) I(A) a) Calcule os desvios quadrados médios: [ m ] DQM 1 = (Y i A Bt i ) 2 /m [ m ] DQM 2 = (I i ae bt i ) 2 /m 4

5 onde Y i = ln(i i ), A = ln(a), B = b e m é o número de pontos da tabela. Qual o significado desses desvios? b) Qual o tempo necessário para que a corrente seja 1% da inicial? 2. Em um estudo, determinou-se que a vazão de água em uma tubulação está relacionada com o diâmetro e com a inclinação em relação à horizontal dessa tubulação. Os dados experimentais estão na tabela abaixo: Experimento Diâmetro(m) Inclinação Vazão(m 3 /s) O estudo também sugere que a equação que rege a vazão da água tem a seguinte forma: Q = ad b S c, onde Q é a vazão, S é a inclinação da tubulação, D é o diâmetro e a, b e c são os parâmetros a determinar. a) Usando a equação anterior e o método dos mínimos quadrados, determine a, b e c; b) Use o resultado do item a) para estimar a vazão em m 3 /s para uma tubulação com um diâmetro de 2.5 m e uma inclinação de A equação erf(z) é definida pela integral erf(z) = 2 π z e t2 dt sendo encontrada com frequência na teoria de probabilidades, erros de observação, refração, condução de calor, etc. Usando os dados da tabela abaixo, determine uma aproximação para erf(, 14) usando um polinômio interpolador de grau 3, a) resolvendo o sistema linear b) usando a forma interpoladora de Lagrange c) usando a forma interpoladora de Newton 5

6 z,,5,1,15,2 erf(z),,6,11,17,22 Calcule uma aproximação para o erro. 22. Seja f(x) = 7x 5 3x 2 1. Construa o polinômio interpolador para esta função sobre os pontos de abscissa x = 2, 1,, 1. Determine um limitante superior para o erro de truncamento em x =.5 e x =.5. Compare com o erro absoluto. 23. Conhecendo-se a tabela: x cos(x) calcule um limitante superior para o erro de truncamento quando calculamos cos 1.5 usando polinômio de interpolação sobre 4 pontos. 24. Sabendo-se que 1.3 = e 1.4 = 1.198, calcule uma aproximação para 1.35 usando interpolação polinomial e dê um limitante superior para o erro de truncamento. 25. O valor de log foi computado por interpolação polinomial sobre os pontos 12 e 13. Mostre que o erro de truncamento é Quando conhecemos os valores de uma função y(x) e de sua derivada y (x) em n + 1 pontos dados, podemos montar um único polinômio P 2n+1 (x) de grau 2n + 1 tal que P 2n+1 (x i ) = y i P 2n+1(x i ) = y i, i =, 1,..., n. Determine P 3 (x) tal que: P 3 () =, P 3 (1) = 1, P 3() = 1, P 3(1) =. 27. Frequentemente acontece que os valores tabelados de uma variável y que depende de uma variável x são dados e pretendemos achar o valor de x da variável independente correspondente a um dado ȳ da variável dependente. Este processo é conhecido como Interpolação Inversa. A partir da tabela abaixo, determine a raiz de f(x) usando interpolação inversa sobre 3 pontos. 6

7 x f(x) Um projétil foi lançado de um ponto tomado como origem e fotografado em dois momentos para determinar sua altitude. A 1 metros do ponto de lançamento estava a 6 metros de altitude e a 2 metros estava a 4 metros de altitude. Com estes 3 pontos é possível interpolar a trajetória do projétil. Comparando a equação teórica y = x tg(ψ) 1 2 g x 2 v 2cos2 ψ com a obtida pela interpolação, determine os parâmetros de lançamento: o ângulo ψ com a horizontal e a velocidade inicial v. 29. Deduzir as Regras do Trapézio, 1/3 de Simpson e 3/8 de Simpson, simples e generalizadas. 3. O método do ponto central consiste em aproximar a área abaixo da curva pela área de um retângulo com a altura correspodente ao valor da f no ponto médio entre a e b. método do ponto central generalizado cuja fórmula é b N ( ) xi + x i+1 f(x)dx h f. 2 a Deduza o 31. Calcule as integrais a seguir pela regras do Trapézio, 1/3 de Simpson e 3/8 de Simpson usando 6 divisões do intervalo de integração. Compare os resultados. I 1 = x lnx dx I 2 = 1.5 xe x dx 32. Nas integrais do exercício anterior, com quantas divisões do intervalo podemos esperar obter erros menores que 1 5? 33. Considere a função f(x) dada pela tabela: x f(x) a) Calcule I = 2 2 f(x)dx usando a Regra 1/3 de Simpson; b) Se os valores tabelados são de um polinômio de grau 3, o que pode ser afirmado sobre o erro cometido na aproximação de I pela Regra 1/3 de Simpson? 7

8 34. Para estimar a área superficial de uma bola de futebol americano, mede-se o seu diâmetro em diferentes pontos. A área superficial S e o volume V podem ser determinados usando: S = 2π L r dz e V = π L r 2 dz. Use o método 1/3 de Simspon com os dados abaixo para determinar o volume superficial da bola. z(cm) 2,5 5,1 7,6 1,2 12,7 15,2 17,8 2,3 22,9 25,4 27,9 3,5 d(cm) 6,6 8,1 12,2 14,2 15,2 15,7 15,2 14,2 12,2 8,1 6,6 35. A densidade ρ da Terra varia com o raio r. A tabela a seguir fornece a densidade aproximada em diferentes raios: r(km) ρ(kg/m 3 ) A massa da Terra pode ser calculada por: m = 637 ρ4πr 2 dr. Calcule a itegral dos dados tabulados não igualmente espaçados, usando a Regra do Trapézio em cada suintervalos. 8