Métodos Numéricos Professor Tenani - 3 / 42

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1 Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

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3 Introdução Objetivos da Seção Entender o que são problemas de raízes e onde eles ocorrem em engenharia. Aprender como determinar uma raiz gracamente. Entender o método da busca incremental e suas deciências. Aprender a resolver um problema de raízes com o método da bissecção. Compreender como estimar o erro da bissecção. Entender o método da falsa posição e como ele difere da bissecção. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

4 Você tem um problema Perigo Segundo estudos médicos, as chances de uma saltador sofrer uma lesão nas vértebras aumenta bastante se a velocidade de queda livre exceder 36m/s após 4 segundos de queda livre. Você deve determinar a massa na qual esse critério é excedido, dado um coeciente de arrastre de 0,25 km/m. v(t) = gm ( gk ) k tanh m t Substituindo os valores conhecidos ( ) 9, 81m 36 = 0, 25 tanh 9, 81 0, 25 4 m Observe que não sabemos como isolar m nessa equação. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

5 Você tem um problema Perigo Segundo estudos médicos, as chances de uma saltador sofrer uma lesão nas vértebras aumenta bastante se a velocidade de queda livre exceder 36m/s após 4 segundos de queda livre. Você deve determinar a massa na qual esse critério é excedido, dado um coeciente de arrastre de 0,25 km/m. ou 36 = ( ) 9, 81m 0, 25 tanh 9, 81 0, 25 4 m ( ) 9, 81m 0, 25 tanh 9, 81 0, = 0 m Assim, podemos ver que a resposta para o problema é o valor de m que torna a função igual a zero. Isto é, estamos procurando raízes da equação. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

6 Métodos Grácos Um método simples para obter uma estimativa da raiz da equação f(x)=0 é fazer um gráco e observar onde ele corta o eixo das abcissas. % Exemplo de C o n s t r u c a o de g r a f i c o no MatLab k = ; g = ; v =36; t =4; m = l i n s p a c e ( 5 0, 200) ; y = s q r t ( g*m/k ). * tanh ( s q r t ( g*k. /m) * t ) v ; p l o t (m, y ), g r i d ; Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

7 Métodos Grácos Abordagem gráca para obter uma estimativa da massa do saltador de bungee jumping com k = 0, 25, v = 36m; s após 4s. Figura: O Gráco da Função nos mostra que a raiz esta entre 140 kg e 150 kg Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

8 Métodos Grácos Técnicas Grácas Tem pouco valor prático por não ser preciso. Pode ser usado como aproximação inicial para os métodos numéricos. As interpretações grácas são ferramentas importantes para entender as propriedades das funções. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

9 Métodos Grácos Localização de Raízes- Exemplos As partes (a) e (c) indicam que, se f (x min ) e f (x max ) tiverem o mesmo sinal, ou não existirão raízes ou existirá um número par de raízes no intervalo. As partes (b) e (d) indicam que, se a função tiver sinais diferentes nas extremidades, existirá um número ímpar de raízes no intervalo. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

10 Métodos Grácos Localização de Raízes- Exemplos Ilustração de algumas exceções aos casos gerais mostrados na Figura (a) Raízes múltiplas que ocorrem quando a função é tangente ao eixo x: embora as extremidades tenham sinais opostos, há um número par de intercepções com o eixo nesse intervalo. (b) Funções descontínuas nas quais as extremidades de sinais opostos cercam um número par de raízes. É necessário usar estratégias especiais para determinar as raízes nesses casos. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

11 Estimativas Iniciais Tentativa e Erro Os métodos que iremos utilizar para a busca das raízes de uma função necessitam de uma "aproximação inicial"para, em seguida, buscar sistematicamente a raiz de uma forma iterativa. As duas principais classes de métodos disponíveis são distinguidas pelo tipo de aproximação inicial. Métodos Intervalares: Como o nome indica, eles são baseados em duas aproximações iniciais que delimitam a raiz. Isto é; estão uma de cada lado da raiz. Métodos Abertos Esses métodos podem envolver uma ou mais aproximações iniciais, mas não é necessário que delimitem a raiz. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

12 Busca Incremental Teorema Em geral, se f (x) for real e contínua no intervalo x min a x max e f (x min ) e f (x max ) tiverem sinais opostos, isto é, se: f (x min ) f (x max ) < 0 então existe pelo menos uma raiz no intervalo [x min, x max ]. Incremento Uma forma de se isolar as raízes de f (x) usando esse resultados é tabelar f (x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f (x) Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

13 Busca Incremental Exemplo Encontre os intervalos que contém as raízes de f (x) = x 3 9x + 3 considerando um incremento de 1 unidade. Solução Construindo uma tabela de valores para f (x) e considerando apenas os sinais, temos: x f (x) Pode-se concluir que cada um dos intervalos I 1 = [ 5, 3],I 2 = [0, 1] e I 3 = [2, 3] contém pelo menos uma raiz de f (x). Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

14 Busca Incremental Exemplo Encontre os intervalos que contém cada uma das três raízes de f (x) = x 5e x considerando um incremento de 1 unidade. Solução Construindo uma tabela de valores para f (x) e considerando apenas os sinais, temos: x f (x) Pode-se concluir que a raiz se encontra no intervalo I = [1, 2]. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

15 Busca Incremental Incremento Um problema com esse método é o comprimento do incremento. Se o incremento for pequeno demais, a busca pode gastar muito tempo. Se o incremento for grande demais, existe a possibilidade de que raízes próximas possam ser perdidas. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

16 Busca Incremental no MATLAB Podemos desenvolver um programa no MATLAB para implementar uma busca incremental a m de localizar as raízes de uma uma função f. f u n c t i o n B u s c a I n c r e m e n t a l ( f, min, max, n ) % E n c o n t r a os i n t e r v a l o s de x que contem mudancas de s i n a l em um i n t e r v a l o % f = nome da f u n c a o % min, max = e x t r e m i d a d e s do i n t e r v a l o % n = numero de d i v i s o e s do i n t e r v a l o ( o p c i o n a l : p a d r a o = 50) i f n a r g i n < 3 e r r o r ( ' Sao n e c e s s a r i o s p e l o menos 3 argumentos ' ) ; end i f n a r g i n < 4 n= 5 0 ; % v a l o r p a d r a o p a r a numero de d i v i s o e s end x= l i n s p a c e ( min, max, n ) ; % d i v i d e o i n t e r v a l o em n s u b i n t e r v a l o s d i s p ( ' ******* I n t e r v a l o s e n c o n t r a d o s *********** ' ) ; ns = 0 ; %Numero de s u b i n t e r v a l o s e n c o n t r a d o s Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

17 Busca Incremental no MATLAB f o r k = 1 : l e n g t h ( x ) 1 i f f ( x ( k ) ) * f ( x ( k+1) )<0 % v e r i f i c a s e ha mudanca de s i n a l f p r i n t f ( ' [%8.4 f,%8.4 f ] \ n ', x ( k ), x ( k+1) ) ; ns = ns + 1 ; end end i f ns > 0 f p r i n t f ( ' Foram e n c o n t r a d o s %2d s u b i n t e r v a l o s \n ', ns ) ; e l s e f p r i n t f ( ' Nao f o i e n c o n t r a d o nenhuma mudanca de s i n a l ', ns ) ; end f p l o t ( f, [ min max ] ) ; g r i d on end Exemplo y x ) s e n (10* x )+c o s (3* x ) B u s c a I n c r e m e n t a l ( y, 3, 6 ) B u s c a I n c r e m e n t a l ( y, 3, 6, ) Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

18 Método da Bissecção Objetivos da Seção No método da bissecção o intervalo anterior é dividido na metade do intervalo em que a função muda de sinal. Calcula-se o valor da função no ponto médio do intervalo. Escolhe-se o outro extremo do intervalo de tal forma que o valor de f (x) tenha sinal oposto ao valor da função no ponto médio. O processo é repetido até a raiz seja conhecida com a precisão desejada. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

19 Método da Bissecção Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

20 Método da Bissecção Exemplo Use o método da bisseção para determinar a massa do saltador de bungee jumping com uma coeciente de arrastre de 0,25 para uma velocidade de 36m/s após 4s de queda livre. Realize os cálculos até que ε a < 0, 5%. Use x min = 50 e x max = 200. Calcule também o erro verdadeiro usando como valor exato para a raiz m = 142, 7376kg. obs: Sabemos que a raiz esta entre 140 e 150, mas usaremos esse intervalo (50-200) para ns didáticos Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

21 Método da Bissecção Exemplo Use o método da bisseção para determinar a massa do saltador de bungee jumping com uma coeciente de arrastre de 0,25 para uma velocidade de 36m/s após 4s de queda livre. Realize os cálculos até que ε a < 0, 5%. Use x min = 50 e x max = 200. Calcule também o erro verdadeiro usando como valor exato para a raiz m = 142, 7376kg. Solução Observe que f (x min ) f (x max ) < 0. Vamos calcular a aproximação inicial fazendo a média aritmética dos extremos. x r = f (x min) + f (x max ) = = O erro verdadeiro ɛ v será: ɛ v = 142, , 7376 = 12, 43% Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

22 Método da Bissecção Exemplo Use o método da bisseção para determinar a massa do saltador de bungee jumping com uma coeciente de arrastre de 0,25 para uma velocidade de 36m/s após 4s de queda livre. Realize os cálculos até que ε a < 0, 5%. Use x min = 50 e x max = 200. Calcule também o erro verdadeiro usando como valor exato para a raiz m = 142, 7376kg. Solução Lembrando que f (x min ) < 0 e f (x max ) > 0 Calcula-se o produto do valor da função f (x) no ponto médio. f (125) = 0, 409 < 0 Precisamos de um intervalo em que ocorre mudança de sinal na função, a raiz deve estar localizada no intervalo superior entre 125 e 150. Criamos um novo intervalo com x min = 125 e x max = 200 e repetimos o procedimento anterior até que ε a < 0, 5%. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

23 Método da Bissecção Exemplo Use o método da bisseção para determinar a massa do saltador de bungee jumping com uma coeciente de arrastre de 0,25 para uma velocidade de 36m/s após 4s de queda livre. Realize os cálculos até que ε a < 0, 5%. Use x min = 50 e x max = 150. Calcule também o erro verdadeiro usando como valor exato para a raiz m = 142, 7376kg. Solução x r = f (x min) + f (x max ) = = 162, ɛ v = 142, , 5 142, 7376 = 13, 85% ɛ a = , = 23, 08% f (x r ) = f (162, 5) = 0, 359 > 0. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

24 Método da Bissecção Exemplo Use o método da bisseção para determinar a massa do saltador de bungee jumping com uma coeciente de arrastre de 0,25 para uma velocidade de 36m/s após 4s de queda livre. Realize os cálculos até que ε a < 0, 5%. Use x min = 50 e x max = 150. Calcule também o erro verdadeiro usando como valor exato para a raiz m = 142, 7376kg. Solução Como f (x r ) > 0, f (x max = 162, 5) x r = f (x min) + f (x max ) = 2 ɛ v = 142, , , 7376 f (x r ) = f (143, 75) < 0. f (x min < 0) e f (x max ) > 0 fazemos X m in = 125 e , 5 = 143, 5 2 = 0, 71% ɛ a = 143, , 5 143, 75 = 13, 04% Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

25 Método da Bissecção Exemplo Use o método da bisseção para determinar a massa do saltador de bungee jumping com uma coeciente de arrastre de 0,25 para uma velocidade de 36m/s após 4s de queda livre. Realize os cálculos até que ε a < 0, 5%. Use x min = 50 e x max = 150. Calcule também o erro verdadeiro usando como valor exato para a raiz m = 142, 7376kg. Solução Iteração x min x max x r ɛ v (%) ɛ a (%) , ,5 23,08 13, ,5 143,75 13,04 0, ,75 134,375 6,98 5, , ,75 139,0625 3,37 2, , ,75 141,4063 1,66 0, , ,75 142,5781 0,82 0, , ,75 143,1641 0,41 0,30 Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

26 Método da Bissecção Exemplo Aplique o método da bisseção para encontrar a raiz da função f (x) = x 3 9x + 3 que está localizada entre 0 e 1. Realize os cálculo fazendo até que ɛ a < 1%. Solução Iteração x min x max x r ɛ A Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

27 Método da Falsa Posição Exemplo Use a bisseção para localizar a raiz de f (x) = x 10 1 entre 0 e 1, 3. Use 5 iterações. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

28 Método da Falsa Posição Exemplo Use a bisseção para localizar a raiz de f (x) = x 10 1 entre 0 e 1, 3. Use 5 iterações. solução - Bisseção Iteração x min x max x r ɛ a (%) ,3 0, ,65 1,3 0,975 33,3 03 0,975 1,3 1, ,3 04 0,975 1,1375 1, ,7 05 0,975 1, , ,0 Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

29 Método da Bissecção no MATLAB f u n c t i o n B i s s e c ( f, xmin, xmax, es, m a x i t ) % Funcao de l o c a l i z a c a o de r a i z e s p e l o metodo da b i s s e c c a o. % E n t r a d a s % f : f u n c a o anonima a s e r t r a b a l h a d a. % xmin : a p r o x i m a c a o i n f e r i o r da r a i z % xmax : a p r o x i m a c a o s u p e r i o r da r a i z % e s : c r i t e r i o de p a r a d a ( p a d r a o = 0, ) % m a x i t : numero maximo de i t e r a c o e s ( p a d r a o = 50) % O u t r a s V a r i a v e i s % r a i z : r a i z r e a l da f u n c a o f % f x : v a l o r da f u n c a o no ponto x % ea : e r r o r e l a t i v o aproximado % i t : numero de i t e r a c o e s i f n a r g i n < 3 e r r o r ( ' Sao n e c e s s a r i o s no minimo 3 p a r a m e t r o s ' ) ; end i f n a r g i n < 4 e s = ; end i f n a r g i n < 5 m a x i t = 5 0 ; end Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

30 Método da Bissecção no MATLAB i f f ( xmin ) * f ( xmax )>0 % v e r i f i c a s e os s i n a i s s a o d i f e r e n t e s e r r o r ( ' Nao ha mudanca de s i n a l no i n t e r v a l o i n d i c a d o ' ) ; end i t = 1 ; ea = ; x r = ( xmin + xmax ) / 2 ; d i s p ( ' ******************************************************** ' ) ; f p r i n t f ( ' I t e r a c a o xmin xmax x r E r r o \n ' ) ; f p r i n t f ( '%2d %8.4 f %8.4 f %8.4 f \n ', i t, xmin, xmax, x r ) ; w h i l e ( ea > e s ) && ( i t < m a x i t ) i t = i t + 1 ; i f f ( x r ) * f ( xmin ) < 0 xmax = x r ; e l s e xmin = x r ; end a n t e r i o r = x r ; x r = ( xmin + xmax ) / 2 ; ea = abs ( ( xr a n t e r i o r ) / x r *100) ; f p r i n t f ( '%2d %8.4 f %8.4 f %8.4 f %8.5 f \n ', i t, xmin, xmax, xr, ea ) ; end end Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

31 Exemplos no MATLAB y s q r t ( *m/ ) * tanh ( s q r t ( * /m) *4) 36 B i s s e c ( y, 5 0, 2 0 0, 0. 5 ) B i s s e c (@( x ) x ^ 1 0 1, 0, 1. 3, 0. 5 ) Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

32 Método da Falsa Posição Introdução O método da falsa posição (também chamado de método da interpolação linear) é também um método intervalar bem conhecido, bastante similar ao método da bisseção, com exceção de que ele utiliza uma estratégia diferente para chegar a sua nova estimativa de raiz. Em vez de dividir o intervalo [x min, x max ] em duas partes iguais, ele localiza a raiz ligando f (x min ) e f (x max ) por uma reta. x r = x max f (x max)(x min x max ) f (x min ) f (x max ) Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

33 Método da Falsa Posição Método da Falsa Posição x r = x max f (x max)(x min x max ) f (x min ) f (x max ) Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

34 Método da Falsa Posição Exemplo Use o método da falsa posição para determinar a massa do saltador de bungee jumping com uma coeciente de arrastre de 0,25 para uma velocidade de 36m/s após 4s de queda livre. Realize os cálculos até que ε a < 0, 5%. Use x min = 50 e x max = 200. ( ) 9, 81m 0, 25 tanh 9, 81 0, = 0 m Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

35 Método da Falsa Posição Exemplo Use o método da falsa posição para determinar a massa do saltador de bungee jumping com uma coeciente de arrastre de 0,25 para uma velocidade de 36m/s após 4s de queda livre. Realize os cálculos até que ε a < 0, 5%. Use x min = 50 e x max = 200. solução - primeira iteração x min = 50 f (x min ) = 4, x max = 200 f (x max ) = 0, x r = x max f (x max)(x min x max ) f (x min ) f (x max )) = 200 0, (50 200) = 176, , , Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

36 Método da Falsa Posição Exemplo Use o método da falsa posição para determinar a massa do saltador de bungee jumping com uma coeciente de arrastre de 0,25 para uma velocidade de 36m/s após 4s de queda livre. Realize os cálculos até que ε a < 0, 5%. Use x min = 50 e x max = 200. solução - segunda iteração x min = 50 f (x min ) = 4, x max = 176, 2773 f (x max ) = 0, , (50 176, 2773) x r = 176, 2773 = 162, , , ɛ a = 162, , , 3828 = 8, 56% Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

37 Método da Falsa Posição Exemplo Use o método da falsa posição para determinar a massa do saltador de bungee jumping com uma coeciente de arrastre de 0,25 para uma velocidade de 36m/s após 4s de queda livre. Realize os cálculos até que ε a < 0, 5%. Use x min = 50 e x max = 200. solução Iteração x min x max x r ɛ a (%) Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

38 Método da Falsa Posição Exemplo Use a a falsa posição para localizar a raiz de f (x) = x 10 1 entre 0 e 1, 3. Use 5 iterações. Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

39 Método da Falsa Posição Exemplo Use a a falsa posição para localizar a raiz de f (x) = x 10 1 entre 0 e 1, 3. Use 5 iterações. solução - Falsa Posição Iteração x min x max x r ɛ a (%) ,3 0, , ,3 0, ,1 03 0, ,3 0, ,9 04 0, ,3 0, ,3 05 0, ,3 0, ,1 Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

40 Método da Bissecção no MATLAB f u n c t i o n F a l s a P o s i c a o ( f, xmin, xmax, es, m a x i t ) % Funcao de l o c a l i z a c a o de r a i z e s p e l o metodo da f a l s a p o s i c a o. % E n t r a d a s % f : f u n c a o anonima a s e r t r a b a l h a d a. % xmin : a p r o x i m a c a o i n f e r i o r da r a i z % xmax : a p r o x i m a c a o s u p e r i o r da r a i z % e s : c r i t e r i o e p a r a d a ( p a d r a o = 0, ) % m a x i t : numero maximo de i t e r a c o e s ( p a d r a o = 50) % O u t r a s V a r i a v e i s % r a i z : r a i z r e a l da f u n c a o f % f x : v a l o r da f u n c a o no ponto x % ea : e r r o r e l a t i v o aproximado % i t : numero de i t e r a c o e s i f n a r g i n < 3 e r r o r ( ' Sao n e c e s s a r i o s no minimo 3 p a r a m e t r o s ' ) ; end i f n a r g i n < 4 e s = ; end i f n a r g i n < 5 m a x i t = 5 0 ; end Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

41 Método da Bissecção no MATLAB i f f ( xmin ) * f ( xmax )>0 % v e r i f i c a s e os s i n a i s s a o d i f e r e n t e s e r r o r ( ' Nao ha mudanca de s i n a l no i n t e r v a l o i n d i c a d o ' ) ; end i t = 1 ; ea = ; x r = xmax ( f ( xmax ) *( xmin xmax ) ) /( f ( xmin ) f ( xmax ) ) ; d i s p ( ' ******************************************************** ' ) ; f p r i n t f ( ' I t e r a c a o xmin xmax x r E r r o \n ' ) ; f p r i n t f ( '%2d %8.4 f %8.4 f %8.4 f \n ', i t, xmin, xmax, x r ) ; w h i l e ( ea > e s ) && ( i t < m a x i t ) i t = i t + 1 ; i f f ( x r ) * f ( xmin ) < 0 xmax = x r ; e l s e xmin = x r ; end a n t e r i o r = x r ; x r = xmax ( f ( xmax ) *( xmin xmax ) ) /( f ( xmin ) f ( xmax ) ) ; ea = abs ( ( xr a n t e r i o r ) / x r *100) ; f p r i n t f ( '%2d %8.4 f %8.4 f %8.4 f %8.5 f \n ', i t, xmin, xmax, xr, ea ) ; end end Métodos Numéricos Professor Tenani / 42

42 Exemplos no MATLAB y s q r t ( *m/ ) * tanh ( s q r t ( * /m) *4) 36 F a l s a P o s i c a o ( f, 5 0, 2 0 0, 0. 5 ) F a l s a P o s i c a o (@( x ) x ^ 1 0 1, 0, 1. 3, 0. 5 ) Métodos Numéricos Professor Tenani / 42