Pretende-se calcular uma aproximação para a menor raiz positiva da equação

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1 1 Prete-se calcular uma aproimação para a menor raiz positiva da equação, pelos métodos de Newton-Raphson e ponto fio. a) Localize um intervalo que contenha a menor raiz positiva da equação dada Determinar as raízes de é equivalente a determinar os pontos que intersectam as funções e. Graficamente podemos constatar que o intervalo I[0, 0.] contém a menor raiz positiva. Podemos determinar o zero de uma função ou raiz da equação 0 utilizando a função fzero do MatLab. Para programar a função f() podemos utilizar a função inline na linha de comandos ou criar e salvar a função num ficheiro eterno. >> f inline(.^-*+1'); ou no ficheiro f.m function yf() y.^-*+1; >> fzero('f', [0,0.]) ([0, 0.] é o intervalo onde vai ser determinado o zero) ans Como a função f() é um polinómio de grau podemos alternativamente utilizar a função roots para determinar as raízes de um polinómio. >> roots([1 0-1]) ([1 0-1] representam os 4 coeficientes do polinómio de grau, 1) ans , , Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro, 010 1

2 b) Considerando como ponto inicial 0 0.1, calcule uma aproimação do menor zero positivo da função f() em [0, 0.] pelo método de Newton-Raphson utilizando como critério de paragem que f( k ) < f() - +1 Requer: f C ([0, 0.]) 1) f(0) f(0.) < 0 f(0) 1, f(0.) -1.7 Teorema: (condições suficientes de convergência do método de Newton-Raphson): Seja f uma função C [a, b]. Se forem satisfeitas as condições: 1) f(a). f(b) < 0 ) f '() 0, [a, b] ) f () 0, [a, b] 4) f ( a) < ( b a) e f ( b) < ( b a) f ( a) f ( b) então 0 [a, b] o método de Newton-Raphson converge para o único zero α de f() em I [a, b]. ) f () 0, [0, 0.] ) f () 0, [0, 0.] f () < 0 [0, 0.] f () 6 > 0 (0, 0.] (não muda de sinal) f (0) 1 4) a) 0. < 0. f (0) f (0.) -1.7 e b) 0. < 0. f (0.) Como todas as condições são satisfeitas, podemos concluir que o método de Newton-Raphson converge para a única raiz em I [0, 0.] tomando como solução inicial qualquer ponto 0 I. Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro, 010

3 Método de Newton-Raphson Aproimação Inicial: f ( k 1 ) Fórmula Iteradora: k k 1, k 1,,... f ( ) k 1 (f() + 1, f () - ) Critério de Paragem: f( k ) < 10 - Iter. Abcissa do ponto de intersecção da tangente com o eio Valor da função em k f() + 1 Valor da 1ª derivada da função em k f () - f( k ) < 10 -? k k f( k ) f ( k ) f( k ) < PARAR!!! Foram necessárias iterações para aproimar a menor raiz positiva com a tolerância desejada α (valor calculado com a função fzero do Matlab) com erro absoluto: e α < Como < e < , a aproimação tem 6 casas decimais correctas Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro, 010

4 4 c) Diga, justificando qual a ordem de convergência da sequência de iterações obtida na alinha b) para aproimar a menor raiz positiva da equação dada IMPORTANTE: O método de Newton-Raphson tem ordem de convergência linear se α é um zero duplo, i.e., se f (α)0, f (α) 0 O método de Newton-Raphson tem ordem de convergência quadrática se α é um zero simples, i.e., se f (α) 0 Considerando para a menor raiz positiva α o valor aproimado pelo método de Newton-Raphson temos que f (α) f ( ) Como α é um zero simples de f() (f (α) 0), então a sucessão de aproimações { k } gerada pelo método de Newton-Raphson para qualquer aproimação inicial 0 em [0, 0.] converge para α (a menor raiz positiva da equação dada) com ordem de convergência quadrática e razão de convergência C 0.140: ek + 1 C lim k e k 1 f ''( α) f '( α) Isto quer dizer que quando k : e k ek Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro, 010 4

5 d) Encontre uma função iteradora g() que torne o método do ponto fio convergente na aproimação do menor zero positivo da função f() no intervalo [0, 0.] Definição: Um ponto fio de uma função g() é um número real α tal que αg (α). Podemos encontrar uma função g() tal que f() 0 g() (g() é chamada função iteradora ) Teorema: (condições de convergência do método de ponto fio) Seja α uma raiz da equação f() 0, isolada num intervalo I[a,b]. Seja g() C (I) uma função iteradora para a equação f() 0. se: i) g(i) I (g() I, I) ii) 0 < M ma g () < 1 (g é contractiva) I então 0 I a sucessão { } k gerada pelo processo iterativo k + 1 g( k ) converge para α Função iteradora para aproimar a única raiz no intervalo I[0, 0.] g( ) g( ) 1 1 g' ( ) ( 1 ) Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro, 010

6 6 Como g'() não é contínua em I (para 0. g'() está indefinida) não podemos usar esta função iteradora em I[0, 0.]. Temos que procurar uma outra função iteradora alternativa: g( ) + 1 g( ) g '( ) Graficamente verifica-se que g() e g'() são contínuas em I. Além disso: i) g() [0., 0.] I[0, 0.], I ii) 0 < M ma g () < 1 Como g () é monótona crescente então M g (0.) 0.1 < 1 Então, 0 I[0, 0.] a fórmula iteradora definida por: k k ; k 1,,, converge para a única raiz de f()0 eistente em I[0, 0.]. Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro, 010 6

7 7 e) Considerando como ponto inicial 0 0.1, calcule uma aproimação do menor zero positivo da função f() em [0, 0.] utilizando a iteradora g( k ) encontrada na alinha anterior e usando como critério de paragem f( k ) < Na alínea anterior foi provado que uma função iteradora g() convergente para aproimar a raiz em [0, 0.] é + 1 g( ) Método do Ponto-Fio Aproimação Inicial: k 1 Fórmula Iteradora:, k 1,,... Critério de Paragem: f( k ) < 10 - k k k g( k-1 ) f( k ) < PARAR!!! Foram necessárias iterações para aproimar a raiz com a tolerância desejada Tomando como valor eacto, o valor obtido com a função fzero do MatLab α (tomando o valor obtido em MatLab com fzero) com erro absoluto: e α A aproimação de α encontrada pelo método do ponto fio tem pelo menos casas decimais correctas. Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro, 010 7

8 8 f) Diga, justificando qual a ordem de convergência da sequência de iterações obtida pelo método do ponto fio IMPORTANTE: O método do ponto fio tem convergência linear se g (α) 0 O método do ponto fio tem convergência quadrática se g (α) 0, g (α) 0 Seja α o ponto fio de + 1 g( ) em I[0, 0.] com g '( ) Como: g () [0, 0.1] (g() monótona cresce em I[0, 0.], g (0)0 e g (0.)0.1) α (0, 0.) g (α) 0 Assim, para qualquer aproimação inicial 0 próima da raiz em [0, 0.], a sucessão k { k } gerada pela fórmula iteradora k, k 1,,... converge para α com ordem de convergência linear e razão de convergência C g (α). Considerando para a menor raiz positiva α o valor aproimado temos que g 1 ( α) C g ( ) ! Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro, 010 8

9 9 g) Compare as aproimações obtidas e eponha as conclusões a que chegou to em conta a ordem de convergência de cada método Método Newton Raphson Ordem de convergência lim e k+1 C e k p k se p1, linear se p, quadrática + 1 g( ) linear se zero duplo (f (α)0, f (α) 0) quadrática se zero simples (f (α) 0) Nº iter. Valor aproimado k α (valor obtido com a função fzero do Matlab) Erro absoluto e k associado à aproimação obtida e (6 casas decimais correctas) Como o zero que corresponde à menor raiz positiva é simples então a convergência é quadrática com razão de convergência 1 f ''( α) C f '( α) (tomando como α a aproimação obtida pelo método de N-R) Assim, para k1,, : e k ek Ponto Fio g() linear se g (α) 0 quadrática se g (α)0, g (α) 0 usando a função iteradora + 1 g( ) como g (α) 0, então a convergência é linear com razão de convergência C g 1 ( α) (tomando como α a aproimação obtida pelo método do ponto fio) Assim, para k1,, : e k+ 1 e k e ( casas decimais correctas) Como neste eemplo o método de N-R tem convergência quadrática e o do ponto fio (com a função iteradora aqui usada) tem convergência linear, a sucessão gerada pelo método de N-R converge mais rapidamente para a menor raiz positiva da equação dada. Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro, 010 9

10 10 Implementação em MatLab Considerando como ponto inicial 0 0.1, calcule uma aproimação do menor zero positivo da função f() em [0, 0.] pelo método de Newton-Raphson utilizando como critério de paragem que f( k ) < Em Matlab podemos implementar o método de Newton utilizando a rotina newton1 do pacote de MN: >> newton1('f', 0.1, 0, 10^-, 0) function [y, y1] f() y.^-*+1; y1 *.^-; A função f deve retornar os valores de y() e de y (). No caso de funções polinomiais é melhor utilizar a função polyval function [y, y1] f() y polyval([1,0,-,1], ); y1 polyval([,0,-], ); Podemos também implementar duas iterações do método de Newton a partir da aproimação inicial através deste simples programa (script) em Matlab: format long; 00.1; [y, dy]f(0); 10-y/dy [y, dy]f(1); 1-y/dy function [y, y1] f() y polyval([1,0,-,1], ); y1 polyval([,0,-], ); A função f deve retornar os valores de y() e de y (). Ao eecutar o programa anterior obtemos Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro,

11 11 e) Considerando como ponto inicial 0 0.1, calcule uma aproimação do menor zero positivo da função f() em [0, 0.] de tal forma que f( k ) < 10 - utilizando a iteradora convergente k + 1, k 1 Implementação na Linha de Comandos k 1,,... >> ginline('(.^+1)/'); >> 00.1; >> 1g(0) >> g(1) >> g() Implementação construindo um programa (script) em Matlab Podemos também construir um script em MatLab que nos permita determinar todas as aproimações utilizando o critério de paragem f( k ) < 10 - % dados de entrada finline('.^-*+1'); ginline('(.^+1)/'); 0.1; tol1e- % processo iterativo for k1:1000 g(); if (abs(f())< tol) break; % foi satisfeito o critério de paragem display('a aproimação encontrada é'); Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro,

12 1 Para visualizar todas as aproimações, basta apenas enviar uma mensagem com o comando display após de ser calculada cada aproimação. % dados de entrada finline('.^-*+1'); ginline('(.^+1)/'); 0.1; tol1e- % processo iterativo for k1:1000 g(); display(['(', numstr(k),') ', numstr(,8)]); if (abs(f())< tol) break; % foi satisfeito o critério de paragem display('a aproimação encontrada é'); Implementação construindo a nossa própria função Para que este algoritmo possa ser utilizado com outras funções f e g e outros dados, podemos construir uma função em MatLab com os seguintes parâmetros de entrada: a função f() a função iteradora g() a solução inicial 0 a tolerância desejada (segundo o o critério f( k ) < 10 - o número máimo de iterações kma e que como saída retorne o valor da aproimação encontrada. function pfio(f, g, 0, tol, kma) 0; for k1:kma g(); display(['(', numstr(k),') ', numstr(,8)]); if (abs(f())< tol) break; % foi satisfeito o critério de paragem if (kkma & f()>tol) disp('o ponto fio não foi encontrado com a tolerância desejada.') else display('a aproimação encontrada é'); Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro, 010 1

13 1 Uma vez construída a função, esta deve ser guardada num ficheiro com o mesmo nome, pfio.m. Depois, pode ser chamada para eecução na janela do comando do MatLab: >> finline('.^-*+1'); >> ginline('(.^+1)/'); >> pfio(f,g,0.1,1e-,1000) Como resultado obtém-se: (1) 0.00 () () A aproimação encontrada é Implementação utilizando a função pontofio do pacote de rotinas de MN A função pontofio pode ser chamada para eecução na janela do comando do MatLab: >> finline('.^-*+1'); >> ginline('(.^+1)/'); >> pontofio(f,g,0.1,1e-,1000) Gladys Castillo Jordán, Universidade de Aveiro, 010 1