Ensaio sobre o método de Newton-Raphson usando calculadora científica.

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Agustina Cabreira Peralta
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1 Ensaio sobre o método de Newton-Raphson usando calculadora científica

2 Matemática em dados Ensaio sobre o método de Newton-Raphson usando calculadora científica Djanir Angelim da Silva Filho i Thiago Aires Angelim ii Na vida profissional assim como no meio acadêmico, nos deparamos com problemas que envolvem funções com alto grau de dificuldade para encontrarmos suas raízes, funções implícitas que envolve trigonometria, logaritmos, exponencial, potência entre outras. Os processos analíticos não podem ser usados, haja vista que não podemos isolar a incógnita. É nesse cenário que o cálculo numérico ou métodos numéricos mostram seu potencial, usando um algoritmo e uma linguagem computacional é possível através de diversos métodos, entre eles podemos citar: método da bisseção, métodos das secantes, método de Newton-Raphson, no qual a partir de um ou mais pontos iniciais é possível por processo iterativo encontrar a solução com uma aproximação desejável. De forma geral é necessário uma linguagem computacional para escrever o algoritmo, diversos pacotes computacionais, MatLab, Scilab, Excel, já vêm com o algoritmo inserido, podendo ser usado como uma ferramenta, ou pode ser inserido via linhas de programação. A calculadora científica é um instrumento de baixo custo e prático para resoluções de alguns problemas, pois permite o cálculo iterativo através da tecla Ans (answer) cujo objetivo é acessar o valor armazenado da última operação. Para essa prática foi utilizado a calculadora Casio fx-82ms, outras calculadoras: Casio fx- 82, 83, 85, 27, 3, 35MS, HP 1s+, ELGIN cc-24 possuem o mesmo algoritmo, entretanto qualquer calculadora com a tecla Ans pode ser aplicado. Abordaremos neste ensaio apenas o método iterativo de Newton-Raphson, por ser de fácil implementação e convergir rapidamente para a solução. A ideia implícita ao método, fundamentase que dado uma função contínua, cuja raiz chamaremos de x. Como x não é conhecido, iniciaremos tomando um valor que sabemos estar próximo de x, que chamaremos de x. O ponto determinado pelo par ordenado (x, f(x )) pertence à curva definida pela função. Podemos calcular a derivada da função no ponto (x, f (x )). Como f (x ) corresponde ao coeficiente angular de uma reta que é tangente à função no ponto x, podemos também determinar a expressão dessa reta. g(x) = f (x )x + b Gráfico 1 Reta tangente a curva em (x, f(x )) 25 y 2 f(x ) = g(x ) x x x 4 i x 5 6 g(x) Observa-se que no ponto x = x, tanto g(x) quanto possui a mesma imagem, ou seja, g(x ) = f(x ), logo temos: g(x ) = f (x ) x + b f(x ) = f (x ) x + b b = f(x ) f (x ) x Substituindo na expressão da reta temos: g(x) = f (x )x + [f(x ) f (x ) x ] A raiz da função é o ponto onde g(x) se anula, ou seja, g(x i ) = g(x i ) = f (x )x i + [f(x ) f (x ) x ] f (x )x i + f(x ) f (x ) x = x i = f (x ) x f (x ) x i = x f(x ) f (x ) f(x ) f (x ) Assim sendo, a partir do valor x pode-se obter um novo valor x i, que está mais próximo da raiz x. Aplicando novamente esse processo, ou seja, substituindo x por x i, o novo valor de x i aproximará ainda mais de x, podemos estabelecer um método iterativo, com aproximação sucessivas, até que um limite de precisão seja alcançado. O termo genérico da sequência é obtido com a expressão abaixo. x i+1 = x i f(x i ) f (x i ) p. 1

3 ,3,4,5,6,7,8, 1 1,1 Matemática em dados Ensaio sobre o método de Newton-Raphson usando calculadora científica Exemplo 1 A função = 2x cos x possui uma raiz real no intervalo [, /4]. Calcule o valor de x com quatro casas decimais através do método de Newton-Rapson. Uma boa escolha para o valor inicial x é o valor médio do intervalo. = 2x cos x; f (x) = 2 + sen x x i+1 = x i 5x i 4 sen x i 2x 3 i cos x i x i+1 = x i 2x i cos x i 2 + sen x i x = π/8 =,327 rad Ajuste no modo COMP: [MODE] [1] Ajuste a calculadora com 4 casas decimais, sistema brasileiro de numeração e modo radiano. [MODE] COMP SD REG [MODE] Deg Rad Gra [ 2 ], Observe o R na parte superior do visor [ = ],327 [ = ],458 [ = ],452 [ = ],452 Observe que na segunda iteração a resposta foi encontrada, pois a terceira iteração apresenta o mesmo valor da segunda. Gráfico 2 função = 2x cos x ,5 1 1,5 2 2,5 3 Exemplo 2 Dado a função = 5x 4 sen x, encontre a raiz aproximada com quatro casas decimais. Use x =,5 = 5x 4 sen x f (x) = 2x 3 cos x.5.5 [ = ],5 Ans-((5Ans^4-sinAns) (2Ans^3-cosAns)) [ = ],62 [ = ],5766 [ = ],5741 [ = ],5741 Observe que na terceira iteração a resposta foi encontrada, pois a quarta iteração apresenta o mesmo valor da terceira. Gráfico 3 função = 5x 4 sen x Exemplo 3 A função = e x +,5x possui uma raiz real no intervalo [,;,8]. Calcule o valor de x com quatro casas decimais. Uma boa escolha para o valor inicial x é o valor médio do intervalo. = e x +,5x; f (x) = e x +,5 x i+1 = x i ex i +,5x i e x i +,5 x =,85 p. 2

4 Matemática em dados Ensaio sobre o método de Newton-Raphson usando calculadora científica Para acessar [ e ] use [SHIFT] [ ln ] [( )] 1-1 [( )].85 -,85 [ = ] -,1 [ = ] -,85 Ans-((eAns+.5Ans) (eans+.5)) [ = ] -,5385 [ = ] -,1236 Ans-((eAns+.5Ans) (eans+.5)) [ = ] -,317 [ = ] -,7176 Ans-((eAns+.5Ans) (eans+.5)) [ = ] -,224 [ = ] -,8483 Ans-((eAns+.5Ans) (eans+.5)) [ = ] -,2154 [ = ] -,8526 Ans-((eAns+.5Ans) (eans+.5)) [ = ] -,2153 [ = ] -,8526 Observe que na quarta iteração a resposta foi encontrada, pois a quinta iteração apresenta o [ = ] -,2153 mesmo valor da quarta. Gráfico 4 função = e x +,5x -1 -,8 -,6 -,4 -,2 -,2 Exemplo 4 Encontre as raízes do polinômio usando o método de Newton-Raphson. = 3x 3 7x 2 + 3x + 1 A escolha do valor inicial pode ser 1 ou 1, encontrando uma das raízes temos a opção de usar o algoritmo de Briot Ruffine para baixar o grau do polinômio. = 3x 3 7x 2 + 3x + 1 f (x) = x 2 14x + 3 x i+1 = x i 3x i 3 7x i 2 + 3x i + 1 x i 2 14x i + 3 x = 1;,5; 2 1,4 1,2 1,8,6,4,2.5.5 [ = ],5 [ = ] 1,142 [ = ],532 [ = ],83 [ = ] 1, [ = ] 1, p. 3

5 Matemática em dados Ensaio sobre o método de Newton-Raphson usando calculadora científica (± 1 4x2 ) (1 e x ) = 2 2 [ = ] 2, (± 1 4x2 1) (Ans 2 ) = (1 e -14Ans+3)) ) [ = ] 1,7273 Ans-((3Ans 3-7Ans Ans+ (± 1 4x2 ) = (1 e x ) 2 [ = ] 1, x 2 = 1 2e x + e 2x [ = ] 1, x e x e 2x = 4x 2 + e 2x 18e x + 8 = [ = ] 1,5486 Seja: h(x) = 4x 2 + e 2x 18e x + 8 h (x) = 8x 18e 2x + 18e x [ = ] 1,5486 Solução: S = {,2153; 1,; 1,5486 } Gráfico 5 função = 3x 3 7x 2 + 3x ,5-2,5 1 1, Exemplo 5 Usando o método de Newton-Raphson resolva o seguinte sistema. y = 1 e x { y 2 + 4x 2 = 1 Isolando y na 2ª equação, temos: y = ± 1 4x2 Observa-se que o domínio dessa função é o intervalo [,5;,5] Seja: = 1 e x g(x) = ± 1 4x2 Temos: g(x) = x i+1 = x i 4x i 2 + e 2x i 18e x i + 8 8x i 18e 2x i + 18e x i Uma boa escolha para valor inicial x são os limites da função que possui restrição: [,5;,5]. [( )] [ = ] -,5 Ans-((4Ans 2 +e(-2ans)- [ = ] -,3371 Ans-((4Ans 2 +e(-2ans)- [ = ] -,2668 Ans-((4Ans 2 +e(-2ans)- [ = ] -,2533 Ans-((4Ans 2 +e(-2ans)- [ = ] -,2528 Ans-((4Ans 2 +e(-2ans)- [ = ] -,2528 p. 4

6 -,5 -,4 -,3 -,2 -,1,1,2,3,4,5 Matemática em dados Ensaio sobre o método de Newton-Raphson usando calculadora científica Exercícios. 1. Qual a raiz aproximada de = (x 2) pelo método de Newton-Raphson, com três algarismos [ = ],5 significativo. Ans-((4Ans 2 +e(-2ans)- Resp.: x 1,25 2. Usando o método de Newton-Raphson, encontre [ = ],332 as raízes da função: = 4x 2 + 3x 18 Ans-((4Ans 2 +e(-2ans)- Resp.: 2,522; 1, Encontre as raízes das funções: [ = ],367 a) = 2(x 1),5 ; x 1 Ans-((4Ans 2 +e(-2ans)- b) = x sen x; [ 3,2; 3,2] [ = ] c) = x 2 e 2 ; 2 x 2 d) = sen x 2 cos x; 2 x 2,36 e) = (x 2) 2 ln x Ans-((4Ans 2 +e(-2ans)- Resp.: 18e(-Ans)+8) (8Ansa) 1,; b) 3,142; c),73; d) 1,17 e) 3,57 [ = ],36 Agora aplicando em y = 1 e x y 1 = 1 e (,2528) =,2876 y 2 = 1 e (,36) =,2636 Solução. S = {(,2528;,2876), (,36;,2636)} Gráfico 6 Intersecção entre curvas y 2 + 4x 2 = 1,4,3,2,1 -,1 -,2 -,3 -,4 y = 1 e x Bibliografía. BOURG, David M. Excel Aplicaciones científicas y de ingeniería. Madrid: Anaya, 26. BURIAN, Reinaldo; LIMA, Antônio Carlos de; HETEM JUNIOR, Annibal. Cálculo numérico. Rio de Janeiro: LTC, 213. MOURA, Luiz Fernando de. Excel para engenharia. São Carlos: EdUFSCar, 27. Post Scriptum iii UEM HM Sites sugeridos. i Graduado em Matemática pela Universidade Federal do Amazonas, Especialista em Educação Matemática pela Escola Superior Batista do Amazonas, professor do curso de Engenharia Civil na Faculdade Estácio do Amazonas. ii Acadêmico do curso Sistemas de Informação na Universidade Federal do Amazonas. iii O presente ensaio resulta das experiências vivenciadas em sala de aula p. 5

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