f(1) = 6 < 0, f(2) = 1 < 0, f(3) = 16 > 0 x [2, 3].

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1 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Métodos Numéricos Para Solução de Equações Não -Lineares Problema: Seja uma função não-linear f(x), queremos determinar valores de x, tais que: f(x ) = 0. Graficamente, o que estamos procurando são os pontos onde a curva y = f(x) intersepta o eixo dos x s. Quando o esboço da curva y = f(x) é complicado, uma alternativa é tentar escrever f(x) na forma f(x) = g(x) h(x), onde g(x) e h(x) são funções cujos gráficos são mais simples de serem esboçados. Sendo assim, o problema se torna o de encontrar os pontos de interseção entre as curvas y = g(x) e y = h(x). Mas um esboço gráfico normalmente apenas nos mostra em quais intervalos podemos encontrar as nossas raízes. Após a localização de uma raiz em um determinado intervalo, podemos tomar uma primeira aproximação para ela e, através de métodos numéricos, encontraremos uma aproximação dentro da precisão desejada. Os métodos numéricos a serem apresentados são chamados de métodos iterativos: a) estabelecemos uma expressão - a função de iteração, b) que, aplicada repetidas vezes a partir de uma aproximação inicial c) produz uma sequência de aproximações que deve convergir para a solução do problema, d) até que seja atingido um dos critérios de parada. Teorema.Se y = f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e se f(a)f(b) < 0, então existe pelo menos um ponto x [a, b] tal que f(x ) = 0. Além disso, se f (x) não muda de sinal em [a, b] então x é a única raiz de f(x) neste intervalo. Exemplos: 1. Consideremos a equação x 3 x 5 = 0, verificamos o seguinte: f(x) é contínua em seu domínio: D(f) = R; x + f(x) + ; x f(x) ; x tal quef(x ) = 0. Os valores x 1 = 3 e x = 3 são os pontos críticos da função, como f(x 1) e f(x ) são negativos temos que x > x, e além disso, que x é única. Calculando valores para f(x): f(1) = 6 < 0, f() = 1 < 0, f(3) = 16 > 0 x [, 3].. Seja f(x) = x 5 exp( x). Graficamente vemos que f(x) tem uma única raiz em seu domínio (0, + ]. Obtemos o mesmo resultado pelo seguinte raciocínio:

2 faça f(x) = g(x) h(x), onde g(x) = x e h(x) = 5 exp( x), g(x) e h(x) são funções contínuas, g(0) = 0 < 5 = h(0), mas x + g(x) + e x + h(x) 0, logo as funções se interseptam em um único ponto x > 0. Como f(1) < 0 e f() > 0 temos que a raiz procurada está no intervalo [1, ]. Critérios de parada. Os critérios de parada mais utilizados são: a estimativa do erro (absoluto ou relativo) que se comete ao se tomar a aproximação ao invés do valor exato ou o número de casa decimais corretas ou a distância entre duas iterações sucessivas; e o número máximo de iterações permitidas. 1. Localize graficamente as raízes das equações a seguir: a) 4 cos(x) e x = 0; b) x tan(x) = 0; c) 1 x ln(x) = 0; d) x 3x = 0; e) x + x 1000 = 0.. Dadas as funções : a)f(x) = x 3 + 3x 1 e b)f(x) = x sin x pesquisar a existência de zeros reais e isolá-los em intervalos disjuntos. 0.1 Método da Bisseção. Desenho 1 Seja a equação f(x) = 0, procuramos encontrar x tal que x ρ ɛ onde f(rho) = 0. Após a determinação do intervalo inicial [a, b], ou seja, encontramos um intervalo tal que f(a)f(b) < 0, supondo que exista uma única raiz ρ dentro desse intervalo e que a precisão nao tenha sido atingida, b a ɛ, fazemos a 1 = a, b 1 = b e x 1 = a 1+b 1. Temos então três possibilidades: ρ [a 1, x 1 ], ou ρ = x 1, ou ρ [x 1, b 1 ]. O próximo passo é determinar se a precisão foi atingida, para isso verificamos o comprimento de um dos novos intervalos b 1 a 1, caso a precisão tenha sido atingida paramos o processo e chamamos x 1 de solução aproximada ( x 1 ρ ɛ). Caso contrário,precisamos saber em que sub-intervalo se encontra a raiz ρ para recomeçarmos o método. Para isso calculamos f(x 1 ). Caso f(x 1 ) 0, testamos: se f(a 1 )f(x 1 ) < 0 então ρ [a 1, x 1 ], caso contrário (f(x 1 )f(b 1 ) < 0) teremos ɛ [x 1, b 1 ]. Suponhamos que ρ [a 1, x 1 ], fazemos agora a = a 1, b = x 1 e x = a +b e repetimos os passos acima descritos até que a precisão seja atendida (ou que o nḿero máximo de iterações permitidas seja alcançado). Observações : 1. Este é um método lento.

3 3. Qualquer que seja a precisão ɛ > 0 existe k N tal que k ɛ, ou seja, em algum passo a precisão exigida é atingida. 3. O método converge! Demonstração :(Feita em sala de aula.) Estimativa para o número de iterações : Dada a precisão ɛ > 0 e o intervalo [a, b], o número de passos, k, a serem dados para se atingir a k b k < ɛ é dado por: k > log(b a) log ɛ. log 1. Aplique o método da Bisseção para calcular a raiz positiva de x 7 = 0 com ɛ = 0, 01, partindo do intervalo [, 00; 3, 00] e no máximo 10 passos.. Aplique o método da Bisseção para encontrar uma raiz de: a) e x x 3x = 0; b) x 3 + cos x = 0 obtendo o intervlo inicial [a, b] graficamente. A precis ão é ɛ = 10 e no máximo 10 passos. 0. Método de Newton O método de Newton combina duas idéias básicas comuns nas aproximações numéricas: linearização e iteração. - Na linearização procuramos substituir um problema complicado (em uma determinada vizinhança) por sua aproximação linear, o que, quase sempre, torna o problema mais simples de se resolver. - Nos métodos iterativos, repetimos sistematicamente um procedimento até que seja atingido um dos critérios de parada pré-estabelecidos. Idéia: Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b]. Suponhamos que f (x 0 ) 0, onde x 0 /in[a, b] está próximo de um zero da função, podemos então : a) substituir a curva y = f(x) por sua reta tangente no ponto de aproximação, x 0 ; b) achar a interseção da reta tangente com o eixo dos x s, x 1, que será a nossa próxima aproximação para o zero do problema; c) verificar, então, se um dos critérios de parada pré-estabelecidos foi atingido, se não, repetir o processo até que isso aconteça. Desenho A função de iteração do método de Newton é da forma: x n+1 = x n f(x n) f (x n ).

4 4 1. A fórmula x n+1 = x n Ax n é candidata para se determinar o inverso de um número A. Mostre que se a fórmula converge, então converge para 1 A e determine os limites da estimativa inicial x 0 para que isso aconteça. Teste suas conclusões para: A = 9 e x 0 = 0, 1; e A = 9 e x 0 = 1, 0.. Mostre que x 3 x 17 = 0 tem apenas uma raiz real e determine seu valor correto até 5 casas decimais usando o método de Newton, com no máximo 10 iterações. 3. Mostre que a fórmula para determinar a raiz cúbica de Q, é um caso especial do método de Newton. x n+1 = 1 3 (x n + Q ), n = 0, 1,... x n 4. Aplique o método do exercício anterior para calcular a raiz cúbica de com precisão de 10 usando o erro relativo e calculando o valor inicial através de gráfico. 0.3 Método das secantes. Seja uma função contínua f(x) em um intervalo [a, b]. Usando uma idéia parecida com a do método anterior, podemos achar a nova aproximação para o zero função usando retas secantes como aproximações lineares locais de f(x) ao invés das retas tangentes. Precisamos então de duas aproximações iniciais x 0, x 1 [a, b] para iniciar o método. A secante passará pelos pontos (x 0, f(x 0 )) e (x 1, f(x 1 )) e sua interseção com o eixo dos x s será a nossa nova aproximação, x. Desenho 3 A função de iteração do método das secantes é dada por: x n+1 = x nf(x n 1 ) x n 1 f(x n ). f(x n 1 ) f(x n ) A equação x 3 x 1 = 0 possui apenas uma raiz positiva. 1. Em qual dos intervalos seguintes deve estar a raiz:[0, 1], [1, ], [, 3]? Por quê?. Se quiséssemos pesquisar as raízes negativas usando intervalos de amplitude 1, até o valor, em quais intervalos seriam encontradas tais raízes? 3. Obtenha a menor raiz negativa (em módulo) usando o método das secantes. Trabalhar com arredondamento para 3 casas decimais e no máximo 10 iterações.

5 5 0.4 Método da Posição Falsa. Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e tal que f(a)f(b) < 0. Suponhamos que o intervalo [a, b] contenha uma única raiz da equação f(x) = 0. No método da bisseção calculamos uma aproximação para a raiz simplesmente tomando o ponto médio do intervalo, x 1 = a+b, mas no caso do exemplo f(x) = x 3 x 5, x [, 3], vemos que é provável que a raiz esteja mais próxima de x =, já que f() = 1, enquanto que f(3) = 16. Sendo assim, em vez de tomar a média aritmética entre a e b, o método da posição falsa toma a média ponderada entre esses números com pesos f(a) e f(b), respectivamente: x = a f(b) + b f(a) f(b) + f(a) = af(b) bf(a) f(b) f(a), já que f(a) e f(b) têm sinais opostos. Desenho 4 Graficamente, este ponto é a interseção entre o eixo dos x e a reta secante que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)). E as iterações são feitas de forma que o novo intervalo tenha sempre f(a n )f(b n ) < 0, ou seja, repetimos a procura e a avaliação feitas no método da bisseção. 1. Aplique o método da Posição Falsa para calcular a raiz positiva de x 7 = 0 com ɛ < 0, 01, partindo do intervalo [, 00; 3, 00].. Verifique quantas raízes reais tem a equação x tan x = 0 no intervalo [ π, π ]. Justifique sua resposta. 3. Determine a menor raiz real positiva da equação acima, corretamente até a quarta casa decimal, por meio do: Método da Bisseção. Método de Newton-Raphson. Método da Posição Falsa. Método da Secante. Dê no máximo 5 passos. 4. Exercícios do livro-texto a partir da página 100:,3,4,6,11,1,16,17,18,19,1.