Semana 5 Zeros das Funções_2ª parte

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1 1 CÁLCULO NUMÉRICO Semana 5 Zeros das Funções_2ª parte Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1

2 2 LOCALIZAÇÃO DAS RAÍZES PELO MÉTODO GRÁFICO Vejamos dois procedimentos gráficos que podem ser utilizados para a localização das raízes de uma função. 1º) Construindo o gráfico da função; 2º) Transformando a função f() na forma equivalente f( 1 ) = f( 2 ). EXEMPLO: Utilize os dois métodos para determinar uma aproimação para a raiz da função f() = 2 1 / Da outra forma: y f() = 2 1 / = ,5 0, ,5 0,1 y 1 y , Utilize os dois métodos para determinar uma aproimação para a raiz da função: a) f() = b) f() =

3 3 MÉTODO DO PONTO FIXO (MPF) Dada uma função f(),um intervalo [a, b] que contenha uma raiz, é possível transformar tal função em uma outra função equivalente g() = e, a partir de uma aproimação inicial 0, gerar uma seqüência de aproimações pela relação g( k ) = k+1. EXEMPLO: Dada a equação = 0, determine quatro funções de iteração. OBS: Graficamente, uma raiz da equação g() = é a abscissa do ponto de intersecção da reta y = e da curva g() = y. 32 Na função acima, determine seu gráfico e, em seguida, os gráficos de (1), ou seja, em um único plano, faça os gráficos de g() = e h() = Na função f() = +cos, determine seu gráfico e, em seguida, em um único plano, os gráficos de g() = e h() = cos

4 4 MÉTODO DO PONTO FIXO (MPF) ANÁLISE GRÁFICA Seja uma função f() (ela não aparece na figura). Através de manipulações algébricas, podemos obter uma outra função, g() =, tal que g() intercepta a função identidade y =. As funções, g() e y =, partilham ora de mesma abscissa, ora de mesma ordenada. Mantendo as iterações, podemos convergir para o zero da função f(). Pois f() é equivalente a g(). EXEMPLO: Aproime o zero da g() função f () = 2 + 6, utilizando a função g() = (6 ) e 0 = 1,5.

5 5 34 Aproime o zero da função f () = 2 + 6, utilizando a função g() = 6 2, e 0 = 1,5. ANÁLISE GRÁFICA Considerando = 0, é fato que NÃO há necessidade de uso de método numérico para a determinação das raízes = -3 e = 2. Entretanto, vamos aproveitar o eemplo simplesmente para a demonstração gráfica da convergência ou não do processo iterativo. g() = 6 2 g() = (6 )

6 CRITÉRIO DE PARADA No MPF, o critério de parada é: k k 1 < ɛ ou f() < ɛ TESTANDO OS CONHECIMENTOS 35 Aplique o Método do Ponto Fio para determinar o zero da função g() = , sendo a função de iteração com o = 0,5 e ɛ = Usando o método do ponto fio, determine o zero da função f ( ) = e com o = 3 e ɛ = Usando o método do ponto fio, determine a raiz da equação = cos com o = 0 e ɛ = (Lembre-se que em cos, é em radianos.) 38 Dada a equação = 0, determine quatro funções de iteração para o método do ponto fio. 39 Utilize uma das equações de iteração do eercício anterior para efetuar três iterações pelo método do ponto fio. 40 Obtenha três funções de ponto fio para a função f () = Em seguida, utilize uma das equações de iteração para efetuar três iterações. 41 Determine o zero de f () = com precisão =10-2, utilizando o método do ponto fio. 6

7 7 MÉTODO DE NEWTON (MÉTODO DA TANGENTE) Suponha uma aproimação 0 para a raiz de f(). No ponto ( 0, f( 0 )) passa apenas uma única reta tangente, que é a derivada de f() em 0. Esta reta tangente corta o eio na coordenada 1, que por sua vez, define o ponto ( 1, f( 1 )). Mais uma vez, pelo ponto ( 1, f( 1 )) passa apenas uma reta tangente, que é a derivada de f() em 1. Essa nova reta corta o eio no ponto 2, e podemos repetir o processo até que encontremos a raiz da função.

8 8 y 1 0 Inclinação da reta A inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o coeficiente angular de uma reta é dado por: Passando o denominador para o outro lado e fazendo tg Θ = m, temos: y1 y0 tg Θ Seja a função f() = e 0 = 1,5. Utilize o método de Newton com 3 iterações. i 1 i f ( i f ( i A partir dessa fórmula obteremos a equação de iteração do método de Newton. ITERAÇÃO DO MÉTODO DE NEWTON Seja a equação y y 0 = m.( 0 ). Fazendo:, temos: ) )

9 9 43 Seja a função f() = e 0 = 0,5. Utilize o método de Newton com 3 iterações. O resultado se aproimou de uma das raízes? 44 Seja a função f() = 3 1 e 0 = 1. Utilize o método de Newton com 3 iterações. O resultado se aproimou de uma das raízes? DESVANTAGEM DO MÉTODO DE NEWTON: Se o não for tomado, suficientemente, próimo da raiz, então o método de Newton não convergirá. Critério de Parada ou f() < ɛ 45 Seja a função f() = e [-10; 8]. Determine a raiz com erro admissível de 10-2 utilizando os dois métodos: Bisseção e Newton. 46 Ache a raiz da equação f() = 2 + ln() para o erro relativo de ɛ < 10 2 e 0 =1 47 Ache a raiz da equação para o erro relativo de 10-1, utilizando o método da bisseção para determinar um intervalo e depois o de Newton. 48 Ache a raiz da equação = 0. Para isso utilize o método da bisseção com [2 ; 3 ] com duas iterações para determinar um intervalo mais próimo da raiz que possibilite utilizar o método de Newton, apenas uma vez, para refinar a raiz. 49 Seja a função f() = 0,1 3 0,1 2 0,1 3 e 0 = 4. Utilize o método de Newton, realizando os testes de parada f( k ) < 0,01 e após cada iteração.

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