Raízes de uma função. Laura Goulart. 16 de Março de 2016 UESB. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
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1 Raízes de uma função Laura Goulart UESB 16 de Março de 2016 Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
2 Aproximação de uma raíz Dado uma precisão ɛ > 0, diremos que um ponto c R é uma aproximação para uma raíz α R da equação f (x) = 0 quando uma das seguintes condições forem satisfeitas: i) f (c) < ɛ ii) c α < ɛ Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
3 fases O processo para encontrar uma solução numérica envolve duas fases: Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
4 fases O processo para encontrar uma solução numérica envolve duas fases: Isolamento das raízes: Consiste em achar um intervalo [a, b] que contém uma raiz. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
5 fases O processo para encontrar uma solução numérica envolve duas fases: Isolamento das raízes: Consiste em achar um intervalo [a, b] que contém uma raiz. Renamento: Partindo de uma aproximação inicial, utilizamos os métodos númericos, com precisão pré-xada e renamos a solução até que certos critérios sejam satisfeitos. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
6 Isolamento das raízes O objetivo é encontrar um intervalo [a, b]; de pequena amplitude e que contenha a raiz que desejamos encontrar. Para isto, usaremos duas estratégias: análise gráca e tabelamento da função. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
7 Isolamento das raízes O objetivo é encontrar um intervalo [a, b]; de pequena amplitude e que contenha a raiz que desejamos encontrar. Para isto, usaremos duas estratégias: análise gráca e tabelamento da função. 1 Análise Gráca. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
8 Isolamento das raízes O objetivo é encontrar um intervalo [a, b]; de pequena amplitude e que contenha a raiz que desejamos encontrar. Para isto, usaremos duas estratégias: análise gráca e tabelamento da função. 1 Análise Gráca. 2 Tabelamento da função. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
9 Teorema de Bolzano Teorema Se f (x) é uma função contínua em [a,b] e f (a) f (b) < 0 então existe pelo menos um ponto α [a, b] tal que f (α) = 0. Além disso, se a derivada da função preservar o sinal dentro do intervalo( ie, se a função for estritamente crescente ou estritamente decrescente) então a raiz é única. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
10 Renamento Depois de isolar a raiz no intervalo [a,b]; passa-se a calcular a raiz através de métodos numéricos. Para isso, estes métodos devem fornecer uma sequência numérica (x n ) de aproximações cujo o limite é a raiz exata. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
11 Métodos estudados Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
12 Métodos estudados Método da Bisseção; Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
13 Métodos estudados Método da Bisseção; Método da Falsa Posição; Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
14 Métodos estudados Método da Bisseção; Método da Falsa Posição; Método do Ponto Fixo; Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
15 Métodos estudados Método da Bisseção; Método da Falsa Posição; Método do Ponto Fixo; Método de Newton-Raphson. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
16 Método da Bisseção Seja f (x) uma função contínua em [a,b] e α uma raiz isolada da função neste intervalo. A principal idéia do Método da Bisseção é reduzir o comprimento do intervalo que contém a raíz, de maneira sistemática. Ele é baseado na demonstração do Teorema de Bolzano no qual trabalha com o ponto médio do intervalo. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
17 Método da Bisseção Ou seja, tomemos x k = a k 1 + b k 1 o ponto médio do intervalo 2 [a k 1, b k 1 ]; obtido na iteração anterior. Assim, teremos que α pode encontrar-se no intervalo [a k 1, b k ] ou no intervalo [x k, b k 1 ]. Isso é facilmente determinado calculando-se f (x k ) e aplicando-se o Teorema de Bolzano. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
18 Critério de parada No Método da Bisseção, o erro na estimativa será a metade do a k b k comprimento do intervalo em estudo, ie, < ε(ε dado ). 2 Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
19 Exemplo Determine uma raiz de f (x) = x 3 + 3x 1 pelo método da bisseção com ε = 0, 01. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
20 Convergência do método O método da bisseção sempre converge,ie, a sequência de aproximações converge para a raiz α em [a,b]. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
21 Estimativa do número de iterações O método da bisseção é o único em que é possível estimar o número de iterações. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
22 Estimativa do número de iterações k > ln a 0 b 0 ln ε ln 2 1. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
23 Vantagens Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
24 Vantagens As iterações não envolvem cálculos laboriosos; Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
25 Vantagens As iterações não envolvem cálculos laboriosos; A convergência é sempre garantida; Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
26 Vantagens As iterações não envolvem cálculos laboriosos; A convergência é sempre garantida; É possível estimar o número de iterações. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
27 Desvantagens Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
28 Desvantagens O método converge muito devagar; Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
29 Desvantagens O método converge muito devagar; Deve ser utilizado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
30 Algoritmo Dados de Entrada: Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
31 Algoritmo Dados de Entrada: A função f (x). Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
32 Algoritmo Dados de Entrada: A função f (x). O intervalo inicial. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
33 Algoritmo Dados de Entrada: A função f (x). O intervalo inicial. O marjorante para o erro. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
34 Algoritmo Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
35 Algoritmo Escolha c = a + b 2 Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
36 Algoritmo Escolha c = a + b 2 Se f (c) = 0 Fim Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
37 Algoritmo Escolha c = a + b 2 Se f (c) = 0 Fim Se f (c) f (a) < 0 Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
38 Algoritmo Escolha c = a + b 2 Se f (c) = 0 Fim Se f (c) f (a) < 0 Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
39 Algoritmo Escolha c = a + b 2 Se f (c) = 0 Fim Se f (c) f (a) < 0 Existe uma raíz no intervalo [a, c], ie, b = c; Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
40 Algoritmo Escolha c = a + b 2 Se f (c) = 0 Fim Se f (c) f (a) < 0 Existe uma raíz no intervalo [a, c], ie, b = c; Se f (c) f (b) < 0 Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
41 Algoritmo Escolha c = a + b 2 Se f (c) = 0 Fim Se f (c) f (a) < 0 Existe uma raíz no intervalo [a, c], ie, b = c; Se f (c) f (b) < 0 Existe uma raíz no intervalo [b, c], ie, a = c Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
42 Algoritmo Escolha c = a + b 2 Se f (c) = 0 Fim Se f (c) f (a) < 0 Existe uma raíz no intervalo [a, c], ie, b = c; Se f (c) f (b) < 0 Existe uma raíz no intervalo [b, c], ie, a = c Repetido o processo até o critério de parada exigir. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
43 Algoritmo Dado de saída: Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
44 Algoritmo Dado de saída: O intervalo obtido no nal. Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 16 de Março de / 1
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