Cálculo Numérico. Zeros de funções reais

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1 Cálculo Numérico Zeros de funções reais

2 Agenda Introdução Isolamento de raízes Refinamento Bissecção Posição Falsa Método do ponto fixo (MPF) Método de Newton-Raphson Método da secante

3 Introdução Um número real ξ é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se f(ξ) = 0 Os valores de x que anulam f(x) podem ser reais ou complexos Os zeros de função são representados pelas abscissa dos pontos onde uma curva intercepta o eixo X

4 Introdução

5 Introdução Fases para obtenção da raiz Isolamento Refinamento

6 Isolamento de raízes Teorema 1 Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a,b]. Se f(a).f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x=ξ entre a e b que é zero de f(x). Sob a hipótese do teorema: Se f (x) existir e preservar o sinal em (a,b), então este intervalo contém um único zero de f(x)

7 Isolamento de raízes a b

8 Isolamento de raízes a b

9 Isolamento de raízes Seja: f(x) = x 3-9x+3

10 Isolamento de raízes Analisando os valores e mudança de sinal x f(x)

11 Isolamento de raízes Processos de aproximação das raízes: Esboçar o gráfico da função e localizar os pontos aonde a curva toca o eixo x, ou; A partir de f(x)=0 obter h(x)=g(x), esboçar os dois gráficos e localizar os pontos aonde se interceptam. Pois f(ξ)=0 g(ξ)=h(ξ), ou; Utilização de softwares para traçar o gráfico da função.

12 Isolamento de raízes f(x) = x 3-9x+3 ( 4, 3) 1 (0,1) 2 (2,3) 3

13 Isolamento de raízes Escrevendo: g( x) x 3 h( x) 9x 3 ξ1 ξ2 ξ3

14 Refinamento Todos os métodos são da classe dos métodos iterativos Método iterativo conjunto de instruções executadas passo a passo, podendo ser repetidas em ciclos Cada ciclo é chamado de iteração Estes métodos fornecem apenas uma aproximação para a solução exata

15 Refinamento

16 Refinamento Critérios de parada Quando parar o algoritmo??? X k está suficientemente próximo da raiz??? x é a raiz aproximada com precisão ɛ se: i) x ou ii) f ( x)

17 Refinamento Como ξ não é conhecida, temos que a cada iteração reduzir o intervalo que contém a raiz, tal que: ( ab, ) e x [ a, b], x. ba Portanto, x [ a, b] pode ser tomado como x

18 Refinamento f(x) ɛ a ξ b x

19 Bissecção A função f(x) é contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a)f(b) < 0 O objetivo é reduzir o intervalo de tal forma que (b-a)<ɛ Este método reduz o intervalo dividindo-o ao meio sucessivamente

20 Bissecção f ( a0 ) 0 ( a0, x0 ) a0 b0 x0 f ( b0 ) 0 a1 a0 2 f ( x0 ) 0 b1 x0 f ( a1 ) 0 ( x1, b1 ) a1 b1 x1 f ( b1 ) 0 a2 x1 2 f ( x1 ) 0 b2 x1 f ( a2) 0 ( x2, b2 ) a2 b2 x2 f ( b2 ) 0 a3 x2 2 f ( x2) 0 b3 x1

21 Bissecção Seja f(x) contínua em [a,b] e tal que f(a)f(b) < 0 1) Dados Iniciais: a) Intervalo inicial [a,b] b) Precisão ɛ 2) Se (b-a) < ɛ, então escolha para x aproximado qualquer x em *a,b+. FIM 3) K = 1 4) M = f(a) 5) x = (a + b) / 2 6) Se Mf(x) > 0, faça a = x. Vá para o passo 8 7) b = x 8) Se (b-a) < ɛ, escolha para x aproximado qualquer x em *a,b+. FIM 9) k = k + 1. Volte para o passo 5.

22 f x x x 3 ( ) 9 3 I [0,1] 10 3 Bissecção A M=f(A) B f(b) X f(x) Erro 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

23 Bissecção Convergência Se f(x) é contínua no intervalo [a,b] e f(a)f(b)<0, o método da bissecção vai gerar uma sequência {x k } que converge para a raiz.

24 Bissecção Estimativa do número de iterações k log( b a ) log( ) 0 0 log(2)

25 Posição Falsa O método utiliza a média ponderada entre a e b com pesos f(b) e f(a) x af ( b) bf ( a) f ( b) f ( a)

26 Posição Falsa 1) Dados iniciais a) Intervalo inicial [a,b] b) Precisões ɛ 1 e ɛ 2 2) Se (b-a) < ɛ 1 então escolha a raiz para qualquer x em [a,b]. FIM. Se f(a) < ɛ 2 ou se f(b) < ɛ 2 escolha a ou b como raiz e FIM. 3) k = 1 4) M = f(a) 5) x = [af(b)-bf(a)]/[f(b)-f(a)] 6) Se f(x) < ɛ 2, escola x como raiz e FIM 7) Se Mf(x) > 0, faça a=x. Vá para o passo 9 8) b = x 9) Se b-a < ɛ 1, então escolha a raiz para qualquer x em [a,b]. FIM. 10) k = k + 1. Volte para o passo 5.

27 f x x x 3 ( ) 9 3 I [0,1] 1 2 5x10 4 Posição Falsa a f(a) b f(b) x f(x) Erro b-a 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

28 Posição Falsa Convergência Se f(x) é contínua no intervalo *a,b+ com f(a)f(b)<0 então o método da posição falsa gera uma seqüência convergente

29 MPF Consiste em transformar a equação f(x)=0 em uma equação equivalente x = ϕ(x) A partir de uma aproximação inicial x 0 gerar uma seqüência de aproximações para ξ A função ϕ(x) é tal que f(ξ)=0 se e somente se ϕ(ξ)= ξ O problema de encontrar zero de f(x) é encontrar um ponto fixo de ϕ(x)

30 MPF Para x 2 x x x x 6 x 1

31 MPF

32 MPF Nem todas ϕ(x) geram uma seqüência convergente. Quais das duas geram uma sequência convergente para a raiz ξ = 2 com x 0 = 1.5? 1 6 x x

33 MPF Convergência Seja ξ uma raiz da equação f(x)=0, isolada num intervalo I centrado em ξ. Seja ϕ(x) uma função de iteração para a equação f(x)=0. Se: ϕ(x) e ϕ (x) são continuas em I ϕ (x) M < 1, para qualquer x no intervalo I X 0 pertence ao intervalo I

34 MPF Algoritmo 1) Dados iniciais: x 0 aproximação inicial e ξ 1 e ξ 2 são as precisões 2) Se f(x0) < ξ 1, faça x = x 0 e FIM 3) k = 1 4) x 1 = ϕ(x 0 ) 5) Se f(x1) < ξ 1 ou se x 1 -x 0 < ξ 2, então faça x = x 1 e FIM 6) x 0 =x 1 7) k=k+1 e volte para o passo 4

35 MPF Exemplo 3 f ( x) x 9x 3 x ( x) x (0,1) 4

36 MPF Encontre o zero de f(x) f x x x 0 2 ( ) 6 6 ( x) x 1 x (1.5, 2.5)

37 MPF Encontre o zero da f(x) x f ( x) e 4x x 2 e ( x) 2 x 0.5 (0,1)

38 Método de Newton-Raphson Este método é um melhoramento do MPF É determinado uma ϕ(x), que acelere a convergência do MPF, tal que ϕ (ξ) = 0 f( x) ( x) x f ( x)

39 Método de Newton-Raphson Escolhido x 0, a sequência {x k } será determinada por: x x k1 k f( x ) f k ( x ) k

40 Método de Newton-Raphson Exemplo: f x x x 0 2 ( ) 6 ( x) x x x x 2x k X f(x) f (x) Phi(x) Erro 0 1,5000-2,2500 4,0000 2, ,0625 0,3164 5,1250 2,0008 0, ,0008 0,0038 5,0015 2,0000 0, ,0000 0,0000 5,0000 2,0000 1,16E-07

41 Método de Newton-Raphson O método irá convergir se f(x),f (x) e f (x) forem contínuas no intervalo I que contém a raiz de f(x) = 0. Em geral, afirma-se que o método de Newton converge desde que x 0 seja escolhido suficientemente próximo da raiz ξ.

42 Método de Newton-Raphson Exemplo f x x x 0 2 ( ) 6 ( x) x 2 0 x x x6 2x 1 2 k X f(x) f (x) Phi(x) Erro 0 0,0000-6,0000 1,0000 6, , , ,0000 3,2308 2, ,2308 7,6686 7,4615 2,2030 1, ,2030 1,0563 5,4060 2,0076 0, ,0076 0,0382 5,0152 2,0000 0, ,0000 0,0001 5,0000 2,0000 1,16E-05

43 Método de Newton-Raphson Algoritmo 1) Dados iniciais: x 0 aproximação inicial e ξ 1 e ξ 2 são as precisões 2) Se f(x0) < ξ 1, faça x = x 0 e FIM 3) k = 1 4) x 1 = x 0 -f(x 0 )/f (x 0 ) 5) Se f(x1) < ξ 1 ou se x 1 -x 0 < ξ 2, então faça x = x 1 e FIM 6) x 0 =x 1 7) k=k+1 e volte para o passo 4

44 Método de Newton-Raphson Determine o zero de f(x) f x x x x 0 3 ( ) 9 3 0,5 (0,1) k X f(x) f (x) Phi(x) Erro 0 0,5000-1,3750-7,5000 0, ,3167 0,1818-8,0500 0,3392 0, ,3392-0,0142-7,9823 0,3375 0, ,3375 0,0012-7,9876 0,3376 0, ,3376-0,0001-7,9871 0,3376 1,26E-05

45 Método de Newton-Raphson Utilizando o método de Newton calcule a raiz quadrada de 3 com uma precisão de 10-5 k X f(x) f (x) Phi(x) Erro 0 1, , , , , , , , ,25 2 1, , , , , , , , , ,2E , , , , ,45E-09 2 f ( x) x 3 1,

46 Método da secante Uma grande desvantagem do método de Newton é calculo da f (x) Pode-se calcular f (x) pelo quociente das diferenças: f f ( xk) f ( xk 1) ( xk ) x x k k1

47 Método da secante Assim ϕ(x) é dada por: ( x ) x f ( x ) x f ( x ) k1 k k k 1 k f ( xk) f ( xk 1) f( x ) x x ( x x ) k k1 k k k1 f ( xk) f ( xk 1)

48 Método da secante Exemplo f x x x x x ( ) 6 1,5 1,7 2 k X f(x) 0 1, ,25 1 1, ,41 2 2, , , , , E , ,63E-08

49 Método da secante Algoritmo 1) Dados iniciais: x 0, x 1 aproximação inicial e ξ 1 e ξ 2 são as precisões 2) Se f(x0) < ξ 1, faça x = x 0 e FIM 3) k = 1 4) x 2 = x 1 - [f(x 1 )/ (f(x 1 )-f(x 0 ))]*(x 1 -x 0 ) 5) Se f(x 2 ) < ξ 1 ou se x 2 -x 1 < ξ 2, então faça x = x 1 e FIM 6) x 0 =x 1 e x 1 = x 2 7) k=k+1 e volte para o passo 4

50 Método da secante Determine o zero da f(x) f x x x x x ( ) (0,1) k X f(x) Erro(Xk - Xk-1) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , ,00003