Métodos iterativos para sistemas lineares.
|
|
|
- Flávio Pais
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Métodos iterativos para sistemas lineares. Alan Costa de Souza 7 de Setembro de 2017 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
2 Introdução. A ideia central é generalizar o método do ponto fixo utilizado na busca por raízes de uma função. Seja o sistema linear A x = b. A é a matriz de coeficientes. x é o vetor de variáveis. b é o vetor de constantes. O sistema é convertido de alguma forma em outro sistema do tipo x = C x + g. Podemos definir φ( x) = C x + g, como uma função de iteração. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
3 Introdução. Então podemos propor um sistema iterativo: Iniciamos com um vetor x 0. Obtemos uma sequência de vetores através de φ( x). x 1 = C x 0 + g = φ( x 0 ) x 2 = C x 1 + g = φ( x 1 ) x 3 = C x 2 + g = φ( x 2 ) x k+1 = C x k + g = φ( x k ) Se lim k x k = α. α = C α + g. A α = b. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
4 Testes de parada. O método iterativo segue até x k esteja suficiente próximo de x k+1. O que isso significa? No método do ponto fixo: x k+1 x k < ɛ. E com vetores? podemos utilizar por exemplo a norma infinito. Seja x um vetor, sua norma infinito é: x = max 1 i n x i. Então: x k+1 x k = max 1 i n x k+1 i x k i x k+1 x k < ɛ Outra alternativa é estipular um número de iterações máxima. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
5 Método iterativos. Veremos nessa aula dois métodos iterativos: Método de Gauss-Jacobi. Método de Gauss-Seidel. A diferença entre eles é a forma como φ( x) é calculada. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
6 Método de Gauss-Jacobi. Resolver o sistema:, usando com erro máximo ɛ =0,05. x 1 + 2x 2 + 1x 3 = 7 1x 1 + 5x 2 + 1x 3 = 8 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 6 x 0 = Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
7 Método de Gauss-Jacobi. x 1 + 2x 2 + 1x 3 = 7 1x 1 + 5x 2 + 1x 3 = 8 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 6 x 1 + 2x 2 + 1x 3 = 7 x 1 = 1 (7 2x 2 1x 3 ) x k+1 1 = 1 (7 2x k 2 1x k 3 ) Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
8 Método de Gauss-Jacobi. x 1 + 2x 2 + 1x 3 = 7 1x 1 + 5x 2 + 1x 3 = 8 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 6 1x 1 + 5x 2 + 1x 3 = 8 x 2 = 1 5 ( 8 1x 1 1x 3 ) x k+1 2 = 1 5 ( 8 1x k 1 1x k 3 ) Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
9 Método de Gauss-Jacobi. x 1 + 2x 2 + 1x 3 = 7 1x 1 + 5x 2 + 1x 3 = 8 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 6 x 3 = 1 (6 2x 1 3x 2 ) x k+1 3 = 1 (6 2x k 1 3x k 2 ) Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
10 x k+1 1 = 1 (7 2x k 2 1x k 3 ) = 0x k 1 2 x k 2 1 x k x2 k+1 = 1 5 ( 8 1x 1 k 1x3 k ) = 1 5 x 1 k + 0x2 k 1 5 x 3 k = 1 (6 2x 1 k 3x2 k ) = 2 x 1 k 3 x 2 k + 0x3 k + 6 x k+1 x k+1 1 x k+1 2 x k = x k+1 = C x k + g. x k 1 x k 2 x k Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de 2017 / 46
11 x 1 = Continua? x 1 = C x 0 + g , 96 x 1 = 1, , 94 x 1 x 0 < 0, 05? x 1 x 0 = +0, 96 1, 86 +0, 94 +0, 7 1, 6 +0, 6 = x 1 x 0 = 0, 34 > 0, , 26 0, 26 +0, 34 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
12 x 2 = Continua? x 2 = C x 1 + g , , , 94 +0, 978 x 2 = 1, , 966 x 2 x 1 < 0, 05? x 2 x 1 = +0, 978 1, 98 +0, , 96 1, 86 +0, 94 = x 2 x 1 = 0, 12 > 0, , 018 0, 12 +0, 026 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
13 x 3 = Continua? x 3 = C x 2 + g , , , , 9994 x 3 = 1, , x 3 x 2 < 0, 05? x 3 x 2 = +0, , , , 978 1, 98 +0, 966 = x 3 x 2 = 0, 0324 < 0, , , , 0324 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
14 x x 3 = +0, , , 9984 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
15 Convergência do método de Gauss-Jacobi. No exemplo anterior usamos x 0 = g A convergência do método é independente do x 0 escolhido. Veremos adiante que a convergência depende apenas da matriz de coeficientes A. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
16 Teorema 1: Critério das Linhas. Seja A x = b um sistema linear. Seja: n k j=1 α k = a kj. a kk Se α = max 1 k n α k < 1, então o método de Gauss-Jacobi gera uma sequência { x k } que converge para a solução do sistema, independente do x 0 escolhido. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
17 Exemplo 2 x 1 + 2x 2 + 1x 3 = 7 1x 1 + 5x 2 + 1x 3 = 8 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 6 A = α 1 = = 0, 3 < 1. α 2 = = 0, 4 < 1. 5 α 3 = = 0, 5 < 1. max α k = 0, 5 < 1. 1 k 3 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
18 Exemplo 3 { 1x1 + 1x 2 = 3 1x 1 3x 2 = 3 ( ) 1 1 A = 1 3 α 1 = 1 1 = 1 1. α 2 = 1 = 0, 3 < 1. 3 max α k = 1. 1 k 3 O método de Gauss-Jacobi converge para a solução do sistema: x 1 = x 2 = 1, 5. Isso mostra que a condição do teorema é apenas suficiente. Se o critério for satisfeito, então o método converge. Mas se o critério não for satisfeito, o método pode convergir ou não convergir. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
19 Exemplo 4 1x 1 + 3x 2 + 1x 3 = 2 5x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 0x 1 + 6x 2 + 8x 3 = 6 A = α 1 = = 4 > 1. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
20 A = α 1 = = 0, 8 < 1. 5 α 2 = = 0, < 1. 3 α 3 = = 0, 75 < 1. 8 Conclusão: Se a matriz A não satisfaz o critério das linhas, podemos permutar linhas ou colunas para tentar obter uma matriz A 2 que satisfaça. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
21 Método de Gauss-Seidel. Da mesma forma que o método Gauss-Jacobi, o método de Gauss-Seidel consiste em transformar A x = b na forma equivalente x = C x + g. x k+1 = C x k + g A fórmula de iteração é parecida, mas com uma pequena diferença. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
22 Método de Gauss-Seidel. Resolver o sistema:, usando 5x 1 + 1x 2 + 1x 3 = 5 3x 1 + 4x 2 + 1x 3 = 6 3x 1 + 3x 2 + 6x 3 = 0 x 0 = 0. com erro máximo ɛ =0,05. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
23 Método de Gauss-Seidel. 5x 1 + 1x 2 + 1x 3 = 5 3x 1 + 4x 2 + 1x 3 = 6 3x 1 + 3x 2 + 6x 3 = 0 5x 1 + 1x 2 + 1x 3 = 5 x 1 = 1 5 (5 x 2 x 3 ) = 1 0, 2x 2 0, 2x 3 x k+1 1 = 1 0, 2x k 2 0, 2x k 3 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
24 Método de Gauss-Seidel. 5x 1 + 1x 2 + 1x 3 = 5 3x 1 + 4x 2 + 1x 3 = 6 3x 1 + 3x 2 + 6x 3 = 0 3x 1 + 4x 2 + 1x 3 = 6 x 2 = 1 4 (6 3x 1 x 3 ) = 1, 5 0, 75x 1 0, 25x 3 x k+1 2 = 1, 5 0, 75x k+1 1 0, 25x k 3 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
25 Método de Gauss-Seidel. 5x 1 + 1x 2 + 1x 3 = 5 3x 1 + 4x 2 + 1x 3 = 6 3x 1 + 3x 2 + 6x 3 = 0 3x 1 + 3x 2 + 6x 3 = 0 x 3 = 1 6 (0 3x 1 3x 2 ) = 0 0, 5x 1 0, 5x 2 x3 k+1 = 0 0, 5x1 k+1 0, 5x2 k+1 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
26 Método de Gauss-Seidel. x k+1 1 = 1 0, 2x k 2 0, 2x k 3 x k+1 2 = 1, 5 0, 75x k+1 1 0, 25x k 3 x3 k+1 = 0 0, 5x1 k+1 0, 5x2 k+1 x 0 1 = 0 x 0 2 = 0 x 0 3 = 0 x 1 1 =? x 1 2 =? x 1 3 =? x 1 1 = 1 0, 2x 0 2 0, 2x 0 3 = 1. x 0 1 = 0 x 0 2 = 0 x 0 3 = 0 x 1 1 = 1 x 1 2 =? x 1 3 =? x 1 2 = 1, 5 0, 75x 1 1 0, 25x 0 3 = 1, 5 0, 75 1 = 0, 75. x 0 1 = 0 x 0 2 = 0 x 0 3 = 0 x 1 1 = 1 x 1 2 = 0, 75 x 1 3 =? x 1 3 = 0 0, 5x 1 1 0, 5x 1 2 = 0, 5 1 0, 5 0, 75 = 0, 875 x 1 1 = 1 x 1 2 = 0, 75 x 1 3 = 0, 875. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
27 Continua? x 1 x 0 = x 1 x 0 < 0, 05? 1 0, 75 0, = x 1 x 0 = 1 > 0, , 75 0, 875 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
28 Método de Gauss-Seidel. x1 1 = 1 x2 1 = 0, 75 x3 1 = 0, 875 x1 2 =? x2 2 =? x3 2 =? x1 2 = 1 0, 2x2 1 0, 2x3 1 = 1, 025. x1 1 = 1 x2 1 = 0, 75 x3 1 = 0, 875 x1 2 = 1, 025 x2 2 =? x3 2 =? x2 2 = 1, 5 0, 75x1 2 0, 25x3 1 = 0, 95. x1 1 = 1 x2 1 = 0, 75 x3 1 = 0, 875 x1 2 = 1, 025 x2 2 = 0, 95 x3 2 =? x3 2 = 0 0, 5x1 2 0, 5x2 2 = 0, 9875 x1 2 = 1, 025 x2 2 = 0, 95 x3 2 = 0, Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
29 Continua? x 2 x 1 = 1, 025 0, 95 0, 9875 x 2 x 1 < 0, 05? 1 0, 75 0, 875 x 2 x 1 = 0, 2 > 0, 05 = 0, 025 0, 2 0, 1125 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
30 Método de Gauss-Seidel. x1 2 = 1, 025 x2 2 = 0, 95 x3 2 = 0, 9875 x1 3 =? x2 3 =? x3 3 =? x1 3 = 1 0, 2x2 2 0, 2x3 2 = 1, x1 2 = 1, 025 x2 2 = 0, 95 x3 2 = 0, 9875 x1 3 = 1, 0075 x2 3 =? x3 3 =? x2 3 = 1, 5 0, 75x1 3 0, 25x3 2 = 0, x1 2 = 1, 025 x2 2 = 0, 95 x3 2 = 0, 9875 x1 3 = 1, 0075 x2 3 = 0, 9912 x3 3 = x3 3 = 0 0, 5x1 3 0, 5x2 3 = 0, 9993 x1 3 = 1, 0075 x2 3 = 0, 9912 x3 3 = 0, Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
31 Continua? x 3 x 2 = 1, , , 9993 x 3 x 2 < 0, 05? 1, 025 0, 95 0, 9875 = x 3 x 2 = 0, 0412 < 0, 05. 0, , , 0118 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
32 x x 3 = 1, , , 9993 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
33 Convergência do método de Gauss-Seidel. Existem dois critérios que estabelecem condições suficientes para a convergência do método de Gauss-Seidel: Critério de Sassenfeld. Critério das linhas. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
34 Critério de Sassenfeld x 1 + 0, 5x 2 0, 1x 3 + 0, 1x 4 = 0, 2 0, 2x 1 + x 2 0, 2x 3 0, 1x 4 = 2, 6 0, 1x 1 0, 2x 2 + x 3 + 0, 2x 4 = 1 0, 1x 1 + 0, 3x 2 + 0, 2x 3 + x 4 = 2, 5 β 2 = β 1 = a 12 + a 13 + a 14 a 11 β 1 = 0, 5 + 0, 1 + 0, 1 1 = 0, 7 β 2 = a 21 β 1 + a 23 + a 24 a 22 0, 2 0, 7 + 0, 2 + 0, 1 1 = 0, 44 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
35 Critério de Sassenfeld β 4 = β 3 = x 1 + 0, 5x 2 0, 1x 3 + 0, 1x 4 = 0, 2 0, 2x 1 + x 2 0, 2x 3 0, 1x 4 = 2, 6 0, 1x 1 0, 2x 2 + x 3 + 0, 2x 4 = 1 0, 1x 1 + 0, 3x 2 + 0, 2x 3 + x 4 = 2, 5 β 3 = a 31 β 1 + a 32 β 2 + a 34 a 33 0, 1 0, 7 + 0, 2 0, , 2 1 = 0, 358. β 4 = a 41 β 1 + a 42 β 2 + a 43 β 3 a 44 0, 1 0, 7 + 0, 3 0, , 2 0, = 0, Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
36 β 1 = 0, 7 β 2 = 0, 44 β 3 = 0, 358 β 4 = 0, 2736 max β k = 0, 7 < 1. 1 k 4 Como o máximo entre os b k é menor que um, o método de Gauss-Seidel converge para qualquer aproximação inicial. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
37 Exemplo 2. 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 9 0x 1 x 2 + x 3 = 1 1x 1 + 0x 2 + 3x 3 = 3 β 1 = a 12 + a 13 a 11 β 1 = Viola o critério de Sassenfeld. Não podemos garantir convergência. = 2 > 1. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
38 Exemplo 2. trocando a primeira equação pela terceira equação: 1x 1 + 0x 2 + 3x 3 = 3 0x 1 x 2 + x 3 = 1 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 9 Trocando a primeira coluna pela terceira coluna: 3x 3 + 0x 2 + 1x 1 = 3 x 3 x 2 + 0x 1 = 1 3x 3 + x 2 + 2x 1 = 9 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
39 β 2 = 3x 3 + 0x 2 + 1x 1 = 3 x 3 x 2 + 0x 1 = 1 3x 3 + x 2 + 2x 1 = 9 β 1 = a 12 + a 13 a 11 β 1 = = 0, β 2 = a 21 β 1 + a 23 a , = 0, Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
40 β 3 = 3x 3 + 0x 2 + 1x 1 = 3 x 3 x 2 + 0x 1 = 1 3x 3 + x 2 + 2x 1 = 9 β 3 = a 31 β 1 + a 32 β 2 a , , 33 2 max β k = 0, < 1. 1 k 4 = 0, Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
41 Exemplo 3. { x1 + x 2 = 3 x 1 3x 2 = 3 β 1 = 1 1. O critério de Sassenfeld não é satisfeito. Mas o método de Gauss-Seidel converge. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
42 Critério das linhas. O critério das linhas usado para verificar a convergência do método de Gauss-Jacobi pode ser usado para verificar a convergência do método de Gauss-Seidel. A prova consiste em demonstrar que satisfazendo o critério das linhas, também satisfaz o critério de Sassenfeld. Logo se se satisfizer o critério das linhas, o método de Gauss-Seidel converge. Mas o método pode não satisfazer o critério das linhas e satisfazer o critério de sassenfeld e portanto convergir. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
43 Exemplo 1 Viola critério das linhas. 3x 1 + 0x 2 + 1x 3 = 3 x 1 x 2 + 0x 3 = 1 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 α 1 = α 2 = = 1 3 < 1. = 1. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
44 Exemplo 1 3x 1 + 0x 2 + 1x 3 = 3 x 1 x 2 + 0x 3 = 1 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 β 1 = = 1 3 < 1. β 2 = a 21 β 1 + a 23 a 22 β 2 = = 1 3 < 1. β 3 = a 31 β 1 + a 32 β 2 a 33 β 3 = = 2 3 < 1. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
45 Comparação dos métodos. Convergência: os métodos diretos sempre convergem para a solução do sistema, se o determinante da matriz A for diferente de zero. Já os métodos iterativos convergem apenas sobre determinadas condições. Matrizes esparsas: Uma matriz esparsa é uma matriz que a maior parte dos seus elementos são zeros. Em alguns casos pode-se utilizar estruturas de dados especiais para armazenar apenas as entradas não-nulas e com isso conseguir um ganho de memória. Mas utilizando os métodos diretos, introduz-se na matriz vários elementos não-nulos que não tinham na matriz original enquanto que os métodos iterativos não alteram a matriz. Por isso é mais adequado usar os métodos iterativos para matrizes esparsas. Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
46 Erros de arredondamento: Os métodos diretos podem gerar grandes erros de arredondamento, que podem ser amenizados com a técnica de pivoteamento. Mas os métodos iterativos uma vez que a convergência é assegurada, sempre converge para a solução do sistema. Portanto os métodos iterativos garantem que a solução encontrada é a solução do sistema Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de / 46
CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 13 04/2014 Sistemas de Equações Lineares Parte 3 MÉTODOS ITERATIVOS Cálculo Numérico 3/44 MOTIVAÇÃO Os métodos iterativos
SISTEMAS LINEARES PROF. EDÉZIO
SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE SISTEMAS LINEARES PROF. EDÉZIO Considere o sistema de n equações e n incógnitas: onde E : a x + a x +... + a n x n = b E : a x + a x +... + a n x n = b. =. () E n : a n x + a n x
Laboratório de Simulação Matemática. Parte 7 2
Matemática - RC/UFG Laboratório de Simulação Matemática Parte 7 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2017 2 [Cap. 7] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning, 2010. Thiago
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC BC49 Cálculo Numérico - LISTA - sistemas lineares de equações Profs André Camargo, Feodor Pisnitchenko, Marijana Brtka, Rodrigo Fresneda Métodos diretos Analise os sistemas
SME300 - Cálculo Numérico - Turma Elétrica/Automação - Prof. Murilo F. Tomé. Lista 1: Solução Numérica de Sistema Lineares A = MÉTODOS DIRETOS.
SME300 - Cálculo Numérico - Turma Elétrica/Automação - Prof. Murilo F. Tomé Lista 1: Solução Numérica de Sistema Lineares NORMAS DE VETORES E MATRIZES 1. Dado o vetor v = ( 3, 1, 8, 2) T, calcule v 1,
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS. Solução de Sistemas Lineares
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS Solução de Sistemas Lineares Introdução Uma variedade de problemas de engenharia pode ser resolvido através da análise linear; entre eles podemos citar: determinação do
Modelagem Computacional. Parte 7 2
Mestrado em Modelagem e Otimização - RC/UFG Modelagem Computacional Parte 7 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2016 2 [Cap. 7] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning,
SME602 - Cálculo Numérico - - Prof. Murilo F. Tomé. Solução Numérica de Sistema Lineares A = MÉTODOS DIRETOS. x y z
SME602 - Cálculo Numérico - - Prof. Murilo F. Tomé Solução Numérica de Sistema Lineares NORMAS DE VETORES E MATRIZES 1. Dado o vetor v = (, 1, 8, 2) T, calcule v 1, v 2 e v. 2. Dada a matriz: A = 5 7 2
Universidade Federal do Espírito Santo - UFES
Universidade Federal do Espírito Santo - UFES Centro Universitário Norte do Espírito Santo - CEUNES Departamento de Matemática Aplicada - DMA Prof. Isaac P. Santos - 2018/1 Aula: Métodos Iterativos Para
Figura : Monitoria. Monitoria Cálculo Numérico
Monitoria Cálculo Numérico 207-02 NOME Email Dia / Horário Local Ana Sofia Nunez de Abreu nunez.asofia@gmail.com Sex. 0-2h D- Luiz Eduardo Xavier luizeduardosxavier@gmail.com Ter, 5-7h Lab Rafael Mendes
Agenda do Dia Aula 14 (19/10/15) Sistemas Lineares: Introdução Classificação
Agenda do Dia Aula 14 (19/10/15) Sistemas Lineares: Introdução Classificação Sistemas Lineares Sistemas lineares são sistemas de equações com m equações e n incógnitas formados por equações lineares. Um
étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO
SME0300 Cálculo Numérico Aula 11
SME0300 Cálculo Numérico Aula 11 Maria Luísa Bambozzi de Oliveira marialuisa @ icmc. usp. br Sala: 3-241 Página: tidia-ae.usp.br 21 de setembro de 2015 Tópico Anterior Sistemas Lineares: Métodos Exatos:
Métodos Numéricos - Notas de Aula
Métodos Numéricos - Notas de Aula Prof a Olga Regina Bellon Junho 2007 Introdução Sistemas Lineares Sistemas lineares são sistemas de equações com m equações e n incógnitas formados por equações lineares,
Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Métodos Computacionais Marcelo Nogueira
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Métodos Computacionais Marcelo Nogueira Método de Jacobi Método iterativo: produz uma sequencia de soluções,,,, que aproximam a solução do sistema a partir de
Sistemas de equações lineares
É um dos modelos mais u3lizados para representar diversos problemas de Engenharia (cálculo estrutural, circuitos elétricos, processos químicos etc.) Conservação da carga: i 1 i 2 i 3 = 0 i 3 i 4 i 5 =
Resolução de Sistemas de Equações Lineares
1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Resolução de Sistemas de Equações
Sistemas Lineares. Métodos Iterativos Estacionários
-58 Sistemas Lineares Estacionários Lucia Catabriga e Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo -
Cálculo Numérico. Resumo e Exercícios P1
Cálculo Numérico Resumo e Exercícios P1 Fórmulas e Resumo Teórico Parte 1 Aritmética de ponto flutuante Operar com o número de algarismos significativos exigido. Arredondar após cada conta. Método de escalonamento
Uma equação linear com n variáveis tem a seguinte forma:
Edgard Jamhour Uma equação linear com n variáveis tem a seguinte forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b onde a 1, a 2,..., a n e b são constantes reais. Um sistema de equações lineares é um conjunto
Cálculo Numérico BCC760
Cálculo Numérico BCC760 Resolução de Sistemas de Equações Lineares Simultâneas Departamento de Computação Página da disciplina http://www.decom.ufop.br/bcc760/ 1 Introdução! Definição Uma equação é dita
Disciplina: Cálculo Numérico IPRJ/UERJ. Sílvia Mara da Costa Campos Victer. Aula 6 - Solução de Sistema de Equações Algébricas
Disciplina: Cálculo Numérico IPRJ/UERJ Sílvia Mara da Costa Campos Victer Aula 6 - Solução de Sistema de Equações Algébricas Métodos diretos: 1- Eliminação de Gauss com substituição recuada 2- Decomposição
A = Utilizando ponto flutuante com 2 algarismos significativos, 2 = 0, x (0)
MAP 22 - CÁLCULO NUMÉRICO (POLI) Lista de Exercícios sobre Sistemas Lineares : Utilizando o método de eliminação de Gauss, calcule o determinante e a seguir a inversa da matriz abaixo. Efetue todos os
ÁLGEBRA LINEAR AULA 5 MÉTODOS ITERATIVOS
ÁLGEBRA LINEAR AULA 5 MÉTODOS ITERATIVOS Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 27 1 2 3 4 2 / 27 Seja o sistema linear Ax = b, onde: A: Matriz dos coeficientes, n n;
Cálculo Numérico Faculdade de Ciências Sociais Aplicadas e Comunicação FCSAC Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU
Cálculo Numérico Faculdade de Ciências Sociais Aplicadas e Comunicação FCSAC Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) REVISÃO DA 1ª PARTE
Resolução de sistemas de equações lineares: Método dos Gradientes Conjugados
Resolução de sistemas de equações lineares: Método dos Gradientes Conjugados Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 24 de março de 2015 Baseado no livro Cálculo Numérico, de Neide B. Franco Marina Andretta/Franklina
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resolução Lista / Cálculo Numérico 1ª Unidade
1) Analise as alternativas abaixo e marque V para verdadeiro e F para falso. No segundo caso, explique como as tornaria verdadeiras: (F) O método das secantes é utilizado para solucionar um problema de
Capítulo III: Sistemas de equações. III.1 - Condicionamento de sistemas lineares
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Capítulo III: Sistemas de equações III1 - Condicionamento de sistemas lineares 1 Seja 1 0 0 10 6 e considere o sistema Ax = b, com b = 1 10 6 T, que tem por solução
Capítulo III Sistemas de equações
Capítulo III Sistemas de equações III1 - Condicionamento de sistemas lineares 1 Seja 1 0 0 10 6 e considere o sistema Ax = b, com b = 1 10 6 T, que tem por solução exacta x = 1 1 T (a) Determine cond(a)
Método de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos
Método de Gauss-Jordan e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 14 de agosto
Método de Newton truncado
Método de Newton truncado Marina Andretta ICMC-USP 8 de outubro de 2018 Baseado no livro Numerical Optimization, de J. Nocedal e S. J. Wright. Marina Andretta (ICMC-USP) sme5720 - Otimização não-linear
Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares
Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares FACIP/UFU 1 de Junho de 2017 (FACIP/UFU) Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares 1 de Junho de 2017 1 / 7 Motivação Os métodos numéricos
SME Cálculo Numérico. Lista de Exercícios: Gabarito
Exercícios de prova SME0300 - Cálculo Numérico Segundo semestre de 2012 Lista de Exercícios: Gabarito 1. Dentre os métodos que você estudou no curso para resolver sistemas lineares, qual é o mais adequado
Fundamentos IV. Sistemas Lineares. Gustavo Vinhal. August 18, Departamento de Computação
Fundamentos IV Sistemas Lineares Gustavo Vinhal Departamento de Computação August 18, 2016 Métodos iterativos para a solução de sistema lineares Métodos iterativos Um sistema Ax = b pode ser resolvido
Modelagem Computacional. Parte 8 2
Mestrado em Modelagem e Otimização - RC/UFG Modelagem Computacional Parte 8 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2016 2 [Cap. 10 e 11] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning,
CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 8 04/2014 Zeros reais de funções Parte 2 Voltando ao exemplo da aula anterior, vemos que o ponto médio da primeira iteração
Cálculo Numérico Prof. Guilherme Amorim 26/11/2013. Aula 11 Sistemas de Equações Lineares / Parte 4 Convergência e Sistemas mal-condicionados
Cálculo Numérico Prof. Guilherme Amorim 26/11/2013 Aula 11 Sistemas de Equações Lineares / Parte 4 Convergência e Sistemas mal-condicionados Aula passada... Métodos Iterativos Jacobi Gauss-Seidel Pergunta...
Resolução do Exame Tipo
Departamento de Matemática e Engenharias Análise e Computação Numérica Resolução do Exame Tipo 1. O computador IBM 3090 possuía um sistema de vírgula flutuante F F(16, 5, 65, 62) (em precisão simples),
Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Depto de Informática e Estatística Disciplina: INE50-Cálculo Numérico Cap. - Sistemas Lineares Lista de Exercícios - Soluções 1. Resposta: a) x
Introdução aos Métodos Numéricos
Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho Conteúdo específico Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos
O teorema do ponto fixo de Banach e algumas aplicações
O teorema do ponto fixo de Banach e algumas aplicações Andressa Fernanda Ost 1, André Vicente 2 1 Acadêmica do Curso de Matemática - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - Universidade Estadual do
Introdução Sistemas Lineares
Introdução Sistemas Lineares Laura Goulart UESB 5 de Dezembro de 2018 Laura Goulart (UESB) Introdução Sistemas Lineares 5 de Dezembro de 2018 1 / 6 Motivação Uma variedade de problemas de engenharia pode
Cálculo Numérico. Sistemas lineares Métodos Iterativos: Introdução Método Iterativo de Jacobi-Richardson
Cálculo Numérico Sistemas lineares Métodos Iterativos: Introdução Método Iterativo de Jacobi-Richardson Métodos como: Métodos exatos Método de eliminação de Gauss Método de decomposição LU Método de Cholesky
Matemática Computacional - Exercícios
Matemática Computacional - Exercícios 1 o semestre de 2007/2008 - Engenharia Biológica Teoria de erros e Representação de números no computador Nos exercícios deste capítulo os números são representados
Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA
Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA Licenciaturas em Engenharia do Ambiente e Química 2 o Semestre de 2005/2006 Capítulo III Resolução Numérica de Sistemas de Equações Normas, Erros e Condicionamento.
Lista 1 - Cálculo Numérico - Zeros de funções
Lista 1 - Cálculo Numérico - Zeros de funções 1.) De acordo com o teorema de Bolzano, se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a, b], isto é se f(a)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Licenciatura em Engenharia Física Tecnológica Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Ano Lectivo: 2002/
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Licenciatura em Engenharia Física Tecnológica Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Ano Lectivo: / ANÁLISE NUMÉRICA Exercícios Considere o sistema linear 6 x 5 y = a)
Sistemas Lineares - Métodos Iterativos : Jacobi e Gauss-Seidel. Profa. Cynthia de O. Lage Ferreira Métodos Numéricos e Computacionais I - SME0305
Sistemas Lineares - Métodos Iterativos : Jacobi e Gauss-Seidel Profa. Cynthia de O. Lage Ferreira Métodos Numéricos e Computacionais I - SME35 Métodos Iterativos Nesta seção, vamos estudar métodos iterativos
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Mestrado Integrado em Engenharia Física Tecnológica Ano Lectivo: 2007/2008 Semestre: 1 o
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Mestrado Integrado em Engenharia Física Tecnológica Ano Lectivo: 27/28 Semestre: o MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Exercícios [4 Sendo A M n (C) mostre que: (a) n A 2 A n A 2 ; (b)
SME0300 Cálculo Numérico Aula 4
SME0300 Cálculo Numérico Aula 4 Maria Luísa Bambozzi de Oliveira marialuisa @ icmc. usp. br Sala: 3-241 Página: tidia-ae.usp.br 13 de agosto de 2015 Aula Passada Operações Aritméticas: Arredondamento a
Método do Ponto Fixo
Determinação de raízes de funções: Método do Ponto Fixo Marina Andretta ICMC-USP 07 de março de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0500
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Lista de Exercícios / Cálculo Numérico 1ª Unidade
1) Analise as alternativas abaixo e marque V para verdadeiro e F para falso. No segundo caso, explique como as tornaria verdadeiras: ( ) O método das secantes é utilizado para solucionar um problema de
Exercícios de MATEMÁTICA COMPUTACIONAL. 1 0 Semestre de 2009/2010 Resolução Numérica de Equações Não-Lineares
Exercícios de MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica 1 0 Semestre de 2009/2010 Resolução Numérica de Equações Não-Lineares 1. Considere a equação sin(x) e x = 0. a) Prove que
Autovalores e Autovetores
Algoritmos Numéricos II / Computação Científica Autovalores e Autovetores Lucia Catabriga 1 1 DI/UFES - Brazil Junho 2016 Introdução Ideia Básica Se multiplicarmos a matriz por um autovetor encontramos
Solução de sistemas de equações lineares
Cálculo Numérico Solução de sistemas de equações lineares Prof Daniel G Alfaro Vigo dgalfaro@dccufrjbr Departamento de Ciência da Computação IM UFRJ Parte I Métodos diretos Motivação: Circuito elétrico
Métodos Numéricos - Notas de Aula
Métodos Numéricos - Notas de Aula Prof a Olga Regina Bellon Junho 2007 Zeros de equações transcendentes e Tipos de Métodos polinomiais São dois os tipos de métodos para se achar a(s) raízes de uma equação:
Resolução de Sistemas Lineares. Ana Paula
Resolução de Sistemas Lineares Sumário 1 Introdução 2 Alguns Conceitos de Álgebra Linear 3 Sistemas Lineares 4 Métodos Computacionais 5 Sistemas Triangulares 6 Revisão Introdução Introdução Introdução
Cálculo Numérico. Zeros de funções reais
Cálculo Numérico Zeros de funções reais Agenda Introdução Isolamento de raízes Refinamento Bissecção Posição Falsa Método do ponto fixo (MPF) Método de Newton-Raphson Método da secante Introdução Um número
C alculo Num erico Ra ızes de Equa c oes Ana Paula Ana Paula C alculo Num erico
Raízes de Equações Sumário 1 Introdução 2 3 Revisão Introdução Introdução Introdução Introdução Serão estudados aqui métodos numéricos para a resolução do problema de determinar as raízes de uma equação
Lista de Exercícios de Métodos Numéricos
Lista de Exercícios de Métodos Numéricos 1 de outubro de 010 Para todos os algoritmos abaixo assumir n = 0, 1,, 3... Bisseção: Algoritmo:x n = a+b Se f(a) f(x n ) < 0 então b = x n senão a = x n Parada:
Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza.
Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br Agenda do Dia Aula 5 (16/09/15) Zero de funções: Introdução Tipos de métodos Diretos Indiretos ou iterativos Fases de cálculos Isolamento
Método de Newton modificado
Método de Newton modificado Marina Andretta ICMC-USP 14 de setembro de 2010 Marina Andretta (ICMC-USP) sme0212 - Otimização não-linear 14 de setembro de 2010 1 / 36 Método de Newton Como já vimos, o método
Ana Paula. October 26, 2016
Raízes de Equações October 26, 2016 Sumário 1 Aula Anterior 2 Método da Secante 3 Convergência 4 Comparação entre os Métodos 5 Revisão Aula Anterior Aula Anterior Aula Anterior Aula Anterior Método de
Cálculo Numérico. Aula 5 Método Iterativo Linear e Newton-Raphson /04/2014
Cálculo Numérico Aula 5 Método Iterativo Linear e Newton-Raphson 2014.1-15/04/2014 Prof. Rafael mesquita rgm@cin.ufpe.br Adpt. por Prof. Guilherme Amorim gbca@cin.ufpe.br O que vimos até agora? Zeros de
SME Roberto F. Ausas / Gustavo C. Buscaglia
SME0305-2016 Roberto F. Ausas / Gustavo C. Buscaglia ICMC - Ramal 736628, rfausas@gmail.com ICMC - Ramal 738176, gustavo.buscaglia@gmail.com Métodos iterativos Vamos considerar o problema: Achar x R n
étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO
Notas de Aula de Cálculo Numérico
IM-Universidade Federal do Rio de Janeiro Departamento de Ciência da Computação Notas de Aula de Cálculo Numérico Lista de Exercícios Prof. a Angela Gonçalves 3 1. Erros 1) Converta os seguintes números
Matemática Computacional. Exercícios. Teoria dos erros
Matemática Computacional Exercícios 1 o Semestre 2014/15 Teoria dos erros Nos exercícios deste capítulo os números são representados em base decimal. 1. Represente x em ponto flutuante com 4 dígitos e
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMPUTACIONAL: PRIMEIRO BIMESTRE: EDGARD JAMHOUR. QUESTÃO 1: Indique as afirmativas verdadeiras.
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMPUTACIONAL: PRIMEIRO BIMESTRE: EDGARD JAMHOUR QUESTÃO 1: Indique as afirmativas verdadeiras. ( ) O número Pi não pode ser representado de forma exata em sistemas numéricos de
Introdução aos Métodos Numéricos
Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho Conteúdo específico Sistemas de Equações Lineares Métodos Iterativos
Séries Alternadas. São as séries cujos termos se alternam entre positivos e negativos. Por exemplo, ( 1) k+1 1 k =
Séries Alternadas São as séries cujos termos se alternam entre positivos e negativos. Por exemplo, ( 1) k+1 1 k = 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5 Em geral escrevemos, para uma série alternada, ou ( 1) k+1 a k =
SME0300 Cálculo Numérico Aula 6
SME0300 Cálculo Numérico Aula 6 Maria Luísa Bambozzi de Oliveira marialuisa @ icmc. usp. br Sala: 3-241 Página: tidia-ae.usp.br 20 de agosto de 2015 Aula Passada Equações Não-Lineares: Determinar raiz
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Cálculo Numérico - Zeros de Funções Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto Universidade Tecnológica Federal do Paraná 13 de março de 2016 D.R.Rossetto Zeros de Funções 1/81 Problema Velocidade do pára-quedista
Produtos de potências racionais. números primos.
MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e
CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano.
CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 5 Zeros reais de funções Parte 2 Voltando ao eemplo da aula anterior, vemos que o ponto médio da primeira iteração 1 = 2,5
Cálculo Numérico. Santos Alberto Enriquez-Remigio FAMAT-UFU 2015
Cálculo Numérico Santos Alberto Enriquez-Remigio FAMAT-UFU 2015 1 Capítulo 1 Solução numérica de equações não-lineares 1.1 Introdução Lembremos que todo problema matemático pode ser expresso na forma de
Cálculo Numérico. Aula 8 Sistemas de Equações Lineares / Parte /04/2014. Prof. Guilherme Amorim*
Cálculo Numérico Aula 8 Sistemas de Equações Lineares / Parte 1 2014.1-29/04/2014 Prof. Guilherme Amorim* gbca@cin.ufpe.br * Com algumas modificações pelo Prof. Sergio Queiroz Perguntas... O que é um sistema
Solução de Sistemas Lineares: Métodos Iterativos
Capítulo 5 Solução de Sistemas Lineares: Métodos Iterativos 5.1 Introdução Ao lado dos métodos exatos para resolver sistemas lineares, existem os métodos iterativos os quais passamos a discutir agora.
Matemática Computacional - 2 o ano LEMat e MEQ
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica Matemática Computacional - o ano LEMat e MEQ Exame/Teste - 1 de Janeiro de 1 - Parte I (1h3m) 1. Considere
Lista de Exercícios 1 Cálculo Numérico - Professor Daniel
Lista de Exercícios 1 Cálculo Numérico - Professor Daniel Observação: Esta lista abrange os três primeiros tópicos da ementa do curso, teoria dos erros, sistemas lineares, e zeros de funções. Ela abrange
Equações não lineares
DMPA IME UFRGS Cálculo Numérico Índice Raizes de polinômios 1 Raizes de polinômios 2 raizes de polinômios As equações não lineares constituídas por polinômios de grau n N com coeficientes complexos a n,a
Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza.
Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br Agenda do Dia Aula 15 (21/10/15) Sistemas Lineares Métodos Diretos: Regra de Cramer Método da Eliminação de Gauss (ou triangulação)
Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Métodos Computacionais Marcelo Nogueira
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Métodos Computacionais Marcelo Nogueira Sistemas Lineares Comuns na engenharia (calculo de estruturas, redes elétricas, solução de equações diferenciais) Forma
Lista 1 de Exercícios de MAT Cálculo Numérico /II
Lista 1 de Exercícios de MAT 271 - Cálculo Numérico - 2017/II OBS.: Utilize arredondamento por corte (truncamento) com 5 casas decimais após a virgula (caso seja necessário). 1) Converta os números abaixo
Resolver equações: como e para quê? (reflexões e reminiscências)
Resolver equações: como e para quê? (reflexões e reminiscências) Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Resolver equações para quê? No mundo real: Para resolver problemas concretos. Para descobrir
Marina Andretta. 17 de setembro de Baseado no livro Numerical Optimization, de J. Nocedal e S. J. Wright.
Métodos de regiões de confiança Marina Andretta ICMC-USP 17 de setembro de 2014 Baseado no livro Numerical Optimization, de J. Nocedal e S. J. Wright. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0212 - Otimização não-linear
Matemática Computacional - Exercícios
Matemática Computacional - Exercícios 2 o semestre de 2005/2006 - LEE, LEGI e LERCI Programação em Mathematica 1. Calcule no Mathematica e comente os resultados: (a) 7; (b) 7.0; (c) 14406; (d) cos π 6
SME306 - Métodos Numéricos e Computacionais II Prof. Murilo F. Tomé. (α 1)z + 88 ]
![SME306 - Métodos Numéricos e Computacionais II Prof. Murilo F. Tomé. (α 1)z + 88 ]](/thumbs/97/134065832.jpg "SME306 - Métodos Numéricos e Computacionais II Prof. Murilo F. Tomé. (α 1)z + 88 ]")
SME306 - Métodos Numéricos e Computacionais II Prof. Murilo F. Tomé 1 o sem/2016 Nome: 1 a Prova - 07/10/2016 Apresentar todos os cálculos - casas decimais 1. Considere a família de funções da forma onde
Sabendo que f(x) é um polinômio de grau 2, utilize a formula do trapézio e calcule exatamente
MÉTODOS NUMÉRICOS E COMPUTACIONAIS II EXERCICIOS EXTRAIDOS DE PROVAS ANTERIORES EXERCICIOS RESOLVIDOS - INTEGRACAO-NUMERICA - EDO. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f x i..5.7..5 f(x
Resolução de sistemas de equações não-lineares: Método de Newton
Resolução de sistemas de equações não-lineares: Método de Newton Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 24 de setembro de 202 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina
EXERCICIOS RESOLVIDOS - INT-POLIN - MMQ - INT-NUMERICA - EDO
Cálculo Numérico EXERCICIOS EXTRAIDOS DE PROVAS ANTERIORES o sem/08 EXERCICIOS RESOLVIDOS - INT-POLIN - MMQ - INT-NUMERICA - EDO x. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f: i 0 f(x i ).50
Matemática Computacional
Matemática Computacional MEEC 1 ạ Parte/ 1 ọ Teste 019/01/ 18h30 (+1h30) Apresente todos os cálculos e justifique convenientemente as respostas. 1. Nas duas alíneas seguintes apresente os resultados num
Introdução aos Métodos Numéricos
Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares
INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. Exercícios sobre Sistemas de Equações Lineares.
INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ANÁLISE NUMÉRICA Exercícios sobre Sistemas de Equações Lineares Considere as seguintes matrizes: [ 0 3 4 Calcule
Resolução de sistemas de equações lineares: Método do Gradiente
Resolução de sistemas de equações lineares: Método do Gradiente Marina Andretta ICMC-USP 24 de março de 2015 Marina Andretta (ICMC-USP) sme0301 - Métodos Numéricos para Engenharia I 24 de março de 2015
Métodos Iterativos para a Solução da Equação de Poisson
Métodos Iterativos para a Solução da Equação de Poisson Valdirene da Rosa Rocho, Dagoberto Adriano Rizzotto Justo, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada, PPGMap, UFRGS, 91509-900, Porto Alegre,
Método dos gradientes (ou método de máxima descida)
Método dos gradientes (ou método de máxima descida) Marina Andretta ICMC-USP 14 de setembro de 2010 Marina Andretta (ICMC-USP) sme5720 - Otimização não-linear 14 de setembro de 2010 1 / 16 Método dos gradientes
decomposição de Cholesky.
Decomposição LU e Cholesky Prof Doherty Andrade - DMA-UEM Sumário 1 Introdução 1 2 Método de Eliminação de Gauss 1 3 Decomposição LU 2 4 O método de Cholesky 5 5 O Algoritmo para a decomposição Cholesky
Parte 0: Normas de Vetor e Matriz
Cálculo Numérico SME0104 ICMC-USP Lista : Sistemas Lineares Métodos Diretos Parte 0: Normas de Vetor e Matriz 1. Dadas as matrizes: 3 5 7 A = 3 6 B = 1 7 1 (a) Calcule A 1, B 1 e C 1 (b) Calcule A, B e
Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA
Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA Licenciaturas em Engenharia do Ambiente e Química 2 o Semestre de 2005/2006 Capítulo II Resolução Numérica de Equações Não-Lineares 1. Considere a equação sin(x)