Método de Newton para polinômios

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1 Método de Newton para polinômios Alan Costa de Souza 26 de Agosto de 2017 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

2 Seja f(x) uma função polinomial de grau n. A princípio. podemos usar qualquer dos métodos anteriores para encontrar o intervalo inicial e os zeros da função f(x). Mas devido a frequência das funções polinomiais, vamos dar um maior destaque a esse tipo de funções. Encontrar zeros de um polinômio do segundo grau é trivial. Encontrar zeros de polinômios de graus maiores são possíveis em alguns casos, mas não são possíveis no caso geral. Então a alternativa é encontrar numericamente. Como eles aparecem com bastante frequência, veremos um método de Newton adaptado especificamente para polinômios. A diferença entre esse método de Newton e o que vimos na última aula é a eficiência computacional do método. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

3 A aula de hoje será devidida em duas partes: 1 Teoremas para auxiliar a localizar raízes de polinômios. 2 Método de Newton específico para polinômios. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

4 Teorema fundamental da álgebra Se p n (x) é um polinômio de grau n 1, ou seja, p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, com a i reais ou complexos e com a n 0, então p n (x) tem pelo menos um zero, ou seja, existe um número complexo ξ tal que p n (ξ) = 0. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

5 Para determinar o número de zeros reais de um polinômio com coeficientes reais, podemos usar a regra de sinal de Descartes. Dado um polinômio com coeficientes reais, o número de zeros reais positivos p desse polinômio não excede o número v de variações de sinal dos coeficientes. E v-p é um número inteiro, par e não-negativo. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

6 Exemplo 1 p 5 (x) = 2x 5 3x 4 4x 3 + x + 1. v=2 p=0 ou p=2 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

7 Exemplo 2 p 5 (x) = 4x 5 x 3 + 4x 2 x 1. v=3 p=1 ou p=3 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

8 Exemplo 3 p 5 (x) = x v=0 p=0 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

9 Exemplo 4 Para encontrar o número de raízes reais negativas usamos a mesma regra com p n ( x) p 5 (x) = 2x 5 3x 4 4x 3 + x + 1. p 5 ( x) = 2x 5 3x 4 + 4x 3 x + 1. v=3 n=1 ou n=3 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

10 Exemplo 5 p 5 (x) = 4x 5 x 3 + 4x 2 x 1. p 5 ( x) = 4x 5 + x 3 + 4x 2 + x 1. v=2 n=0 ou n=2 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

11 Exemplo 6 p 5 (x) = x p 5 ( x) = x v=1 n=1 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

12 Se quisermos encontrar o número de zeros num intervalo [a,b], podemos usar as sequências de Sturm, que são construídas assim: Dado um polinômio p n e um número real α, podemos contruir uma sequência de Sturm {g i (α)}, da seguinte maneira: g 0 (x) = p n (x). g 1 (x) = p n(x). g k (x) é o resto da divisão entre g k 2 (x) e g k 1 (x) com sinal trocado, para k 2. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

13 Exemplo Para α = 2 p 3 (x) = x 3 + x 2 x + 1 g 0 (x) = p 3 (x) = x 3 + x 2 x + 1 g 1 (x) = p 3(x) = 3x 2 + 2x 1. g 2 (x) = 8x g 3 (x) = g 0 (2) = p 3 (2) = 11. g 1 (2) = p 3(x) = 15. g 2 (2) = 2 3 Sequencia g i (α) é 11,15, 2 3, g 3 (2) = Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

14 Teorema de Sturm Se p n (α) 0 e p n (β) 0, então o número de raízes distintas de p n (x) no intervalo [α,β] é exatamente v(α)-v(β), onde v(c) é o número de variações de sinal da sequência {g i (c)}. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

15 Exemplo p 3 (x) = x 3 + x 2 x + 1 g 0 (x) = p 3 (x) = x 3 + x 2 x + 1 g 1 (x) = p 3(x) = 3x 2 + 2x 1. g 2 (x) = 8x g 3 (x) = g i (2) é 11,15, 2 3, v(2) = 1 g i (3) é 34,32, 14 9, v(3)= 1 O polinômio não possui raízes reais em [2,3]. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

16 Teorema 3. Se p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, então p n (x) tem pelo menos um zero no interior do círculo centrado na origem e com raio igual ao mínimo entre ρ 1,ρ n, onde e ρ 1 = n a 0 a 1 ρ n = n a 0 a n Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

17 Exemplo. p 5 (x) = x 5 3, 7x 4 + 7, 4x 3 10, 8x , 8x 6, 8. n = 5 a 5 = 1 a 1 = 10, 8 a 0 = 6, 8. ρ 1 = n a 0 a 1 = 5 6, 8 = 3, , 8 ρ n = 5 6, 8 1 = 1, Logo p n (x) tem um zero real ou complexo dentro do círculo de raio 1,46..., ou seja x 1, Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

18 Teorema 4. Se p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, e se r = 1 + max 0 k n 1 a k a n. Então cada um dos zeros de p n (x) se encontra no círculo x r. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

19 Exemplo x 3 x 2 + x 1. n = 3 a 0 = 1 a 1 = 1 a 2 = 1 a 3 = 1. a 0 a 3 = 1 a 1 a 3 = 1 a 2 a 3 = 1. r = = 2. x 2. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

20 O polinômio tem 3 raízes. x 1 = 1 x 2 = 0 + 1i x 3 = 0 1i. x 1 = 1 x 2 = = 1. x 3 = 1. x n 2. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

21 Determinação das raízes reais. Depois de obter uma ideia de onde estão as raízes de um polinômio, que é a fase de isolamento, vamos para a fase de refinamento, para encontrar a raiz de forma mais precisa. O método mais eficaz no caso geral para encontrar zeros de uma função, é o método de Newton. Ele tem a desvantagem de ter que se derivar a função f(x) e calcular o valor em cada iteração. Veremos uma versão especial do método de Newton, que é mais eficaz computacionalmente, e também elimina a necessidade de se derivar. Para começar veremos um método mais eficiente de se calcular o valor de um polinômio num ponto. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

22 Valor numérico de um polinômio. Seja o polinômio: p 4 (x) = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Para se calcular o valor numérico para algum x, precisa-se de 10 multiplicações e 4 adições. p 4 (x) = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 p 4 (x) = (a 4 x 3 + a 3 x 2 + a 2 x + a 1 )x + a 0 p 4 (x) = ((a 4 x 2 + a 3 x + a 2 )x + a 1 )x + a 0 p 4 (x) = (((a 4 x + a 3 )x + a 2 )x + a 1 )x + a 0 Precisamos de 4 multiplicações e 4 somas. Logo a segunda forma é mais eficiente computacionalmente. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

23 p 4 (x) = (((a 4 x + a 3 )x + a 2 )x + a 1 )x + a 0 b 4 = a 4. b 3 = a 3 + b 4 x. b 2 = a 2 + b 3 x. b 1 = a 1 + b 2 x. b 0 = a 0 + b 1 x. Valor de p(x) é b 0. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

24 Exemplo. p(x) = x p(4) =? b 2 = a 2 = 1 b 1 = a 1 + b 2 x = = 4. b 0 = a 0 + b 1 x = = 17. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

25 Valor numérico da derivada de um polinômio. p 4 (x) = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 b 4 = a 4. a 4 = b 4 b 3 = a 3 + b 4 x b 2 = a 2 + b 3 x b 1 = a 1 + b 2 x b 0 = a 0 + b 1 x a 3 = b 3 b 4 x a 2 = b 2 b 3 x a 1 = b 1 b 2 x a 0 = b 0 b 1 x p 4(x) = 4a 4 x 3 + 3a 3 x 2 + 2a 2 x + a 1 p 4(x) = 4b 4 x 3 + 3(b 3 b 4 x)x 2 + 2(b 2 b 3 x)x + (b 1 b 2 x) p 4(x) = 4b 4 x 3 + 3b 3 x 2 3b 4 x 3 + 2b 2 x 2b 3 x 2 + b 1 b 2 x p 4(x) = b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

26 p 4(x) = b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 p 4(x) = (b 4 x 2 + b 3 x + b 2 )x + b 1 p 4(x) = ((b 4 x + b 3 )x + b 2 )x + b 1 c 4 = b 4 c 3 = b 3 + c 4 x c 2 = b 2 + c 3 x c 1 = b 1 + c 2 x c 1 é o valor de p (x). Podemos calcular o valor de p(x) através dos coeficientes a i de forma otimizada. O cálculo de p(x) gera uma sequência b i. Usamos os b i para calcular p (x) de forma otimizada. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

27 Calculando f(x) e f (x) simultaneamente. b 4 = a 4. c 4 = b 4 b 3 = a 3 + b 4 x. c 3 = b 3 + c 4 x b 2 = a 2 + b 3 x. c 2 = b 2 + c 3 x b 1 = a 1 + b 2 x. c 1 = b 1 + c 2 x b 0 = a 0 + b 1 x. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

28 Exemplo 1. p 5 (x) = x 5 3, 7x 4 + 7, 4x 3 10, 8x , 8x 6, 8 x 0 = 1, 5 ɛ = 10 6 x 1 = x 0 p 5(x 0 ) p 5 (x 0) = 1, 5 p 5(1, 5) (1, 5) p 5 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

29 b 5 = a 5 = 1 c 5 = b 5 = 1. b 4 = a 4 + b 5 x = 3, , 5 = 2, 2. c 4 = b 4 + c 5 x = 2, , 5 = 0, 7. b 3 = a 3 + b 4 x = 7, 4 2, 2 1, 5 = 4, 1. c 3 = b 3 + c 4 x = 4, 1 0, 7 1, 5 = 3, 05. b 2 = a 2 + b 3 x = 10, 8 + 4, 1 1, 5 = 4, 65. c 2 = b 2 + c 3 x = 4, , 05 1, 5 = 0, 075. b 1 = a 1 + b 2 x = 10, 8 4, 65 1, 5 = 3, 825. c 1 = b 1 + c 2 x = 3, 825 0, 075 1, 5 = 3, 7125 b 0 = a 0 + b 1 x = 6, 8 + 3, 825 1, 5 = 1, p 5 (1, 5) = 1, 0625 p 5(1, 5) = 3, x 1 = x 0 p 5(x 0 ) p 5 (x 0) = 1, 5 p 5(1, 5) 1, (1, 5) p 5 x 5 = 1, 7. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

30 Exemplo 2. x 3 3x + 3 ɛ b 3 = a 3 = 1 c 3 = b 3 = 1. x 0 = 2. b 2 = a 2 + b 3 x = ( 2) = 2. c 2 = b 2 + c 3 x = ( 2) = 4. b 1 = a 1 + b 2 x = 3 2 ( 2) = 1. c 1 = b 1 + c 2 x = 1 4 ( 2) = 9. b 0 = a 0 + b 1 x = ( 2) = 1. p( 2) = b 0 = 1 p ( 2) = c 1 = 9. x 1 = x 0 p(x 0) p (x 0 ) = 2 1 2, x 4 = (1) f (x 4 ) Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31

31 Exemplo 3. x 3 3x + 3 ɛ 10 6 x 0 = 0, 8. x p (x) = 3x 2 3 Zeros da derivada são: x = 1 x = 1. x 0 próximo ao zero da derivada explica as 18 iterações. Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de / 31