CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano.

Transcrição

1 CÁLCULO NUMÉRICO Proa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Revisão Zeros de Funções

3 A ideia central dos métodos que iremos aprender é partir de uma aproimação inicial para a raiz e em seguida reinar essa aproimação através de um processo iterativo. Cálculo Numérico 3/60

4 MÉTODO DA BISSECÇÃO Cálculo Numérico 4/60

5 Método da Bissecção Graicamente: () (a 0 ). (b 0 ) < 0 1 = (a 0 + b 0 )/2 a 0 1 b 0 Cálculo Numérico 5/60

6 Método da Bissecção Graicamente: 2 = (a 1 + b 1 )/2 () (a 0 ). (b 0 ) < 0 () a 0 = a 1 1 = (a 0 + b 0 )/2 2 1 = b 1 a 0 (a 1 ). (b 1 ) < 0 1 b 0 Cálculo Numérico 6/60

7 Método da Bissecção Graicamente: 2 = (a 1 + b 1 )/2 () (a 0 ). (b 0 ) < 0 1 = (a 0 + b 0 )/2 () a 0 = a = b 1 a 0 1 b 0 () 3 = (a 2 + b 2 )/2 Repete-se o processo até que o valor de atenda às condições de parada. 2 =a 23 b 1 =b 2 Cálculo Numérico 7/60

8 Cálculo Numérico 8/60 Método da Bissecção As iterações são realizadas da seguinte orma: , b a a a b a b a , b b a b b a b a

9 EXEMPLO 4 Considerando o método da bissecção com e = 0,002 e adotando [2,3] como intervalo inicial, obtenha uma aproimação para a unção: log 1 Cálculo Numérico 9/60

10 EXEMPLO 4 k a k b k (a k ) (b k ) k+1 ( k+1 ) 0 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00136 b - a = 0,01563 () < e = 0,002 > e = 0,002 2, Cálculo Numérico 10/60

11 EXEMPLO 4 k a k b k (a k ) (b k ) k+1 ( k+1 ) 0 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5000 2, , , , , , , , , , , , , , , b - a = 0,00195 < e =0,002 Cálculo Numérico 11/60 2, 50587, 2, 50782

12 Método da Bissecção ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES: Dada uma precisão e e um intervalo inicial [a, b], vamos determinar quantas iterações serão eetuadas pelo método da bissecção até. Cálculo Numérico 12/60

13 Método da Bissecção Devemos obter o valor de k tal que seja: b k a k e, ou b 0 2 k a 0 e Cálculo Numérico 13/60

14 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Cálculo Numérico 14/60

15 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Uma alteração simples no método da bissecção é capaz de aprimorar o reinamento do intervalo que contém a raiz. Em vez de tomar a média aritmética entre a e b, o método da alsa posição toma a entre a e b com pesos (b) e (a), respectivamente. a b b b a a a b b b a a Visto que (a) e (b) têm sinais opostos. Cálculo Numérico 15/60

16 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO As hipóteses de continuidade de () em [a, b] tal que (a) (b) < 0 ainda devem ser satiseitas. Cálculo Numérico 16/60

17 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Método da Bissecção Calcula a média aritmética dos limites do intervalo que contém a raiz ([a, b]). Método da Falsa Posição Calcula a média ponderada dos limites do intervalo que contém a raiz ([a, b]). Cálculo Numérico 17/60

18 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Análise Gráica y (a). (b) < 0 () 0 2 a 0 1 a 1 b 0 b 2 a 2 b 1 Cálculo Numérico 18/60

19 EXEMPLO 1 Aplique o método da alsa posição para: log 1 em [2, 3], com e = 0,002 = 0, k a k b k (a k ) (b k ) k+1 ( k+1 ) 0 2,0000 3,0000-0,3979 0,4314 2,4798-0, ,4798 3,0000-0,0219 0,4314 2,5049-0,0011 () < e = 0, b 1 a 1 = 0,5202 > e = 0, = 2,5049 Cálculo Numérico 19/60

20 EXEMPLO 1 Aplique o método da alsa posição para: log 1 em [2, 3], com e = 0,002 = 0, k a k b k (a k ) (b k ) k+1 ( k+1 ) 0 2,0000 3,0000-0,3979 0,4314 2,4798-0, ,4798 3,0000-0,0219 0,4314 2,5049-0, ,5049 3,0000-0,0011 0,4314 2,5062 0, ,5049 2,5062 0,0000 0, b 3 a 3 = 0, < e = 0, ,5049,2,5062 Cálculo Numérico 20/60

21 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Cálculo Numérico 21/60

22 CONSIDERAÇÕES INICIAIS O Método de Newton-Raphson é um dos métodos numéricos mais eicientes e conhecidos para a solução de um problema de determinação de raiz. Cálculo Numérico 22/60

23 MÉTODO DE NEWTON () Análise Gráica 1 a iteração 2 a iteração 3 a iteração Repete-se o processo até que o valor de atenda às condições de parada. Cálculo Numérico 23/60

24 MÉTODO DE NEWTON No método de Newton teremos: k 1 k ' k k Cálculo Numérico 24/60

25 Critério de Parada Os critérios de parada são os mesmos dos demais métodos: n n 1 e ERRO ABSOLUTO n n 1 n e ERRO RELATIVO n e Cálculo Numérico 25/60

26 EXEMPLO 2 Comprovaremos neste eemplo que uma escolha cuidadosa da aproimação inicial é, em geral, essencial para o bom desempenho do método de Newton. Considere a unção () = que possui três zeros: I, 3 ; I 0,1 ; I 2, Seja 0 = 1,5 e e = Cálculo Numérico 26/60

27 EXEMPLO 2 k k ( k ) ( k ) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , () < e = 10-3 Cálculo Numérico 27/60

28 EXEMPLO Podemos observar que de início há uma divergência da região onde estão as raízes, mas a partir de 7, os valores aproimam-se cada vez mais de 3. A causa da divergência inicial é que 0 está próimo de 3 que é um zero de () e esta aproimação inicial gera 1 1,66667 que está próimo de outro zero de (). Cálculo Numérico 28/60

29 MÉTODO DA SECANTE Cálculo Numérico 29/60

30 Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter () e calcular seu valor a cada iteração. Uma orma de contornar este problema é substituir a derivada () pelo quociente das dierenças: ' k k k k1 k1 onde k e k-1 são duas aproimações para a raiz. Cálculo Numérico 30/60

31 Cálculo Numérico 31/60 No Método de Newton, temos: Agora, no Método da Secante, temos: k k k k ' k k k k k k k

32 Interpretação Geométrica () a iteração 2 a iteração 3 a iteração 4 a iteração Repete-se o processo até que o valor de atenda às condições de parada. Cálculo Numérico 32/60

33 MÉTODO DA SECANTE Método da Falsa Posição a b b b a a a b b b a a (a). (b) < 0, para cada iteração; Tem garantia de convergência. Método da Secante k 1 k 1 k k k 1 k 1 Não tem garantia de convergência. k Cálculo Numérico 33/60

34 EXEMPLO 3 Considere () = , 0 = 0; 1 = 1 e e = Aplique o Método da Secante. k k-1 ( k-1 ) k ( k ) k+1 ( k+1 ) ,375-0, ,375-0, , , ,375-0, , , , , () < e = , Cálculo Numérico 34/60

35 EXEMPLO 3 Considere () = , 0 = 0; 1 = 1 e e = Aplique o Método da Secante. k k-1 ( k-1 ) k ( k ) k+1 ( k+1 ) ,375-0, ,375-0, , , ,375-0, , , , , , , , , , , k+1 - k = 5-4 =0, < e Cálculo Numérico 35/60

36 MÉTODO DA SECANTE y NÃO CONVERGE!!!! 0 1 () Cálculo Numérico 36/60

37 MÉTODO DA SECANTE y () NÃO CONVERGE!!!! 0 1 Cálculo Numérico 37/60

38 Reerências BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, iii, 721 p. ISBN RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, c1997. vi, 406 p. ISBN CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, p. ISBN Cálculo Numérico 38/60