1, tal que x k+ 1 x para k +. x k + 1 : raiz aproximada da f; Uma forma de determinarmos um intervalo I = [ a,

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1 - SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES INTRODUÇÃO Um dos problemas que ocorrem mais reqüentemente em trabalhos cientíicos é calcular as raízes de equações da orma: () 0. A unção () pode ser um polinômio em ou uma unção transcedente. Em raros casos é possível obter as raízes eatas de () 0, como ocorre, por eemplo, supondo-se () um polinômio atorável. Em geral, queremos obter somente soluções aproimadas, coniando a aproimação em alguma técnica computacional. Vamos então considerar vários métodos iterativos para a determinação de aproimações para raízes isoladas de () 0. Será dada uma atenção especial às equações polinomiais em virtude da importância de que as mesmas gozam na análise. Assim, nem sempre ou quase que em geral não conseguimos obter o zero (ou raíz) de uma unção de orma direta. Nestes casos, uma alternativa para se obter o zero (ou raiz) é de orma indireta através de métodos iterativos. O processo de determinar a raiz ou as raízes de é eito em duas ases: 1ª Fase: deve-se isolar ou coninar a raiz da, ou seja, determinar um intervalo I [a,b] que contenha a raiz ; 0 a, b, deinir e utilizar um processo ª Fase: a partir de uma solução inicial [ ] iterativo que calcule a seqüência de pontos 1,, K,, + 1, tal que + 1 para : raiz aproimada da ; : raiz eata..1- Fase I: Coninamento ou isolamento de raízes. Uma orma de determinarmos um intervalo I [ a, b] R que garantidamente contenha a raiz eata é dada pelo teorema a seguir: Teorema de Rolle.1.1: Se é uma unção contínua em I [ a, b] R e se troca de sinal nos etremos deste intervalo, ou seja, ( a) ( b) 0 [ a, b] Forma prática de se investigar intervalos I [, b] Desde que, para toda lei ( ) tal que ( ) 0. a que contém a raiz da. y é possível particionar da seguinte orma: ( ) ( ) ( ) 1 Nesse caso, ( ) 0 se e somente se 1 ( ) ( ) 0 satisazer ( ) ( ) 1. e assim a raiz da deve 41

2 Então, é a raiz da se e somente se em, 1 ( ) e ( ) Eemplos: a.) ( ) 5e + b.) ( ) e c.) ( ) ( ) ln e d.) ( ) sen( ) Proposição: 1 se interceptam. Se é contínua e dierenciável em [ a, b] e: - se ( a) ( b) < 0 em [ a, b] ; - se não troca de sinal em [ a, b], ou seja, ( ) > 0 em [ a, b] ou ( ) [ a, b], então possui uma única raiz em [ a, b]. Justiicativa: a b - ( ) ( ) < 0 garante que possui raiz em [, b] - ( ) > 0 em [ a, b] implica em ser crescente em [ a, b] ; - ( ) < 0 em [ a, b] implica em ser decrescente em [, b] Assim, corta o eio das abcissas uma única vez,.- Método da Bissecção O método consiste dos seguintes passos: Se [ a, b] Calcula-se ( a 0 ) ( a ) ( ) tem raiz única em [, b] e ( ) 0 então considere inicialmente a 0 + b0 a 0 a, b 0 b e calcule 0 I, ( b 0 ) e ( 0 ), investigue se 0 0 < 0, se or verdade aça, a 1 a 0, b 1 0 e atualize caso contrário, ( b ) ( ) < a (Teorema Rolle); a. a. < 0 em 4

3 aça a 1 0, b 1 b0 e Analiso o erro cometido: (erro relativo) e1 0 se e 1 < ξ o processo para e 1 se e 1 > ξ, calcula-se ( ), ( b1),( ) se ( ) ( 1 ) < 0 a, b se ( b1 ) ( 1 ) < 0 a, b b1 Atualiza-se Analisa-se e e se e < ξ Calcula-se ( a ), ( b ), ( ) M A iteração é eita de maneira análoga à iteração zero e iteração 1. a + b Deinidos a e b se e < ξ pare o processo. Caso contrário, continue particionando o intervalo [ a, b ]. A partição é eita tal que: [ a, b] [ a 0, b0 ] [, b1] K [ a, b ] O método consiste em ir particionando o intervalo [, b] [ a, b ], [ a, b ], K,[ a, ] de tal orma a ir cercando a raiz b Eemplo..1: ( ) e cos [ 1.375,1.5] [ a, b] ξ 10 [ a, b ] [ 1.375,1.5] 0 0 a 0 + b e > ξ a em 43

4 ( a 0 ) ( b 0 ) ( ) ( b ) ( ) < b1 b e > ξ ( ) ( b1 ) ( ) ( ) ( 1 ) < 0 a e b Aceleração do processo de bissecção:.3- O Método Regula-Falsi (Posição Falsa ou Falsa Posição) No processo de bissecção podemos atualizar o ponto deste processo: utilizando a geometria por: Equação da reta r que passa pelos pontos ( a, ( ) e (, ( ) Admitindo-se e y y 0 a b b é epressa a b ( a ) 1 a ( a ) ( b ) 1 b ( b ) 0 y 0 ( ) y 1 y 0 + ( ( a ) + ( b ) a ( b ) + b ( a ) a ( b ) b ( a ) ( b ) ( a ) Como não conhecemos azemos: 44

5 ( b ) b ( a ) ( b ) ( a ) a 0,1,, L Considerando-se os seguintes valores já calculados pelo método da bissecção: b1 1.5 ( ) ( b1 ) O cálculo de 1 pelo método Regula-Falsi nos dá: ( b1 ) b1 ( ) ( b ) ( a ) Erro cometido: e < 10 Observação: O processo de escolha de método da bissecção. a e b é o mesmo eetuado para o 45