CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano.
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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
2 Aula 4 09/2014 Zeros reais de funções Parte 1
3 Objetivo Determinar valores aproimados para as soluções (raízes) de equações da forma: f 0 sendo f uma função real dada. Cálculo Numérico 3/60
4 Motivação Você está projetando um tanque esférico para armazenar a água para uma pequena vila em uma região em desenvolvimento. O volume de líquido que ele armazena pode ser calculado por: V h 3R 3 2 h onde V é o volume [m 3 ], h é a profundidade da água no tanque [m], R é o raio do tanque. Cálculo Numérico 4/60
5 Motivação Se R = 3 m, até que profundidade o tanque deve estar cheio para que ele armazene 30 m 3? Cálculo Numérico 5/60
6 Motivação A equação a ser resolvida será: f h Rh h V 0 Onde V = 30m 3. Como determinar h? Cálculo Numérico 6/60
7 Motivação A solução eata de pode ser encontrada apenas em alguns casos: f 0 Polinômios de grau menor ou igual a quatro; Algumas funções trigonométricas. Mesmo quando a solução analítica está disponível, sua determinação pode ser complicada. Cálculo Numérico 7/60
8 Em alguns casos, por eemplo, de equações polinomiais, os valores de que anulam f () podem ser reais ou compleos. Estamos interessados somente nos zeros reais de f (). Graficamente, os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eio. Cálculo Numérico 8/60
9 Cálculo Numérico 9/60
10 A ideia central dos métodos que iremos aprender é partir de uma aproimação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproimação através de um processo iterativo. Cálculo Numérico 10/60
11 Assim, os métodos constam de duas fases: Fase I: Localização ou isolamento das raízes Consiste em obter um intervalo que contém a raiz. Fase II: Refinamento Consiste em, escolhidas aproimações iniciais para o intervalo da Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproimação para a raiz dentro de uma precisão e préestabelecida. Cálculo Numérico 11/60
12 FASE I: Isolamento das Raízes Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f (). O sucesso da Fase II depende fortemente da precisão desta análise. Cálculo Numérico 12/60
13 Fase I: Isolamento das Raízes Na análise teórica, usa-se: TEOREMA 1 Seja f () uma função contínua em [a, b]. Se f (a) f (b) < 0, então eiste pelo menos um ponto = ξ entre a e b que é zero de f (). Esta é uma consequência do Teorema do Valor Intermediário. Cálculo Numérico 13/60
14 Fase I: Isolamento das Raízes TEOREMA 1 Cálculo Numérico 14/60
15 Fase I: Isolamento das Raízes TEOREMA 1 Cálculo Numérico 15/60
16 Fase I: Isolamento das Raízes TEOREMA 1 Cálculo Numérico 16/60
17 Fase I: Isolamento das Raízes Sob as hipóteses do Teorema 1, se f () eistir e preservar o sinal em ]a, b[, então este intervalo contém um único zero de f (). Cálculo Numérico 17/60
18 Fase I: Isolamento das Raízes f ' ( ) > 0, " Î a,b [ ] Cálculo Numérico 18/60
19 Fase I: Isolamento das Raízes f ' ( ) < 0, " Î a,b [ ] Cálculo Numérico 19/60
20 Fase I: Isolamento das Raízes Uma forma de isolar as raízes de f () usando os conceitos anteriores é tabelar f () para vários valores de e analisar as mudanças de sinal de f () e o sinal da derivada nos intervalos em que f () mudou de sinal. Cálculo Numérico 20/60
21 Fase I: Isolamento das Raízes EXEMPLO 1: Seja f () = Vamos analisar o sinal desta função. Construindo uma tabela de valores para f () e considerando apenas os sinais, temos: f() Cálculo Numérico 21/60
22 Fase I: Isolamento das Raízes Sabendo que f () é contínua para qualquer real e observando as variações de sinal, podemos concluir que cada um dos intervalos I 1 = [-5, -3], I 2 = [0, 1], I 3 = [2, 3], contém pelo menos um zero de f (). Como f () é um polinômio de terceiro grau, podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f () e, assim localizamos todas as raízes de f () = 0. Cálculo Numérico 22/60
23 Fase I: Isolamento das Raízes Se f (a) f (b) > 0, então podemos ter várias situações no intervalo [a, b], conforme mostram os gráficos a seguir. Cálculo Numérico 23/60
24 Fase I: Isolamento das Raízes Nenhuma raiz Cálculo Numérico 24/60
25 Fase I: Isolamento das Raízes Várias raízes Cálculo Numérico 25/60
26 Fase I: Isolamento das Raízes Uma única raiz Cálculo Numérico 26/60
27 Fase I: Isolamento das Raízes A análise gráfica da função f () ou da equação f () = 0 é fundamental para se obter aproimações para a raiz. Temos três processos de análise de gráficos. Cálculo Numérico 27/60
28 Processos Gráficos ESBOÇAR O GRÁFICO: Análise do comportamento da função, que envolve: domínio da função, pontos de descontinuidade, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máimo e mínimo, concavidade, ponto de infleão e assíntotas da função. Através da EQUAÇÃO EQUIVALENTE g () = h (): A partir da equação f () = 0, obter a equação equivalente g () = h (), esboçar os gráficos das funções g () e h () no mesmo eio cartesiano e localizar os pontos onde as duas curvas se interceptam, pois neste caso: f ( ) = 0 g ( ) = h ( ). GRÁFICOS COMPUTACIONAIS. Cálculo Numérico 28/60
29 Equação Equivalente g() = h() EXEMPLO 2: Suponha f () = log 1, então queremos encontrar tal que: log 1 0 log 1 Chamando: e g h log 1 Cálculo Numérico 29/60
30 Equação Equivalente g() = h() y h() 2 3 g() Verificou-se que [2, 3] Cálculo Numérico 30/60
31 Gráficos computacionais EXEMPLO 3: Os gráficos computacionais podem tornar mais rápidos e melhores seus esforços para localizar as raízes de equações. A função: sen10 cos f 3 tem diversas raízes no intervalo de = 0 a = 5. Use gráficos computacionais para adquirir percepção do comportamento dessa função. Cálculo Numérico 31/60
32 Fase II: Refinamento Veremos vários métodos de refinamento de raízes. A forma como se efetua o refinamento é que diferencia os métodos. Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são eecutadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. Os métodos iterativos para refinamento da aproimação inicial para a raiz eata podem ser colocados em um diagrama de fluo. Cálculo Numérico 32/60
33 Início Dados Iniciais Cálculo Iniciais k = 1 Calcular a nova aproimação Essa aproimação está próima o suficiente da raiz eata? Cálculos Intermediários Sim Cálculos Finais Fim k = k+1 Cálculo Numérico 33/60
34 Critério de Parada TESTE: k está suficientemente próimo da raiz eata? Eistem duas interpretações para raiz aproimada que nem sempre levam ao mesmo resultado: é raiz aproimada com precisão e se: i) e ou ii) f e Cálculo Numérico 34/60
35 Critério de Parada Como efetuar o teste (i) se não conhecemos o valor eato da raiz? Usamos frequentemente os conhecimentos de erro absoluto e erro relativo para determinarmos o critério de parada. ERRO ABSOLUTO: k k 1 e ERRO RELATIVO: k k 1 k e Cálculo Numérico 35/60
36 Critério de Parada Cálculo Numérico 36/60
37 Nem sempre é possível ter as eigências (i) e (ii) satisfeitas simultaneamente. Cálculo Numérico 37/60
38 Cálculo Numérico 38/60
39 Cálculo Numérico 39/60
40 Cálculo Numérico 40/60
41 Em programas computacionais, além do teste de parada usado para cada método, deve-se ter o cuidado de estipular um número máimo de iterações, para se evitar que o programa entre em looping. Cálculo Numérico 41/60
42 Métodos Iterativos Métodos iterativos para a obtenção de zeros reais de funções: Bissecção; Falsa posição; Ponto fio; Newton-Raphson; Secante. Cálculo Numérico 42/60
43 Método da Bissecção Suponha que f () seja uma função contínua definida em [a,b], tal que f (a) f (b) < 0. De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, eiste um número c em ]a, b[ para o qual f (c) = 0. Vamos supor, para simplificar, que ]a, b[ contenha uma única raiz da equação f () = 0. Cálculo Numérico 43/60
44 Método da Bissecção O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida: (b a) < e ou usando, para isto, a sucessiva divisão f de [a, b] ao meio. e Cálculo Numérico 44/60
45 Método da Bissecção Graficamente: 1 = (a + 0 )/2 f() f() a = a 1 0 = (a + b)/2 1 0 = b 1 a = a 0 2 = ( )/2 0 b = b 0 f() 1 =a 2 Repete-se o processo até que o valor de atenda às condições de parada. 2 0 =b 2 Cálculo Numérico 45/60
46 Cálculo Numérico 46/60 Método da Bissecção As iterações são realizadas da seguinte forma: , b a a a f b f a f b a , b b a b f b f a f b a
47 EXEMPLO 4 Considerando o método da bissecção com e = 0,002 e adotando [2, 3] como intervalo inicial, obtenha uma aproimação para a função: f log1 Cálculo Numérico 47/60
48 EXEMPLO 4 y h() 2 3 g() Verificou-se que [2, 3] Cálculo Numérico 48/60
49 EXEMPLO 4 k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) 0 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00136 b - a = 0,0156 > e = 0,002 2,50781 f() < e = 0,002 Cálculo Numérico 49/60
50 EXEMPLO 4 k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) 0 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5000 2, , , , , , , , , , , , , , , , ,00055 b - a = 0,0008 < e =0,002 2,50684 Cálculo Numérico 50/60
51 Método da Bissecção ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES: Dada uma precisão e e um intervalo inicial [a, b], vamos determinar quantas iterações serão efetuadas pelo método da bissecção até b k a k < e. Cálculo Numérico 51/60
52 Cálculo Numérico 52/60 Método da Bissecção a 0 b 0 a 1 b 1 b 2 a a b a b a b a b a b a b a b a b b 3 a 3
53 Método da Bissecção Então temos que: b k a k b a 2 b k 1 k 1 0 k 2 a 0 b k a k e Devemos obter o valor de k tal que, ou seja: b 0 a k 2 0 e Cálculo Numérico 53/60
54 Método da Bissecção Portanto, se k satisfaz a relação anterior, ao final da iteração k, teremos o intervalo [a, b] que contém a raiz, tal que:, a b b a e Cálculo Numérico 54/60
55 Algoritmo do Método da Bissecção Seja f () contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: ENTRADA: função f, etremidades a, b; precisão erro, número máimo de iterações ma. SAÍDA: solução aproimada Passo 1: Faça i = 1; ou mensagem de erro. Passo 2: Enquanto i < ma, eecute os passos 3 a 6. Passo 3: Faça p = (a + b) / 2; ( ) Cálculo Numérico 55/60
56 Algoritmo do Método da Bissecção Passo 4: Se f (p) = 0 ou b a < erro, então: SAÍDA (); ( ). PARE. Passo 5: Faça i = i + 1. Passo 6: Se f (a) * f (p) < 0, então faça b = p; ( ). senão faça a = p. SAÍDA ( ( ). PARE., ma); Cálculo Numérico 56/60
57 Outros procedimentos de parada podem ser aplicados no Passo 4 do algoritmo ou em qualquer das técnicas iterativas que aprenderemos. Por eemplo, podemos selecionar uma precisão e > 0 e gerar 1, 2,..., n até que uma das condições a seguir seja satisfeita: n n 1 e n n 1 f n e n e Cálculo Numérico 57/60
58 CUIDADO!!!! Podem ocorrer sequências em que as diferenças n n1 convergem para zero, enquanto a própria sequência diverge. f Podem ocorrer de estar próimo de zero, mesmo quando n for significativamente diferente de. n Sem outras informações sobre f ou, o melhor critério é: n n 1 n e por ser o que mais se aproima da ideia de testar o. Cálculo Numérico 58/60
59 Método da Bissecção VANTAGENS: Facilidade de implementação; Estabilidade e convergência para a solução procurada; Desempenho regular e previsível. O número de iterações é dependente da tolerância considerada. Cálculo Numérico 59/60
60 Método da Bissecção DESVANTAGENS: Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f () em um elevado número de iterações); Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível); Compleidade da etensão do método para problemas multivariáveis. Cálculo Numérico 60/60
61 Eercício Seja f () = ; I = [0, 1]; e = k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) b - a ,5-1, ,5 3-1,375 0,25 0, ,5 2 0,25 0,5 0, ,375 0,375-0, , ,25 0,375 0, , ,3125 0, , ,3125 0,375 0, , , , , ,3125 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Cálculo Numérico 61/60
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