UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Departamento de Computação Cálculo Numérico - BCC760 Lista 3 - Raízes de Equações Não Lineares

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Departamento de Computação Cálculo Numérico - BCC760 Lista 3 - Raízes de Equações Não Lineares 1. Localize graficamente as raízes das equações a seguir: a) f(x) = x 2 + x 6 c) f(x) = e x x d) f(x) = x 2 ln(x) 2. Isolar pelo menos um zero das funções a seguir utilizando uma tabela de valores para f(x) b) f(x) = x 3 + x 10 d) f(x) = 2x 3 5x 2 x Isolar os zeros da função f(x) = xln(x) 3.2. Dica: Usar a tabela de valores para f(x) e analisar os sinais: x Calcular os limites e o número de raízes positivas e negativas dos polinômios abaixo: a) 2x 3 3x 2 6x + 5 = 0 b) 2x 3 5x 2 x + 3 = 0 5. Determinar um valor aproximado para 5, com precisão de 10 2 utilizando: a) Método da Bisseção b) Método da Falsa Posição c) Método de Newton-Raphson d) Método das Secantes d) Compare os resultados obtidos pelos métodos acima, analisando o número de iterações gastos e a aproximação da raiz encontrada em cada um deles. 6. Encontrar a maior raiz da função f(x) = x 2 + x 6 utilizando: a) Método da Bisseção b) Método da Falsa Posição c) Compare os resultados obtidos pelo Método da Bisseção e pelo Método da Falsa Posição, analisando o número de iterações gastos e a aproximação da raiz encontrada em cada um deles. 7. Calcular pelo menos uma raiz de cada equação abaixo com precisão de pelos métodos da bisseção e da secante e compare os resultados obtidos por cada método. 1

2 a) f(x) = 2x 3 5x 2 x + 3, b) f(x) = e x x (4x 7) 8. A função f(x) = se anula em x = 7/4. Calcule as iterações do método de (x 2) bisseção considerando o intervalo [ ]. Adote como critério de parada ɛ 0, 01 ou 4 iterações. 9. Há água escoando em um canal trapezoidal a uma vazão de Q = 20m 3 /s. A profundidade crítica y para tal canal deve satisfazer a equação: 0 = 1 Q B ga 3 c onde g = 9, 81m 2 /s, A c é a área da seção trasnversal (m 2 ) e B é a largura do canal na superfície (m). Para esse caso, a largura e a área trasnversal podem ser relacionadas à profundidade y por B = 3 + y e A c = 3y + y2 2 Sabendo que o gráfico da função f(y) que descreve a profundidade crítica é dado por: Encontre a profundidade crítica utilizando a) utilizando o método da bisseção, com aproximações iniciais [ ], ɛ = 0.01 ou até que o número de iterações ultrapasse 6. b) utilizando o método da Falsa Posição, com aproximações iniciais [ ], ɛ = 0.01 ou até que o número de iterações ultrapasse 6. c) Discuta os resultados obtidos. 10. Você comprou um veículo de R$35.000, 00 sem entrada e pagando R$8.500, 00 por ano, durante 7 anos. Use o método da bisseção para determinar a taxa de juros que você está pagando. Empregue aproximações iniciais para a taxa de juros de [0, 01 0, 3] e um critério de parada de 0, A fórmula que relaciona o valor atual P, os pagamentos anuais A, o número de anos n e a taxa de juros i é: A = P i(1 + i)n (1 + i) n A figura a seguir mostra uma viga uniforme sujeita a uma carga distribuída de forma linearmente crescente. A equação para a curva elástica resultante é: y = w 0 120E.I.L ( x5 + 2L 2 x 3 L 4 x) (1) 2

3 Use o método da bisseção para determinar o ponto de deflexão máxima (isto é, o valor de x onde dy/dx=0). A seguir, substitua esse valor na equação 1 para determinar o valor da deflexão máxima. Use os seguintes valores de parâmetros nos seus cálculos: L = 600cm, E = 50000KN/cm 2, I = 30000cm 4 e w 0 = 2, 5kN/cm 12. Em um processo químico o vapor de água (H 2 0) é aquecido a uma temperatura suficientemente alta para que uma parte significativa da água se dissocie, ou se quebre, para formar o oxigênio (O 2 ) e hidrogênio (H 2 ): H 2 0 H O 2 Se for assumido que essa é a única reação envolvida, a fração molar x de H 2 O que se dissocia pode ser representada por K = x 2pt 1 x 2 + x, onde K é a constante de equilíbrio da reação e p t é a pressão total da mistura. Se p t = 3atm e K = 0, 05 determine o valor de x, pelo método da bisseção, que satisfaz a equação acima. Utilize uma precisão de 0, 001 ou no máximo 5 iterações. 13. Você está projetando um tanque esférico, como mostra a figura abaixo, para armazenar água para uma pequena vila em um país em desenvolvimento. O volume de líquido que ele pode armazenar pode ser calculado por: V = π 3 h2 (3R h) onde V é o volume (m 3 ), h é a profundidade da água no tanque (m) e R é o raio do tanque (m). Se R = 3, até qual profundidade o tanque deve ser enchido para que armazene 30m 3? Use no máximo quatro iterações do método do Falsa Posição para determinar sua resposta e o intervalo [1 3]. 3

4 14. A distribuição de temperatura em cada ponto x de um pedaço de arame de 1, 80m é dada por: T (x) = 8, 12x , 88x 2 71, 99x + 40, 23 Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Posição com precisão 0, 001 e um máximo de 10 iterações. Utilize o método da Falsa Referências [1] F. F. Campos Filho Algoritmos Numéricos. LTC editora, Rio de Janeiro, 2 a edição, [2] S. C. Chapra Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB Para Engenheiro e Cientistas. Bookman editora, Porto Alegre, 3 a edição,

5 Respostas -Raízes de Equações Não Lineares 1. a)[ 3, 5 ; 2, 5] e [1, 5 ; 2, 5] b) [ 3 ; 2] c) não tem raiz real. 2. a)[1, 5 ; 2, 5] b) [ 1, 0], [0, 1] e [2, 3] 3. [2, 3] 4. a) L s = 4, n + = 2 ou 0 e L i = 2, 7320, n = 1 b) L s = 3, 5, n + = 2 ou 0 e L i = 2, 5, n = 1 5. raiz exata: x 2, raízes exatas ξ = 3 ou ξ = 2 7. a) Raízes: x 2, 4548 ou 0, 7594 ou 0, b) x 2, x = 1, ξ 1, x 0, x 2, x 0, x 2, x 1, 2186m 5