EXERCICIOS RESOLVIDOS - INT-POLIN - MMQ - INT-NUMERICA - EDO

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1 Cálculo Numérico EXERCICIOS EXTRAIDOS DE PROVAS ANTERIORES o sem/08 EXERCICIOS RESOLVIDOS - INT-POLIN - MMQ - INT-NUMERICA - EDO x. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f: i 0 f(x i ) a) Utilizando interpolação de a. ordem, forneça uma aproximação para f(.). SOLUÇÃO: Sejam x 0 0, x.0, x. O polinomio interpolador P (x) é dado por: f(.) P (.) l 0 (.) f(0) + l (.) f(x ) + l (.) f(x ) P (x) l 0 (x) f(x 0 ) + l 0 (x) f(x 0 ) + 0(x) f(x 0 ) (x ) (x ) l 0 (x) 0.5 (x ) (x ) (0 ) (0 ) l 0 (.) 0.5(. ). ) l (x) 0.5 (x 0) (x ) l (.) (.) ( 0.8) l (x) 0.5 (x 0) (x ) l (.) 0.5 (.) (0.) 0.00 f(.) P (.) (0.5) (0.8333) + 0. (0.6) b) Determine os parâmetros α 0 e α de modo que a função: g(x) α 0 x α x + x se ajuste aos valores tabelados segundo o critério dos mínimos quadrados (MMQ). SOLUÇÃO: temos que: g(x) α 0 g 0 (x) + α g (x), onde g 0 (x) x + 4, g (x) Pelo MMQ, α 0 e α são obtidos pela solução do sistema linear: x + x. [ (g0, g 0 ) (g, g 0 ) (g 0, g ) (g, g ) [ α0 α [ (f, g0 ) (f, g ), g , g , f Calculando os produtos escalares obtemos: (g 0, g 0 ) 0.44, (g, g 0 ) 0.0, [ (g, g ) (f, g 0 ) (f, g ) [ α0 α [ , α α 0.409

2 . Sabe-se que a função dada na tabela abaixo é do tipo f(x) + 0.5x. Determine os ln(a + bx ) valores de a e b pelo método dos mínimos quadrados. x i f(x i ) SOLUÇÃO: Queremos aproximar f(x) por g(x) + 0.5x que envolve os parâmetros a ln(a + bx ) e b de forma não-linear. Para aplicar o MMQ, precisamos aplicar uma transformação de forma a obter uma função G(x) que envolva os parâmetros linearmente. Assim, procedemos como segue: f(x) + 0.5x ln(a + bx ) f(x) + 0.5x ln(a + bx ) [ + 0.5x [ f(x) ln(a + bx ) e f(x) a + bx x Logo, os parâmetros a e b são calculados pelo MMQ de modo que a função G(x) a g 0 (x) + b g (x), g 0 (x), g (x) x aproxime a função F (x) e pelo MQ. Os valores de a e b são obtidos pela solução do sistema linear: [ [ [ (g0, g 0 ) (g, g 0 ) a (f, g0 ), g (g 0, g ) (g, g ) b (f, g ) 0, g , f 4 ( + 0.5x ) f(x) Calculando os produtos escalares obtemos: (g 0, g 0 ) 5, (g, g 0 ).8300, [ (g, g ) (f, g 0 ) (f, g ) [ a b [ , a b.606

3 3. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f x i f(x i ) Sabendo que f(x) é um polinômio de grau, utilize a formula do trapézio e calcule exatamente I(f).5 f(x)dx. Justifique a sua resposta. Sabendo que f(x) é um polinômio de grau, utilize a formula do trapézio e calcule exatamente I(f).5 f(x)dx. Justifique a sua resposta. SOLUÇÃO: Utilizando a fórmula dos Trapézios, podemos obter o valor da integral de duas maneiras considerando os seus respectivos erros. - Primeira: usando x 0.0 e x 4.5, com h 3.5, I(f).5 f(x)dx h [f(x 0) + f(x 4 ) h3 f (η) (I) - Segunda: usando os pontos, x 0.0, x 0.5 e x 4.5 (h x x 0.5 e h x 4 x.0). Note que, o espaçamento entre os pontos não são iguais. Então, vamos calcular a integral como soma de duas integrais da seguinte maneira, I(f).5 f(x)dx 0.5 f(x)dx f(x)dx [ h [ [f(x 0) + f(x ) h3 f h (η) + [f(x ) + f(x 4 ) h3 f (η) [h f(x 0 ) + (h + h ) f(x ) + h f(x 4 ) (h3 + h 3 ) f (η) (II) Note que é necessário obter a derivada de segunda ordem de f(x) P (x) Ax + Bx + C, ou seja, f (x) A, x [.5. Calculando I(f) por (I), e por (II), I(f) [ A A A, (III) I(f) [ (.5 +.0) ( ) [ A 6 A [ A A. (IV )

4 Resolvendo (III) e (IV ), A A A A Agora obtendo I(f)... e também, I(f) I(f) Observe que o termo do erro presente na aproximação pela fórmula dos Trapézios é dado em função do coeficiente A do polinômio de segundo grau. Logo, utilizando as duas maneiras de aproximar I(f) foi possível obter o valor de A e assim determinar o erro cometido por ambas as aproximações. Com isso, o valor exato da integral pode ser obtido.

5 4. Seja I(f) 0 cos(x)dx. Calcule N de modo que a fórmula do trapézio composta (IN T (f)) forneça uma aproximação com um erro E N T (f) < 0 3. Calcule IT N (f) com o N obtido e o respectivo erro. SOLUÇÃO: I(f) 0 cos(x)dx h [ f(x 0 ) + f(x N ) + N j f(x j ) (b a) h f (ξ) onde ξ [0,. Temos que f (x) cos(x). calculado considerando, O erro para a fórmula do trapézio composta pode ser então E N T (f) (b a) h max cos(ξ), ξ [0, Note que, cos(ξ), ξ [0, e h (b a). Logo, N [.0.0 < N N > N > 0 N > E N T (f).0.0 N < < N N > 0, Logo, N > ou seja N 0. Calcule IT N (f) com o N obtido e o respectivo erro. SOLUÇÃO: [ I(f) cos(x)dx h 9 f(x 0 ) + f(x 0 ) + f(x j ) 0 Temos, h ( 0) 0 0., então, x i f(x i ) x i f(x i ) I(f) 0. [ I(f) 0. j I(f) Estimando o erro... E T (f) (b a) h e 04.

6 x 5. Considere a função tabelada: j Sabendo que f(x) f(x j ) é um polinômio de grau, utilize a fórmula do Trapézio e calcule exatamente I(f) f(x)dx. Justifique a sua resposta SOLUCAO: A fórmula do Trapézio é dada por: I(f) b a (f(x)dx h [f(a) + f(b) h3 f ɛ Considerando [0.5,.5 e tendo em mente que f(x) é polinômio de grau, obtemos as equações: I(f).5 f(x)dx 0.5 [ { } (A) desde que f ɛ A I(f) A I(f).3 f(x)dx f(x)dx [ (A) [ (A) I(f) A I(f) A A I(f) A A.690, I(f) Considere a integral: I(f) 0 e x ( + x + 3x 5 0.5x 6 ) dx. a) SOLUÇÃO: A fórmula Gauss-Laguerre com N 3 é dada por: I Q (f) A 0 f(x 0 ) + A f(x ) + A f(x ) onde x 0, x, x são os zeros do polinômio de Laguerre de grau 3. Da tabela obtemos os valores dos zeros e dos coeficientes A 0, A, A, os quais são dados por: x , A f(x 0 ) + x 0 + 3x x x.948, A f(x ) + x + 3x 5 0.5x x , A f(x ) + x + 3x 5 0.5x I(f) A 0 f(x 0 ) + A f(x ) + A f(x ) I(f) b) Qual é o grau de precisão da fórmula utilizada no item a)? O resultado da aproximação obtida no item a) é exato? Justifique a sua resposta. SOLUÇÃO: O grau de precisão dessa formula é: r + 5. O resultado não é exato porque f(x) é um polinômio de grau N 6 > r.

7 7. Considere a igualdade: 0 x3 dx 0 p (x)dx onde p (x) é um polinômio de grau. a) Forneça condições suficientes sobre p (x) para que essa igualdade seja válida. SOLUÇAO: Conforme o Teorema de Quadratura de Gauss, para que essa igualdade seja válida, o polinômio p (x) precisa satisfazer os requisitos:. p (x) é o polinômio interpolador de f(x) em x 0 e x.. Os pontos de interpolação x 0 e x são os zeros do polinômio ortogonal φ (x) ; 3. φ (x) é calculado segundo o produto escalar: (f, g) 0 f(x)g(x)dx. b) Considere o produto escalar: (f, g) 0 f(x)g(x)dx e calcule o polinômio ortogonal φ (x) com relação a esse produto escalar (utilize as fórmulas do formulário) e obtenha o polinômio p (x) e calcule I(p ). SOLUÇAO: Utilizando as fórmulas para calcular polinômios ortogonais, obtemos: φ 0 (x) (x, ) ( φ (x) x (, ) x 0.5 (x, ) desde que (, ) x dx ) dx φ (x) x (x 0.5) α (x 0.5) β α (xφ, φ ) (φ, φ ) x(x 0 0.5) dx (x 0 0.5) dx /4 / 0.5 β (xφ, φ 0 ) (φ 0, φ 0 ) x(x 0.5) ()dx 0 (/) /. 0 ( )dx Logo, φ (x) x (x 0.5) 0.5 (x 0.5) / x x + /6 : RAIZES de φ (x) : x , x Logo, (x ) p (x) ( ) (x 0.348) (0.348)3 + ( ) ( )3. p (x) (x ) (0.348) (x 0.348) ( ) 3 E PORTANTO, I(p (x)) (x ) (0.348) (x 0.348) ( ) 3 dx /4.

8 { y 8. Considere o PVI: y x/y, 0 x 0.3, y(0), Faça h 0.5 e calcule y(0.3) pelo mét. de Euler modificado SOLUÇÃO: Como h 0.5 tem-se: x 0 0.0, x 0.5, x 0.3. O método de Euler modificado fornece as equações: y j+ y j + h [ f(x j, y j ) + f(x j+, y j+ ), onde y j+ y j + f(x j, y j ). Logo, temos: j 0 - Cálculo de y - x 0 0.0, y 0.0 *** f(x 0, y 0 ) y 0 x 0 /y (0.0)/(.0).0 *** y y f(x 0, y 0 ) *** f(x, y ) y x /y.5 (0.)/ *** y y [ [ f(x 0, y 0 ) + f(x, y ) ************************************************ j - Cálculo de y - x 0.5, y *** f(x, y ) y x /y (0.5)/( ) *** y y f(x, y ) *** f(x, y ) y x /y *** y y [ f(x, y ) + f(x, y ) [ ************************************************