C alculo Num erico Integra c ao Num erica Ana Paula Ana Paula C alculo Num erico

Transcrição

1 Integração Numérica

2 Sumário 1 Introdução 2 Fórmulas Fechadas de Newton-Cotes 3 Análise do Erro

3 Introdução Introdução

4 Introdução Introdução Serão estudados aqui métodos numéricos para calcular uma aproximação para a integral de uma função com uma variável real em um intervalo [a, b] O problema consiste em encontrar I = I(f) = b a f(x)dx onde f(x) é uma função contínua com derivadas contínuas em [a; b] Importante pois nem sempre é possível determinar a primitiva F (x), tal que, F (x) = f(x) a primitiva F (x) pode ser complexa em certos casos, apenas valores de f(x i ) são conhecidos

5 Introdução Introdução Serão estudados aqui métodos numéricos para calcular uma aproximação para a integral de uma função com uma variável real em um intervalo [a, b] O problema consiste em encontrar I = I(f) = b a f(x)dx onde f(x) é uma função contínua com derivadas contínuas em [a; b] Importante pois nem sempre é possível determinar a primitiva F (x), tal que, F (x) = f(x) a primitiva F (x) pode ser complexa em certos casos, apenas valores de f(x i ) são conhecidos

6 Introdução Introdução Serão estudados aqui métodos numéricos para calcular uma aproximação para a integral de uma função com uma variável real em um intervalo [a, b] O problema consiste em encontrar I = I(f) = b a f(x)dx onde f(x) é uma função contínua com derivadas contínuas em [a; b] Importante pois nem sempre é possível determinar a primitiva F (x), tal que, F (x) = f(x) a primitiva F (x) pode ser complexa em certos casos, apenas valores de f(x i ) são conhecidos

7 Introdução Alguns Exemplos de Aplicações

8 Introdução Introdução De forma geral, a integração numérica consiste em integrar o polinômio P n (x) que interpola os pontos onde,..., x n [a; b] Ou seja, (, f( )), (x 1, f(x 1 )),..., (x n, f(x n )) I = b a f(x)dx xn P n (x)dx

9 Introdução Introdução

10 Introdução Introdução

11 Fórmulas Fechadas de Newton-Cotes

12 Fórmulas Fechadas de Newton-Cotes Considera-se inicialmente as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechada, isto é, quando = a e x n = b Serão adotados aqui polinômios interpoladores P n (x) sobre nós igualmente espaçados no intervalo [a; b] Assim, ( ) b a x i = i + a; n i = 0, 1,..., n Além disso, h = b a n x i = + ih; i = 0, 1,..., n A Forma de Lagrange do polinômio interpolador será utilizada

13 Regra do Retângulo O polinômio mais simples é uma constante Na Regra do Retângulo, f(x) é aproximada pelo seu valor em = a (ou x n = b) b a f(x)dx b a P 0 (x)dx = b a f(a)dx b = f(a) dx a ( ) = f(a) x b a = f(a) (b a) = hf(a)

14 Regra do Retângulo I R = hf(a)

15 Regra do Ponto Médio Também pode-se aproximar f(x) por uma outra constante tomada ao avaliar f(x) em algum outro ponto do intervalo [a; b] Uma escolha comum é o ponto médio do intervalo b b ( ) a + b f(x)dx f dx a a 2 ( ) a + b b = f dx 2 a ( ) a + b ( ) = f x b a 2 ( ) a + b = f (b a) 2 ( ) a + b = hf 2

16 Regra do Ponto Médio ( ) a + b I M = hf 2

17 Regra do Trapézio Seja P 1 (x) o polinômio interpolador de f(x) que passa pelos pontos (, f( )) e (x 1, f(x 1 )), com = a e x 1 = b, então b a f(x)dx x1 P 1 (x)dx A Forma de Lagrange do Polinômio interpolador é dada por Assim, x1 P 1 (x) = f( )L 0 (x) + f(x 1 )L 1 (x) L 0 (x) = x x 1 x 1 e L 1 (x) = x x 1 P 1 (x)dx = x1 [f( )L 0 (x) + f(x 1 )L 1 (x)] dx

18 Regra do Trapézio Assim, x1 P 1 (x)dx = x1 = f( ) = f( ) [f( )L 0 (x) + f(x 1 )L 1 (x)] dx x1 L 0 (x)dx + f(x 1 ) x1 x1 x x 1 dx + f(x 1 ) x 1 x 0 x1 L 1 (x)dx x dx x 1 Sabendo que x 1 = + h e fazendo a troca de variável que segue x = + zh; z [0; 1] dx = hdz

19 Regra do Trapézio Então x1 P 1 (x)dx = f( ) = f( ) = f( ) x1 x x x1 1 x dx + f(x 1 ) dx x 1 x 1 1 = hf( ) zh h hdz + f(x 1 ) h (zh h)dz + f(x 1 ) (z 1)dz + hf(x 1 ) zhdz zdz ( ) z 2 1 ( ) z 2 1 = hf( ) 2 z + hf(x 1 ) ( ) ( ) = hf( ) hf(x 1 ) 2 = h 2 f() + h 2 f(x 1) = h 2 (f() + f(x 1 )) zh hdz h

20 Regra do Trapézio I T = h 2 (f() + f(x 1 ))

21 Exemplo Exemplo 1 Utilize a regra do trapézio para obter a integração da função f(x) = 0,2 + 25x 200x x 3 900x x 5, de a = 0 a b= 0,8.

22 Regra do Trapézio

23 Regra 1/3 de Simpson Aproximando f(x) por um polinômio interpolador P 2 (x), então b x2 f(x)dx P 2 (x)dx a A Forma de Lagrange do Polinômio interpolador é dada por P 2 (x) = f( )L 0 (x) + f(x 1 )L 1 (x) + f(x 2 )L 2 (x) L 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) ( x 1 )( x 2 ) L 1 (x) = (x )(x x 2 ) (x 1 )(x 1 x 2 ) L 2 (x) = (x )(x x 1 ) (x 2 )(x 2 x 1 )

24 Regra 1/3 de Simpson Assim, x2 P 2 (x)dx =f( ) f(x 1 ) f(x 2 ) x2 (x x 1 )(x x 2 ) ( x 1 )( x 2 ) dx+ x2 (x )(x x 2 ) (x 1 )(x 1 x 2 ) dx+ x2 Sabe-se que x 1 = + h e x 2 = + 2h (x )(x x 1 ) (x 2 )(x 2 x 1 ) Cada integral da soma é então determinada trocando x = + zh; z [0; 2] dx = hdz

25 Regra 1/3 de Simpson x2 (x x 1 )(x x 2 ) ( x 1 )( x 2 ) dx = = = h2 2h ( + zh h)( + zh 2h) hdz ( h)( 2h) (zh h)(zh 2h) dz 2h 0 2 (z 1)(z 2)dz = h (z 2 3z + 2)dz 2 0 = h ( ) z z z 0 = h ( ) (2) (2)2 + 2(2) 2 = h 6 ( ) = h 3

26 Regra 1/3 de Simpson x2 (x )(x x 2 ) (x 1 )(x 1 x 2 ) dx = = = h2 ( + zh )( + zh 2h) hdz (h)( h) (zh)(zh 2h) dz h 2 z(z 2)dz h 0 ( ) z 3 = h 3 2z ( ) (2) 3 = h 3 (2)2 = h 3 (8 12) = 4h 3

27 Regra 1/3 de Simpson x2 (x )(x x 1 ) (x 2 )(x 2 x 1 ) dx = = = h2 ( + zh )( + zh h) hdz (2h)(h) (zh)(zh h) dz 2h z(z 1)dz 2h 0 = h ( ) z z = h ( ) (2) (2)2 2 = h (16 12) 12 = h 3

28 Regra 1/3 de Simpson Sendo x2 Obtém-se então x2 P 2 (x)dx =f( ) f(x 1 ) f(x 2 ) x2 (x x 1 )(x x 2 ) ( x 1 )( x 2 ) dx+ x2 (x )(x x 2 ) (x 1 )(x 1 x 2 ) dx+ x2 (x )(x x 1 ) (x 2 )(x 2 x 1 ) P 2 (x)dx = f( ) h 3 + f(x 1) 4h 3 + f(x 2) h 3 = h 3 [f() + 4f(x 1 ) + f(x 2 )]

29 Regra 1/3 de Simpson I 1/3S = h 3 [f() + 4f(x 1 ) + f(x 2 )]

30 Exemplo Exemplo 2 Utilize a regra 1/3 de Simpson para obter a integração da função f(x) = 0,2 + 25x 200x x 3 900x x 5, de a = 0 a b= 0,8.

31 Regra 3/8 de Simpson Aproximando f(x) por um polinômio interpolador P 3 (x), então b x3 f(x)dx P 3 (x)dx a A Forma de Lagrange do Polinômio interpolador é dada por P 3 (x) = f( )L 0 (x) + f(x 1 )L 1 (x) + f(x 2 )L 2 (x) + f(x 3 )L 3 (x) L 0 (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) ( x 1 )( x 2 )( x 3 ) L 1 (x) = (x )(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) L 2 (x) = (x )(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) L 3 (x) = (x )(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 )

32 Regra 3/8 de Simpson Novamente, pode-se utilizar o polinômio interpolador na Forma de Lagrange A Regra 3/8 de Simpson é definida como I 3/8S = 3h 8 [f() + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )]

33 Fórmulas Fechadas de Newton-Cotes

34 Exemplo Exemplo 3 Utilize a regra 3/8 de Simpson para obter a integração da função f(x) = 0,2 + 25x 200x x 3 900x x 5, de a = 0 a b= 0,8.

35 Análise do Erro Análise do Erro

36 Análise do Erro Análise do Erro E = Em todos os casos apresentados, f(x) foi aproximada por um polinômio interpolador P n (x) no intervalo [a; b] As Fórmulas Fechadas de Newton-Cotes foram definidas como sendo a integral de P n (x) O erro na integração numérica é então definido como E = b a [f(x) P n (x)] dx Sabendo que o erro na interpolação é dado por f(x) P n (x) = (x )(x x 1 )... (x x n )f[, x 1,..., x n, x] então o erro na integração numérica fica como b a [f(x) P n (x)] dx = b a (x )(x x 1 )... (x x n )f[, x 1,..., x n, x]dx

37 Análise do Erro Fontes Curso de - UFJF Livro:Métodos Numéricos Aplicados com Matlab para Engenheiros e Cientistas - Steven C. Chapra