Trabalho 3 Matemática Numérica II

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1 Trabalho 3 Matemática Numérica II André dos Santos Ferreira Liliana Carolina Vieira Pinho Licenciatura em Matemática Ano Letivo 01/013

2 Exercício 1 Considere o integral I = 5 5 x 1 + x a) Determine aproximações do integral I usando as fórmulas de Newton-Cotes fechadas, I n para n = 1,, 3, 4, 5, 6. Comecemos por criar uma função no MatLab para calcular a função a integrar num determinado ponto, deste modo a função [funcao.m] em MatLab ficou do seguinte modo: function funcao = funcao(x) funcao = (x )/(1 + x ); De seguida pretemos calcular os valores ωi n para que se possam calcular para um qualquer n, começamos por incrementar uma função [funcao.m], tal que: function l = funcao(n, i, k) l = 1; for j = 0 : 1 : n if j = i l = l ((k j)/(i j)); Deste modo e integrando esta função obteriamos os ω i para um qualquer n. Para a integração criamos a função [coef.m] para determinar os coeficientes ω n i : function c = coef(n, i) syms k c = int(funcao(n, i, k), 0, n); Deste modo e após o calculo de todas estes passos podemos então calcular concretamente I n, para este calculo final criamos a função [In.m] do seguinte modo: function In = In(n, a, b) In = 0; h = (b a)/n; for i = 0 : 1 : n In = In + (funcao(a + i h) coef(n, i)); In = double(h In); 1

3 n ans A anterior tabela dá-nos os valores de In(n, 5, 5) para n = 1,, 3, 4, 5, 6, representando as aproximações do integral I usando as fórmmulas de Newton-Cotes fechadas. b) Faça comentários sobre o que acontece a I n quando vamos aumentando o n. To em conta que o valor do integral é 7.53, e olhando para os valores resultantes na alínea anterior podemos pensar que os valores vão aproximar-se do valor resultado, mas a verdade é que ao aumentarmos o n na função descrita anteriormente In os valores vão afastar-se do resultado pretido. Poddemos concluir que com o aumento do n o erro das fórmulas de Newton-Cotes fechadas é maior. O n que apresenta melhor aproximação é o n = 7 que apresenta um valor de c) Use a fórmula composta dos trapézio para obter, se possível, uma boa aproximação do integral I. Para implementar a fórmula dos trapázios composta criamos a função [TR.m] definida do seguinte modo: function T R = T R(m, a, b) T R = 1/ (funcao(a) + funcao(b)); h = (b a)/m; for i = 1 : 1 : m 1 T R = T R + funcao(a + h i); T R = h T R; Deste modo, quando chamamos no MatLab T R(m, 5, 5) variando o m o valor de i 1,m aproxima-se cada vez mais do valor do integral, de facto, a partir de m = 70 o valor que surge no ecrã quando fazemos T R(70, 5, 5) é 7.53 que surge como so o valor real do integral I. Podemos dizer que esta fórmula nos fornece uma muito boa aproximação para o integral. Exercício Considere os polinómios de Chebyshev que podem ser escritos na forma T N (x) = cos(narcocos(x)), N 0, definidos em [ 1, 1], e considere os pontos x k = cos(π k + 1 N + )

4 Determine: a) T i(x k )T j (x k ), quando i j T i(x k )T j (x k ) [cos(i.arccos(x k)) cos(j.arccos(x k ))] = [cos(i.arccos(cos(π ))) cos(j.arccos(cos(π )))] = N+ N+ [cos(i.π ) cos(j.π )] = N+ N+ 1 [cos(i.π j.π ) + cos(i.π + j.π )] = N+ N+ N+ N+ 1 [cos(π (i j)) + cos(π (i + j))] N+ N+ Não concluimos a alínea pois não conseguimos chegar a conclusão do valor do somatório, porém sabemos que o resultado seria 0 b) T i(x k )T j (x k ), quando i = j 0 Sabe-se que i = j o que resulta no prouduto de duas funções iguais ou seja T i (x k ). Vejamos: T i(x k )T j (x k ) [cos(i.arccos(x k)) cos(j.arccos(x k ))] = [cos(i.arccos(x k)) cos(i.arccos(x k ))] [cos (i.arccos(x k ))] = [cos (i.arccos(cos(π N+ )))] = [cos (i.π N+ )] = [ 1 + cos( jπ N+ )] = = N N cos(jπ ) = N+ = N N 4 ei(jπ N+1 ) i(jπ + e N+1 ) = = N N ijπk+ijπ 4 e( N+1 ) + e ( ijπk ijπ N+1 ) = = N ijπ [e N+1 N ijπ 4 (e N+1 ) k + e ijπ N+1 N ijπ (e N+1 )k ] = = N ijπ ijπ [e N+1 e( N+1 ) + e ijπ 4 e ijπ = N ijπ [e 4 N+1 0 e ijπ = N N+1 [0 + 0] = 4 N+1 e ijπ 1 e ijπ + e ijπ N+1 0 e ijπ = ] = 3

5 c) T i(x k )T j (x k ), quando i = j = 0 Temos agora que i = j = 0, substituindo i, j na equação inicial temos: T i(x k )T j (x k ) [cos(i.arccos(x k)) cos(j.arccos(x k ))] = [cos(0.arccos(x k)) cos(0.arccos(x k ))] [cos(0) cos(0)] = [1 1] K=0 1 = N + 1 Exercício 3 Usando os resultados anteriores prove que: Uma função f(x) no intervalo [ 1, 1] pode ser aproximada por um polinómio interpolador P N (x) de grau inferior ou igual a N, que interpola os pontos x k definidos acima, e é representado por P N (x) = Onde os coeficientes c j são dados por: N c j T j (x) j=0 c 0 = 1 N N+1 f(x k) c j = N N+1 f(x k)cos(jπ ), j = 1,, 3,, N N+ Se P N (x) j=0 c jt j (x) então temos que P N (x k ) j=0 c jt j (x k ), partindo do principio de que é um polinómio interpolador então f(x k ) j=0 c jt j (x k ), vamos então desenvolver esta equação. f(x k ) j=0 c jt j (x k ) T i (x k )f(x k ) = T i (x k ) j=0 c jt j (x k ) [T i(x k )f(x k )] [T i(x k ) j=0 c jt j (x k )] [T i(x k )f(x k )] j=0 [c j [T i(x k )T j (x k )]] Se i j então [T i(x k )T j (x k )] = 0, já se i = j = 0 temos que [T 0(x k )T 0 (x k )] = N + 1, por último se i = j 0 então [T i(x k )T j (x k )] = N+1 Resumidamente temos que: [T i(x k )f(x k )] = 0 i j [T i(x k )f(x k )] = c i ( N+1) i = j 0 [T i(x k )f(x k )] = c 0 (N + 1) i = j = 0. 4