Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo específico Integração Numérica

3 Conteúdo temático Conceitos básicos Interpretação geométrica da integral definida Definição de Riemann para a integral Regra dos Retângulos Regra dos Trapézios

4 Integração numérica Aqui veremos alguns métodos para calcular a integral definida, ou seja, b f ( x)dx a

5 Integração numérica Aqui veremos alguns métodos para calcular a integral definida, ou seja, b f ( x)dx a mas porque e em que situações faríamos isto?

6 Integração numérica i) Quando o integrando não tem primitiva elementar como em b b e x dx ; x tan x dx a ou nas funções x a sen t z x Si ( x) dt ; Γ( z ) x e dx t 0 0

7 Integração numérica ii) Quando o integrando for muito complicado b x x 3 sen x e cos x e +ch x sh x sen x ch x+ x e x sh x cos x dx a

8 Integração numérica iii) Quando a função for dada por pontos x f(x) 0,358, ,4567 3, ,5678 5, ,00 5,45 0,73 4,368 0,3897 3,

9 Integração numérica Aviso Na maioria dos casos não é uma boa ideia interpolar pontos e depois integrar o polinômio interpolador

10 Integração numérica Aviso Na maioria dos casos não é uma boa ideia interpolar pontos e depois integrar o polinômio interpolador Lembrem-se das questões que discutimos em interpolação

11 Interpretação geométrica Para facilitar o entendimento tenhamos em mente a interpretação geométrica da integral, ou seja, b I f ( x)dx é equivalente a a

12 Teorema do valr médio para integrais Temos ainda o Teorema do Valor Médio para Integrais que garante que sendo f(x) integrável no intervalo [a,b] então existe pelo menos um ponto c dentro deste intervalo tal que b I f ( x)dx( b a ) f (c) a ou seja, se soubermos qual é este ponto c então a integral é igual à área do retângulo de base b-a e altura f(c)

13 Teorema do valr médio para integrais Geometricamente é algo assim b I f ( x)dx( b a ) f (c) a no exemplo temos três pontos que satisfazem o teorema

14 Teorema do valr médio para integrais Como você deve estar suspeitando, encontrar este ponto c não é nada fácil.

15 Integral de Riemann Temos também a definição da Integral de Riemann b I f (x)dx lim h f (a+i h) a h 0 i é equivalente a onde h é a base de cada retângulo

16 Integração numérica Claro que esta definição não é útil numericamente com estes limites de h tendendo a zero e o número de retângulos tendendo ao infinito. Mas a definição da integral de Riemann nos sugere coisas interessantes...

17 Integração numérica Fatiarmos o intervalo em subintervalos

18 Integração numérica Fatiarmos o intervalo em subintervalos Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples

19 Integração numérica Fatiarmos o intervalo em subintervalos Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples Somamos as áreas obtidas

20 Integração numérica Fatiarmos o intervalo em subintervalos Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples Somamos as áreas obtidas Chamaremos a fórmula obtida desta forma de Regra Composta pois será feita pela composição das áreas de cada subintervalo

21 Integração numérica Trabalharemos inicialmente sobre a regra de integração em cada subintervalo inicialmente inspirada na definição da integral de Riemann

22 Integração numérica Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração

23 Integração numérica Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração Isto simplifica os algoritmos mas é bom observar que é uma limitação artificial que impomos

24 Retângulos Método dos Retângulos Vamos calcular uma aproximação da integral usando um retângulo

25 Retângulos Cometeremos uma arbitrariedade: calcularemos a altura dos retângulos usando o ponto mais a esquerda do subintervalo.

26 Retângulos Cometeremos uma arbitrariedade: calcularemos a altura dos retângulos usando o ponto mais a esquerda do subintervalo. Tecnicamente falando, poderíamos usar qualquer ponto do subintervalo para este cálculo

27 Retângulos A área aproximada é R (b a) f (a) Observe que a precisão visualmente é bem ruim mas facilitará pensarmos mais além

28 Retângulos Agora usemos dois retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração

29 Retângulos A área aproximada é R ou [ b a b a b a f (a)+ f a+ ( b a b a R f (a)+f a+ ( )] A precisão continua não sendo boa visualmente )

30 Retângulos Agora usemos três retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração

31 Retângulos A área aproximada é R 3 b a f (a)+ b a f a+ b a + b a f a+ b a 3 3 ( 3 ) 3 ( 3 ) ou [ b a b a b a R3 f (a)+ f a+ + f a ( ) ( )] As coisas estão visualmente melhorando embora lentamente

32 Integração numérica Façamos uma releitura do que fizemos: Integramos cada subintervalo como se a função fosse constante, ou seja, um polinômio de grau 0 Somamos as áreas de cada subintervalo para obtermos uma aproximação da integral original

33 Retângulos Continuando este processo obteríamos para n retângulos n R nhn [ f (a)+ f ( a+hn ) + f ( a+ hn ) + + f ( a+(n ) hn ) ] h n f (a+i hn ); hn i0 uma versão finita da fórmula de Riemann. b a n

34 Integração numérica Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio

35 Integração numérica Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio Torna-se natural pensarmos em criar um método similar ao dos retângulos mas usando polinômios de grau mais alto

36 Trapézios Método dos Trapézios Vamos calcular uma aproximação da integral usando um polinômio de primeiro grau que interpola f(x) dentro do intervalo [a, b]. Tecnicamente falando, não é claro quais dos pontos do intervalo deveremos usar Arbitrariamente usaremos os extremos do intervalo de integração

37 Trapézios Método dos Trapézios Vamos calcular uma aproximação da integral usando um polinômio de primeiro grau que interpola f(x) dentro do intervalo [a, b] usando os pontos extremos do intervalo

38 Trapézios Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral. Mas aqui temos uma facilidade.

39 Trapézios Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral. Mas aqui temos uma facilidade. Observe que a área que queremos calcular é a área de um trapézio. Assim teremos f (a)+f (b) b a T (b a) [f (a)+ f (b)]

40 Trapézios Agora vamos calcular uma aproximação da integral com dois trapézios, ou seja, dois subintervalos

41 Trapézios Somemos as áreas f (a)+ f (a+(b a)/) b a f (a+(b a)/)+f (b) b a T +

42 Trapézios Somemos as áreas f (a)+ f (a+(b a)/) b a f (a+(b a)/)+f (b) b a T + ou b a b a T f (a)+ f (b)+ f a+ [ ( )]

43 Trapézios Para simplificar escreveremos h b a T [ f (a)+f (b)+ f ( a+h ) ] ; h

44 Trapézios Continuemos o procedimento agora com três subintervalo

45 Trapézios Teremos aqui para a soma das áreas f (a)+ f (a+h3 ) f (a+h3 )+ f (a+ h3 ) f (a+ h3 )+ f (b) b a T 3 h3 + h3 + h3 ; h3 3

46 Trapézios Teremos aqui para a soma das áreas f (a)+ f (a+h3 ) f (a+h3 )+ f (a+ h3 ) f (a+ h3 )+ f (b) b a T 3 h3 + h3 + h3 ; h3 3 ou h3 T 3 [ f (a)+ f (b)+ f ( a+h 3 ) + f ( a+ h3 ) ]

47 Trapézios Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos [ ] n hn b a T n f (a)+f (b)+ f ( a+i h n ) ; h n n i

48 Trapézios Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos [ ] n hn b a T n f (a)+f (b)+ f ( a+i h n ) ; h n n i Vamos a um exercício

49 Integração numérica Um exemplo Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando,, 3 e 4 retângulos e também,, 3 e 4 trapézios dx x

50 Integração numérica Um exemplo Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando,, 3 e 4 retângulos e também,, 3 e 4 trapézios dx x Aqui a, b e f ( x) x

51 Integração numérica Um exemplo n Façamos por retângulos R nhn f (a+i h n ); hn i0 Um retângulo R h f (a); h b a R f () b a ; f ( x) n x

52 Integração numérica Um exemplo n Façamos por retângulos R nhn f (a+i h n ); hn i0 Dois retângulos b a ; f ( x) n x b a R h [ f (a)+f (a+h ) ] ; h R [ ] [ ] [ ] 5 f ()+ f (+ ) + + 0,833 3/ 3 6

53 Integração numérica Um exemplo n Façamos por retângulos R nhn f (a+i h n ); hn i0 Três retângulos R3 h3 [ f (a)+ f (a+h 3 )+f (a+h 3 ) ] ; h 3 R3 [ ] [ b a ; f ( x) n x b a ] [ ] f ()+ f (+ )+ f (+ ) , / 3 5/

54 Integração numérica Um exemplo n Façamos por retângulos R nhn f (a+i h n ); hn i0 Quatro retângulos b a ; f ( x) n x R 4 h 4 [ f (a)+ f (a+h 4 )+f (a+h 4 )+ f (a+3 h 4 ) ] ; h 4 R 4 [ ] [ ] [ b a ] f ()+f (+ )+ f (+ )+f (+ ) , /4 6/ 4 7/

55 Integração numérica Um exemplo Observemos os valores obtidos R ; R 0,8 33 ; R 3 0,78 33 ; R 4 0,75953

56 Integração numérica Um exemplo Observemos os valores obtidos R ; R 0,8 33 ; R 3 0,78 33 ; R 4 0,75953 Há uma evolução nos valores mas é lenta e ainda não temos uma ideia boa do valor da integral Partamos para o método dos Trapézios

57 Integração numérica Um exemplo [ ] n hn b a T f (a)+ f (b)+ f a+i h ; h ; f ( x ) Trapézios n ( n) n n x i Um trapézio h b a T [ f (a)+ f (b) ] ; h

58 Integração numérica Um exemplo [ ] n hn b a T f (a)+ f (b)+ f a+i h ; h ; f ( x ) Trapézios n ( n) n n x i Um trapézio h b a T [ f (a)+ f (b) ] ; h 3 T [ f ()+ f () ] + 0,75 4 ( )

59 Integração numérica Um exemplo [ ] n hn b a T f (a)+ f (b)+ f a+i h ; h ; f ( x ) Trapézios n ( n) n n x i Dois trapézios h b a T [ f (a)+f (b)+ f (a+h ) ] ; h

60 Integração numérica Um exemplo [ ] n hn b a T f (a)+ f (b)+ f a+i h ; h ; f ( x ) Trapézios n ( n) n n x i Dois trapézios h b a T [ f (a)+f (b)+ f (a+h ) ] ; h T 4 7 f ()+f ()+ f (+/) , [ ] 4 3/ ( ) ( )

61 Integração numérica Um exemplo [ ] n hn b a T f (a)+ f (b)+ f a+i h ; h ; f ( x ) Trapézios n ( n) n n x i Três trapézios h3 b a T 3 [ f (a)+ f (b)+ f (a+h 3 )+ f (a+ h3 ) ] ; h

62 Integração numérica Um exemplo [ ] n hn b a T f (a)+ f (b)+ f a+i h ; h ; f ( x ) Trapézios n ( n) n n x i Três trapézios h3 b a T 3 [ f (a)+ f (b)+ f (a+h 3 )+ f (a+ h3 ) ] ; h T ,7 [ f ()+ f ()+ f (+/3)+ f (+/3)] 3 4 4/3 5/ ( ) ( )

63 Integração numérica Um exemplo [ ] n hn b a T f (a)+ f (b)+ f a+i h ; h ; f ( x ) Trapézios n ( n) n n x i Quatro trapézios h4 b a T 4 [ f (a)+ f (b)+ f (a+h4 )+ f (a+ h4 )+ f (a+3 h4 ) ] ; h

64 Integração numérica Um exemplo [ ] n hn b a T f (a)+ f (b)+ f a+i h ; h ; f ( x ) Trapézios n ( n) n n x i Quatro trapézios h4 b a T 4 [ f (a)+ f (b)+ f (a+h4 )+ f (a+ h4 )+ f (a+3 h4 ) ] ; h T 4 [ f ()+f ()+ f (+/ 4)+ f (+/4)+ f (+3/ 4) ] 4

65 Integração numérica Um exemplo [ ] n hn b a T f (a)+ f (b)+ f a+i h ; h ; f ( x ) Trapézios n ( n) n n x i Quatro trapézios h4 b a T 4 [ f (a)+ f (b)+ f (a+h4 )+ f (a+ h4 )+ f (a+3 h4 ) ] ; h T 4 T 4 [ f ()+f ()+ f (+/ 4)+ f (+/4)+ f (+3/ 4) ] , / 4 6/ 4 7/ ( ) ( )

66 Integração numérica Um exemplo Observemos os valores obtidos T 0,75 ;T 0, ; T 3 0,7 ; T 4 0,69703 Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor da integral é

67 Integração numérica Um exemplo Observemos os valores obtidos T 0,75 ;T 0, ; T 3 0,7 ; T 4 0,69703 Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor da integral é dx x ln() 0,69347

68 Integração numérica Um exemplo dxx ln () 0,69347 Comparemos os resultados R ; R 0,8 33 ; R 3 0,78 33 ; R 4 0,75953 T 0,75 ;T 0, ; T 3 0,7 ; T 4 0,69703 Indiscutivelmente o resultado do Método dos Trapézios é bem melhor com um esforço computacional quase idêntico ao Método dos Retângulos

69 Integração numérica Avaliando os resultados Avaliando os resultados Em tese fazemos integração numérica por ser difícil ou impossível calcular a integral analiticamente. Então, como avaliar os resultados obtidos?

70 Integração numérica Avaliando os resultados Neste curso usaremos a seguinte regra: Calcule a integral para número de intervalos diferentes e crescentes A cada dois valores estime a mudança usando E i E j Ei onde E i e E j são as estimativas calculadas. Exemplifiquemos como os valores obtidos anteriormente

71 Integração numérica Um exemplo Obtivemos os valores T 0,75 ;T 0,70833 Assim temos uma avaliação da evolução do valor como T T 0, ,75 0,0 55 0,75 T Calculado T 3 0,7 temos a estimativa T 3 T 0,7 0, ,0764 0, T Temos um testemunho da evolução da precisão

72 Integração numérica Um exemplo Como o cálculo de T 4 0,69703 obtemos outra avaliação T 4 T 3 0, ,7 0,0045 0,7 T 3 Veremos da aplicação deste critério em outros métodos que seguirão

73 Trapézios não regular Regra dos Trapézios não Regular Não somos obrigados a criar um método de integração apenas para subintervalos regulares. Veja a figura

74 Trapézios não regular...o que é equivalente a termos uma tabela com os valores xi

75 Trapézios não regular Vamos somar a área de cada trapézio f (a)+ f (x ) f (x )+ f ( x ) f ( x )+ f (x 3 ) f (x n )+ f (b) I h +h +h3 +h n hi x i+ x i ou h h +h h +h 3 h n +h n hn I f (a)+ f ( x )+ f ( x ) + f ( x n )+ f (b)

76 Trapézios não regular O que nos deixa com I h f (a)+(h +h )f (x )+(h +h3 ) f (x ) +(hn +hn )f ( x n )+h n f (b) ] [ hi xi+ x i

77 Trapézios não regular O que nos deixa com I h f (a)+(h +h )f (x )+(h +h3 ) f (x ) +(hn +hn )f ( x n )+h n f (b) ] [ hi xi+ x i Tal fórmula pode ser útil não só quando temos a função explicitamente como também quando temos a função dada por pontos