Integrais. Parte I I. Integrais Indefinidos [ELL] Definição

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1 Parte I I. Indefinidos [ELL] A taxa de crescimento da população Estafilococos é dada por 21, em milhares de indivíduos por minuto, onde representa o tempo, em minutos. Qual a função que devolve o número de bactérias, passados minutos? Sabemos que a taxa de variação de uma função é a função derivada dessa mesma função. Neste caso, temos a função e queremos determinar a função cuja derivada é, ou seja, precisamos encontrar a função tal que, por outras palavras, precisamos determinar uma primitiva de. Definição Uma função é uma primitiva ou antiderivada de num intervalo se, para todo o pertencente ao intervalo. Retomando o exemplo, queremos determinar a função que derivada resulta em 21. A derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas, logo, temos que determinar que função tem como derivada 2 e que função tem como derivada 1. É fácil ver que Então, a derivada da função é a função 21, ou seja, é uma primitiva de. Considere a função 2. Como, também é uma primitiva de. Verifica se que qualquer função da forma, onde é uma constante arbitrária, terá 21 como sua derivada, ou seja, a função admite uma infinidade de primitivas, todas da forma,. A primitiva de uma função não é única. De facto, se é uma primitiva de, então, com, também o é. Página 1 de 28

2 y x y = (4/3)x^3+x y = (4/3)x^3+x+1 y = (4/3)x^3+x-3 Isto significa que quando calculamos as primitivas de uma função obtemos uma família de funções, cujos elementos diferem entre si de uma constante. Geometricamente, diferem entre si apenas de uma translação vertical. O processo de encontrar a família de primitivas é denominado integração. Definição O integral indefinido de num intervalo é dado por O símbolo é o sinal de integral; é a função integranda; indica a variável em relação à qual estamos a integrar; é a constante de integração. em que é uma primitiva de para todo o pertencente ao intervalo e. Relativamente ao exemplo concluímos então que a família de funções, devolve o número de bactérias passados minutos. De entre a família de funções, escolha aquela em que, passado 1 minuto, o número de Estafilococos é de. Temos então que Assim, a função que devolve o número de indivíduos da população, em milhares, decorridos minutos, sabendo que quando passa 1 minuto o número de Estafilococos é de é a função 10. Em suma, se conhecermos o número de Estafilococos num dado momento, obtemos uma única função primitiva. Página 2 de 28

3 Sejam e duas funções integráveis e uma constante real, verificam se as seguintes igualdades:, Propriedade A Propriedade B II. Definidos [ELL] Uma das muitas aplicações do cálculo integral é a do cálculo de áreas de regiões planas. Consideremos as seguintes regiões sombreadas. A região colorida é limitada inferiormente pela recta 0, superiormente pelo gráfico da função 3 e lateralmente pelas rectas 1 e 4. Facilmente se calcula esta área (por ser área de um rectângulo): â é A região colorida é limitada inferiormente pela recta 0, superiormente pelo gráfico da função e lateralmente pelas rectas 1 e 3. Facilmente se calcula esta área (a área de um trapézio): Página 3 de 28

4 Estas duas áreas foram calculadas de forma rápida, por serem áreas de polígonos bem conhecidos. No entanto, se tal não acontecer este cálculo complica se, como no exemplo a seguir. A região colorida é limitada inferiormente pela recta 0, superiormente pelo gráfico da função 5 62 (positiva em 1,3), e lateralmente pelas rectas 1 e 3. A Podemos calcular uma aproximação para esta área (S) dividindo o intervalo 1,3 em (na figura seguinte 6) subintervalos mais pequenos e calculando a soma das áreas dos rectângulos. Estes rectângulos têm de base, 0, 1,, 1 (1 e 3 ), e de altura, em que é o valor médio do intervalo,.(note que 0.) Somando a área de todos estes rectângulos, obtemos a aproximação para a área pretendida:. Esta soma designa se Soma de Riemann, em homenagem ao matemático Bernard Riemann. Página 4 de 28

5 Quanto maior, ou seja, quanto maior o número de subintervalos considerados, mais próxima a soma referida está do efectivo valor da área (menor é o erro cometido). Assim, lim. Definição Seja uma função real de variável real, limitada num intervalo,. O integral definido de entre e é o número denotado por lim. em que, é subdividido em intervalos,, 0,1,, 1 com e e é o valor médio de,. Caso este limite exista, dizemos que é integrável em,. Uma função contínua em, é integrável em,. Não é viável calcular o integral definido por definição, assim, calculamo lo por aplicação do 1º Teorema Fundamental do Cálculo. Página 5 de 28

6 1º Teorema Fundamental do Cálculo Se é uma função real de variável real, contínua no intervalo, e é uma primitiva de em,, então Posteriormente vamos calcular a área da região. As propriedades dos integrais indefinidos também se aplicam aos integrais definidos.. Temos então uma relação directa entre integral definido e integral indefinido, ou seja, 0 Sejam e duas funções integráveis num intervalo, de,, e uma constante real, verificam se as seguintes igualdades: 0 0,, Exercícios: 1. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Se for falsa, explique porquê ou dê um exemplo mostrando que é falsa. a. Qualquer primitiva de uma função polinomial de grau n é uma função polinomial de grau 1. Página 6 de 28

7 b. Se e são primitivas de, então. c. Se, então. d. Para qualquer função, tem uma única primitiva. e. O valor de, caso exista, é sempre positivo. f.. 2. Dado que 10 e 2, calcule: a. ; b.. O integral definido no cálculo de áreas Considere a função representada abaixo. Como é contínua em [1,2] o integral sombreado? Porquê? existe. Este integral permitee calcular a área a Página 7 de 28

8 Atenção O integral definido é a área da região plana limitada pelas rectas,, 0 e pelo gráfico da função, desde que 0,,. A região sombreada é limitada inferiormente pela recta 0, superiormente pelo gráfico da função 3 (positiva em 1, 2) e lateralmente pelas rectas 1 e 2. Esta área é o número 3. Comecemos por calcular o domínio de., logo a função é continua em todo o seu domínio, em particular é contínua em 1,2. assim, Calculemos uma primitiva de 3. É fácil vermos que 3, é uma primitiva de. Então, Portanto, a área da região sombreada é 7. E se a função que limita a região sombreada for negativaa no intervalo,, como podemos calcular a área? Consideremos a região limitada por, 0, 1 e 2, sendo uma função contínua e negativa em 1,2. Página 8 de 28

9 Sendo esta região limitada por uma função negativa, não podemos calcular a área da região da mesma forma que fizemos no caso anterior, uma vez que calculando obteríamos um valor negativo. No entanto, comparando a área da região com a área da região (limitada por 0, e pelas rectas 1 e 2), facilmente concluímos que as duas regiões têm a mesma área, ou seja,. Mas uma vez que, 1,2, podemos definir a área à custa da função, ou seja,. Atenção No caso geral, se é uma região plana limitada pelas rectas,, 0 e pelo gráfico de, com 0,,, a sua área é dada por. Considere a seguinte região sombreada: Como podemos calcular a sua área Página 9 de 28

10 Neste caso, dividimos o intervalo, em, e,, onde é o zero de em,. No intervalo, a função é sempree positiva e no intervalo, a função é sempre negativa. Logo a área da região é dada por: No exemplo seguinte a região sombreadaa pode ser dividida em outras duas regiões, uma vez que a função é positiva em, e a função é negativa em,. Deste modo,. e Logo, a área é dada por: Efectuando uma translação das funções e, isto é, somando uma constante positiva às duas funções de modo que 0,, e k constante, temos funções positivas e contínuas no intervalo,.. Para calcular esta área vamos considerar duas regiões. C Página 10 de 28

11 A região limitada pelas rectas,, 0 e pelo gráfico de, com 0,, :. A região limitada pelas rectas,, 0 e pelo gráfico de, com 0,, :. Então ou seja,,. Nota Em geral, para quaisquer funções e tais que,,, a área de uma região que é limitada superiormente pela curva, inferiormente pela curva e lateralmente pelas rectas é dada por:. Propriedade: Sejam e funções integráveis em, : Se para todo,, então Página 11 de 28

12 III. Regras de integração Neste capítulo, sempre que nada for referido, tomamos,, e funções reais de variável real, contínuas nos intervalos considerados,, e \1, 0. Tal como as derivadas, as primitivas também se obtêm a partir de regras (contrárias às regras de derivação). Por exemplo: 1. Como 0 temos, 0 Se a derivada de uma constante é zero, o integral de zero é uma constante Determinemos o integral definido 0. A função integrante é a função 0, que é contínua no intervalo,. Paraa calcular o integral 0, vamos primeiramente calcular o integral indefinido 0. 0 Logo, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo Como ( temos, Exemplos: ln 2 ln Se a derivada do produto de uma constante pela variável x é a constante k, o integral de uma constante é igual ao produto da constante pela variável x. Página 12 de 28

13 1.1 Regra da potência Determinemos o integral definido. A função integrante é a função, que é contínua em qualquer intervalo 1,3. Anteriormente calculamos esta área utilizando a fórmula da área de um trapézio. O integral definido dá nos a área da figura à esquerda. Para resolver um integral definido: Calcular o integral indefinido; Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Calculemos o integral indefinido. Como ( 2 temos, Logo 1, Página 13 de 28

14 Anteriormente apresentamos a região que, por não ser um polígono não calculamos a sua área. No entanto, aplicando as regras de integração e o 1º Teorema Fundamental do Cálculo, este cálculo já se torna possível. Exemplos 1. Determine o integral A função é contínua no intervalo 0,1, pois o. Para calcular este integral, primeiro vamos calcular o integral indefinido Agora em vez de, temos o integral de uma função 3 2 elevada ao quadrado. Nestes casos, Calcular o integral indefinido, 1. Como ( temos, 1 Notamos que a função a integrar é o produto de uma potência pela derivada da sua base. Consideremos Temos então que: Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo Página 14 de 28

15 Calcule a área. A região colorida é limitada inferiormente pela recta 0, superiormente pelo gráfico da função 5 62 (positiva em 1,3), e lateralmente pelas rectas 1 e 3. A Calculemos o integral indefinido: Assim, , Encontre a função de consumo nacional se a propensão marginal ao consumo for dada por: Procurar a função de consumo nacional é determinar. Importante: Recorde que podemos transformar o radical numa potência de expoente fraccionário. Página 15 de 28

16 31 5 Consideremos: Então Propriedade B Propriedade B Assim a função de consumo nacional é dada por 1 5, para alguma constante. Temos casos em que a primitiva se calcula directamente por aplicação das regras (integrais imediatos), ou após algumas manipulações algébricas simples, que chamamos integrais quase imediatos. Em situações mais complexas teremos de recorrer a certas técnicas de integração (Guião Parte II). Até agora: Derivada Integral 0, 1, 1 Relembre que é uma função de. Página 16 de 28

17 Exercícios: 1. Calcule, justificando todos os passos: a. 9 3 ; b. 2 2 ; c Calcule a área das regiões a sombreado. 3. Represente a região limitada pelas rectas 1,4,0 e pelo gráfico 4. Calcule a área da região representada, recorrendo aos integrais definidos. 4. Determine, sabendo que 22 e que O custo marginal de fabrico de unidades de um produto tem como modelo 320,4. A produção de uma unidade custa 50 euros. Calcule o custo total de produção de 200 unidades. 6. Suponha que o investimento líquido é 100, ou seja, o fluxo de investimento é constante ao longo do tempo e que inicialmente o stock de capital é a. Tendo em conta que da derivada do stock de capital se obtém o investimento, isto é,, determine. b. Determine a variação de capital em stock entre 1 e 2. Página 17 de 28

18 1.2 que resultam em funções Exponenciais e Logarítmicas Calculemos o integral indefinido. Como (ln u, temos: Exemplo Determine. A função é contín ua no intervalo 0,1, pois. 2 1 ln 1 ln 1 1 ln 0 1 ln 2 ln 1 ln2 Cálculo Auxiliar: Calculemos primeiro o integral ndefinido 2 1. Regra a utilizar: Sendo 1 12, vemos que o numerador é a derivada do denominador, e assim: 2 ln 1 1 Página 18 de 28

19 Calculemos o integral indefinido. Como ( temos, Exemplos 1. Calcule 2. Regra a utilizar: 2, assim, Suponha que a taxa de variação do valor de uma casa que custa euros possa ser modelada por 7,7,, onde é o valor de mercado da casa, em milhares de euros e é o tempo, em anos, desde que esse imóvel foi comprado Encontre a função que expressa o valor de em termos de. Regra a utilizar: Se 0,077 então 0,077. Temos, Propriedade B 7,7, , 100 0,077, 100,. Página 19 de 28

20 Sabemos que 100 quando 0, logo Assim, a função que expressa o valor de mercado da casa,, em termos de é 100, Indique a valorização da casa nos primeiros 10 anos. 7,7, 100, 100, 100, Ao fim de 10 anos a casaa custa euros. Logo a sua valorização foi de euros. Derivada Integral 1.3 envolvendo funções trignomé étricas directas e inversas Calculemos o integral indefinido. Como, temos: Página 20 de 28

21 Exemplos: 1. Calcule. Regra a utilizar: Tomando, temos 3 dx 3 c. Propriedade B 2. Calcule. A função é contínua no intervalo 0,1, pois. Para calcular este integral indefinido, temos que começar por determinar, o que já foi feito anteriormente, logo Calculemos o integral indefinido. Como, temos: Página 21 de 28

22 Exemplo: 1. Calcule. O dominio de é. Cálculo Auxiliar: Calculemos primeiro o integral indefinido Regra a utilizar: 2 Tomando 2, temos Recorde algumas relações trigonométricas: cos Calcule. Se então 21 Temos Utilizando as diversas fórmulas trigonométricas é possível transformar a expressão analítica, o que por vezes, leva a um processo de integração mais fácil. Página 22 de 28

23 3. O dominio de é. Cálculo Auxiliar: Calculemos primeiro o integral indefinido 4 4 1cos Nem sempre é fácil ver qual a forma de integrar uma função, tornando se necessário fazer uma análise da expressão integranda. Calculemos. Verificamos que a expressão integranda é uma função racional. Antes de tentar qualquer analogia às derivadas de funções trigonométricas inversas (expressões racionais), devemos verificar primeiro se não se aplica a regra, ou seja, se o numerador é a derivada (ou pode ser obtida por uma transformação simples) do denominador. É este o caso, pois considerando, temos que Calculemos. É fácil ver que não podemos aplicar o método anterior. Tentando uma analogia às derivadas de funções trigonométricas inversas, vemos que a função integranda se assemelha à derivada de, ou seja,. Considerando 1 e 42 temos que Propriedade B Página 23 de 28

24 Exemplo: Determine o intregral. A função pode escrever se na forma , o que nos leva a pensar na Regra da Potência. No entanto, a derivada da base é , logo, não é aplicável esta regra. Analisemos a expressão. 1. A expressão é uma fracção. 2. O denominador é uma raiz quadrada cujo radicando é um binómio subtractivo. Se 5, então, Enumeremos ainda mais algumas regras de integração, Derivada Integral Página 24 de 28

25 Exercícios 1. Calcule os seguintes integrais: a. ; b. ; c. d. ; e. ; f.. 2. Calcule a área das regiões a sombreado. ; a. b. c. d. Página 25 de 28

26 3. Determine a área limitada por: a. 2 3, 6; b. 2, 1; c., 2, 2 d., 1, 6 4. Depois de fazer exercício durante alguns minutos, uma pessoa tem um ciclo respiratório para o qual a taxa de ar inalado é dada por 1.75 onde é o tempo em segundos. Encontre o volume, em litros, do ar inalado pela pessoa durante um ciclo respiratório de 2 segundos, sabendo que Suponha que é a taxa (em toneladas por ano) de poluentes derramados no interior de um lago, em que t é o n.º de anos desde Interprete. 6. Um móvel desloca se em linha recta de modo que em cada instante a velocidade é determinada pela função: (metros/segundo). a. Quando é que a velocidade se anula? b. Qual é o significado da expressão c. Determine o espaço percorrido quando 12. Página 26 de 28

27 Formulário:,, cos2 2 2 Página 27 de 28

28 Bibliografia [LH] Larson, R., Hostetler, R. e Edwards, B., Cálculo, Mc Graw Hill, [ELL] Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol.2, Projecto Euclides, Nona Edição, [CUV] Malta I., Pesco, S., Lopes,H.; Cálculo a uma variável, Vol. II, Derivada e Integral; Editora PUC Rio, [CGA] Swokowski; Cálculo com Geometria Analítica, Vol.1, Makron Books, [MA] Harshbarger, R. J., Reynolds, J. J., Matemática Aplicada Administração, Economia e Ciencias Sociais e Biológicas, Mc Graw Hill, Página 28 de 28