Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo específico Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos

3 Conteúdo temático Conceitos básicos Métodos Estacionários Decomposição aditiva de uma matriz Método de Gauss-Jacobi

4 Métodos iterativos Dado o sistema A x= b ; det ( A 0 pretendemos elaborar um método de resolução que tenha a forma x i+1 =Φ ( x i ; dado x 0

5 Métodos iterativos Suporemos também o teorema do ponto fixo neste caso, ou seja, lim i x i = x x=φ( x

6 Métodos iterativos Mas porque usar métodos iterativos?

7 Métodos iterativos Mas porque usar métodos iterativos? Assim como os métodos iterativos que já vimos: Um método deste tipo não teria a instabilidade numérica dos métodos diretos

8 Métodos iterativos Mas porque usar métodos iterativos? Assim como os métodos iterativos que já vimos: Um método deste tipo não teria a instabilidade numérica dos métodos diretos Também teria um critério claro de quando convergiria

9 Métodos iterativos Mas porque usar métodos iterativos? Assim como os métodos iterativos que já vimos: Um método deste tipo não teria a instabilidade numérica dos métodos diretos Também teria um critério claro de quando convergiria Não exigiria um procedimento posterior de verificação

10 Métodos iterativos Trabalharemos aqui com os Métodos Iterativos Estacionários que têm a seguinte forma x i+1 =B x i + c onde B e c não dependem de i

11 Métodos iterativos Trabalharemos aqui com os Métodos Iterativos Estacionários que têm a seguinte forma x i+1 =B x i + c onde B e c não dependem de i Observe que o algoritmo é uma multiplicação de matriz por vetor seguida de uma soma vetorial

12 Métodos iterativos Estes métodos que veremos são de implementação simples e são úteis em muitas situações

13 Decomposição aditiva Decomposição aditiva de uma matriz Seja A uma matriz quadrada. Escreveremos esta matriz como A=D+ M +N onde D é a diagonal de A, M a matriz triangular estritamente superior de A e N a matriz triangular estritamente inferior de A

14 Decomposição aditiva Um exemplo A=( então

15 Decomposição aditiva Um exemplo ; A=( D=( ; M=( =( ; N

16 Métodos iterativos Métodos Iterativos Estacionários Uma maneira de construir um método iterativo é partir das equações que pretendemos resolver e obter uma função de iteração de forma similar ao que fizemos no Método da Iteração Linear

17 Gauss-Jacobi Partiremos do sistema original usando a decomposição aditiva que apresentamos, ou seja, A x= b ( D+M + N x= b e reescrevendo como

18 Gauss-Jacobi Partiremos do sistema original usando a decomposição aditiva que apresentamos, ou seja, e reescrevendo como A x= b ( D+M + N x= b D x= ( M + N x+ b

19 Gauss-Jacobi Suporemos que a matriz associada ao sistema está arrumada de tal forma que a matriz D tenha inversa. Então podemos escrever x= D 1 ( M + N x+d 1 b e isto será a base do método iterativo dado por

20 Gauss-Jacobi x i+1 = D 1 ( M +N x i + D 1 b dado x 0. A matriz D 1 ( M +N é chamada de Matriz de Gauss-Jacobi

21 Gauss-Jacobi x i+1 = D 1 ( M +N x i + D 1 b Como já adiantamos, o algoritmo consiste em uma multiplicação de matriz por vetor seguido de uma soma vetorial

22 Gauss-Jacobi x i+1 = D 1 ( M +N x i + D 1 b Como já adiantamos, o algoritmo consiste em uma multiplicação de matriz por vetor seguido de uma soma vetorial Custo computacional por iteração: O(n 2.

23 Gauss-Jacobi Observe que x i+1 = D 1 ( M +N x i + D 1 b -(M + N é a matriz original A sem a diagonal e com sinal trocado

24 Gauss-Jacobi Observe que x i+1 = D 1 ( M +N x i + D 1 b -(M + N é a matriz original A sem a diagonal e com sinal trocado D -1 é obtida calculando os recíprocos dos valores da diagonal

25 Gauss-Jacobi Observe que x i+1 = D 1 ( M +N x i + D 1 b -(M + N é a matriz original A sem a diagonal e com sinal trocado D -1 é obtida calculando os recíprocos dos valores da diagonal Multiplicar por D -1 é equivalente a dividir cada linha de M + N e do vetor b pelo valor correspondente da diagonal de D

26 Gauss-Jacobi Temos um algoritmo para montar a fórmula de Gauss-Jacobi!

27 Gauss-Jacobi Divida todo o sistema pelos valores correspondentes da diagonal da matriz A

28 Gauss-Jacobi Divida todo o sistema pelos valores correspondentes da diagonal da matriz A Zere a diagonal da matriz resultante

29 Gauss-Jacobi Divida todo o sistema pelos valores correspondentes da diagonal da matriz A Zere a diagonal da matriz resultante Troque o sinal dos valores da matriz

30 Gauss-Jacobi Já que estamos falando de algoritmo vamos ver como seria o algoritmo em pseudocódigo

31 Gauss-Jacobi Arrumação da matriz para i 1 até n diag a ii para j 1 até n a ij a ij /diag b i b i /diag a ii 0

32 Gauss-Jacobi Laço de repetição do Método de Gauss-Jacobi para k 1 até niteracoes para i 1 até n s 0 para j 1 até n s s+a ij x j xaux i s+b i para l 1até n x l xaux l

33 Gauss-Jacobi Laço de repetição do Método de Gauss-Jacobi para k 1 até niteracoes para i 1 até n s 0 para j 1 até n s s+a ij x j xaux i s+b i para l 1até n x l xaux l Vetor auxiliar para preservar os valores do vetor na iteração

34 Métodos Iterativos Como verificaremos a evolução da sequência ( x 0, x 1, x 2,, x i, x i+1,?

35 Métodos Iterativos Como verificaremos a evolução da sequência ( x 0, x 1, x 2,, x i, x i+1,? Usaremos a norma da diferença dos vetores dividido pela norma de um dos vetores

36 Métodos Iterativos Algo assim x i+1 x i x i ;i>0

37 Métodos Iterativos Algo assim x i+1 x i x i ;i>0 Em nossos cálculos usaremos a norma do máximo

38 Métodos Iterativos No momento não nos preocuparemos com a questão da condição de convergência Vamos para um exercício...

39 Gauss-Jacobi Um exemplo ( x=( / Partiremos para a construção do método

40 Gauss-Jacobi Um exemplo Dividamos todo o sistema pelos valores da diagonal ( 8/8 1/8 0/8 1/8 ( 1/9 9/9 1/9 0/9 ; 1/10 2/10 10/10 0/10 0/12 1/12 1/12 12/12 (13/2/8 8/9 3/10 5/12

41 Gauss-Jacobi Um exemplo Zere a diagonal da matriz ( 0 1/8 0 1/8 1/9 0 1/9 0 1/10 1/ /12 1/12 0 ; 13/16 8/9 3/10 5/12 (

42 Gauss-Jacobi Um exemplo Troque o sinal dos valores da matriz ( 0 1/ 8 0 1/8 1/9 0 1/9 0 1/ 10 1/ /12 1/12 0 ; 13/16 8/9 3/10 5/12 (

43 Gauss-Jacobi Um exemplo Método de Gauss-Jacobi x i+1 = D 1 ( M +N x i + D 1 b =( 0 1/8 0 1/8 1/9 0 1/9 0 x i+1 x 1/10 1/ /12 1/12 0 ( i + 13/16 8/9 3/10 5/12

44 Gauss-Jacobi Um exemplo Mas qual será o vetor inicial?

45 Métodos Iterativos Mas qual será o vetor inicial? Em problemas reais temos sempre uma dica se examinamos o problema como ele merece

46 Métodos Iterativos Mas qual será o vetor inicial? Em problemas reais temos sempre uma dica se examinamos o problema como ele merece Aqui escolheremos um vetor qualquer antecipando que, se o método converge, convergirá para qualquer vetor inicial

47 Métodos Iterativos Usaremos =( 1 x

48 Gauss-Jacobi Um exemplo =( 0 1/8 0 1/8 +( 1/9 0 1/ 9 0 x 1 x 1/10 1/ /12 1/ /16 8/9 3/10 5/12 x 0 =( =( =( [0 1 1/8 4+0 ( 3+1/8 5]+13/16 x [ 1/ /9 ( 3+0 5] 8/9 1 [1/10 1 1/5 4+0 ( 3+0 5] 3/10 [0 1 1/12 4 1/12 ( 3+0 5]+5/12 =( 15/16 2/3 1 1/3 0,9375 0,66 1 0,33

49 Gauss-Jacobi Um exemplo =( 0 1/8 0 1/8 1/9 0 1/9 0 x 2 x 1/10 1/ /12 1/12 0 ( /16 8/9 3/10 5/12 x 1 =(15 /16 2/3 1 1/3 x 2 =( [0 15/16 1/8 ( 2/3+0 ( 1+1/8 1/3]+13/16 [ 1/9 15/16+0 ( 2/3 1/9 ( 1+0 1/3] 8/9 [1/10 15/16 1/5 ( 2/3+0 ( 1+0 1/3] 3/10 [0 15/16 1/12 ( 2/3 1/12 ( 1+0 1/3]+5/12=( 15/16 127/144 7/96 5/9 =( 0, ,9375 0, ,55

50 Gauss-Jacobi Um exemplo Avaliemos a evolução dos vetores obtidos =( ( 0,9375 0, x 2 x 0, ,66 0, x 0, , x 1 0,9270 max 0,55 0, 33 0,2222 ( x 1 max =1 x 2 x 1 max x 1 max 0,9270

51 Gauss-Jacobi Um exemplo Qual o significado da primeira componente ter se repetido?

52 Gauss-Jacobi Um exemplo Qual o significado da primeira componente ter se repetido? Nenhum! Observe que as demais componentes mudaram consideravelmente Estamos em busca de um vetor!

53 Gauss-Jacobi Um exemplo Você já deve ter reparado que estamos apresentando cálculos desnecessários. Os valores da diagonal da matriz de Gauss- Jacobi sempre serão nulos para qualquer sistema de equações lineares. Simplifiquemos um pouco...

54 Gauss-Jacobi Um exemplo =( 0 1/8 0 1/8 1/9 0 1/9 0 x 3 x 1/10 1/ /12 1/12 0 ( /16 8/9 3/10 5/12 =( 15/16 x 127 / / 96 5/9 =( =( [ 1/8 ( 127/144+0 ( 7/96+1/8 5/9]+13/16 127/128 0, x [ 1/9 15/16 1/9 ( 7/96+0 5/9] 8/9 851/864 0, [1/10 15/16 1/5 ( 127/ / 9] 3/10 43/1440 0, [0 15/16 1/12 ( 127/144 1/12 ( 7/96]+5/ /3456=( 0,496238

55 Gauss-Jacobi Um exemplo Avaliemos a evolução dos vetores =( ( 0, ,9375 ( 0,0546 x 3 x 0, , , x 0, , ,0430 0, ,55 0, x 2 max 0,1030 x 2 max =0,9375 x 3 x 2 max x 2 max 0,1098

56 Gauss-Jacobi Um exemplo =( 0 1/8 0 1/8 1/9 0 1/9 0 x 4 x 1/10 1/ /12 1/12 0 ( /16 8/9 3/10 5/12 x 3 =( 0, , , , =( [0 0, /12 ( 0, /12 ( 0,029862]+5/12 x 4 =([ 1/8 ( 0, ( 0, /8 0,496238]+13/16 [ 1/9 0, / 9 ( 0, ,496238] 8/ 9 [1/ 10 0, /5 ( 0, ,496238] 3 /10 0, , , ,501234

57 Gauss-Jacobi Um exemplo Avaliemos a evolução dos vetores =( ( 0, , ( 0,0054 x 4 x 0, , , , , , , , ,0049 x 4 x 3 0,02534 max x 3 max 0,9921 x 4 x 3 max x 3 max 0,0255

58 Gauss-Jacobi Um exemplo Observe que os valores da avaliação se aproximam de zero a medida que fazemos mais e mais iterações. x 2 x 1 max x 1 max 0,9270 ; x 3 x 2 max x 2 max 0,1098; x 4 x 3 max x 3 max 0,0255

59 Gauss-Jacobi Um exemplo De fato a solução exata do sistema é x=( /2

60 Gauss-Jacobi Um exemplo De fato a solução exata do sistema é e observem a sequência de vetores x=( /2 x 1 =( 0,9375 0,66 1 0, 33 x 2=( 0,9375 0, , ,55 x 0, =( 0, , , x 4 =( 0, , , ,501234

61 Gauss-Jacobi Repare que a cada iteração, cada componente do vetor pode ser calculado independentemente. x i+1 Assim, este algoritmo é facilmente paralelizável, ou seja, é fácil implementá-lo num computador paralelo.