Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo temático Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos

3 Conteúdo específico Exemplo de Wilson Malcondicionamento Número de condição Método dos resíduos

4 Pronto, fiz os cálculos e achei x!...mas como sei se é a solução?

5 Exemplo de Wilson ( x=( ) ) Substitua o vetor solução por x T =(9,2; 12,6 ; 4,5 ; 1,1 )

6 Exemplo de Wilson Substitua o vetor solução por Resultado: ( x=( ) ) b T =(32,1 ;22,9;33,1 ;30,9 ) x T =(9,2; 12,6 ; 4,5 ; 1,1 )

7 Exemplo de Wilson Substitua o vetor solução por Resultado: ( x=( ) ) b T =(32,1 ;22,9;33,1 ;30,9 ) x T =(9,2; 12,6 ; 4,5 ; 1,1 )

8 ( Exemplo de Wilson Parece que estamos perto da solução... A 9,2 32,1 12,6 22,9 4,5 33,1 ; 1,1 30,9 )=( ) b=( )

9 Exemplo de Wilson ( x=( ) ) Substitua o vetor solução por x T =(1,82; 0,36 ;1,35 ;0,79 )

10 Exemplo de Wilson Substitua o vetor solução por Resultado: ( x=( ) ) b T =(32,01 ;22,99;33,01;30,99 ) x T =(1,82; 0,36 ;1,35 ;0,79 )

11 ( Exemplo de Wilson Realmente parecia que estávamos perto da solução? A )=( 1,82 32,01 0,36 22,99 1,35 33,01 0,79 30,99 ) ; b=( )

12 ( ( Exemplo de Wilson Repare... A )=( 1,82 32,01 0,36 22,99 1,35 33,01 0,79 30,99 ) ; A 9,2 32,1 12,6 22,9 4,5 33,1 ; 1,1 30,9 )=( ) b=( ) Os vetores solução são muito diferentes...

13 Exemplo de Wilson ( x=( ) ) Solução: x T =(1;1;1 ;1 )

14 A técnica de substituir a solução encontrada na equação pode nos enganar

15 A técnica de substituir a solução encontrada na equação pode nos enganar Estamos olhando o problema da forma errada

16 Este sistema é mal-condicionado, portanto: Pequenas variações nos parâmetros do problema (neste caso o vetor constante) gera uma mudança muito maior na solução

17 Este sistema é mal-condicionado, portanto: Pequenas variações nos parâmetros do problema (neste caso o vetor constante) gera uma mudança muito maior na solução Cada vetor dado é a solução exata para o vetor constante correspondente

18 O exemplo de Wilson é ilustrativo da sensibilidade que sistemas de equações podem ter quanto à precisão de suas componentes. Pequenas variações daquelas podem gerar grandes variações no vetor solução.

19 Mas há casos patológicos! Matrizes de Hilbert h ij = 1 i+ j 1 ; j=1, n,i=1,,n

20 Matrizes de Hilbert =( =( 1 1/2 1/3 1/ 4 H= ( 1 1/2 1/3 1 1/2 H 1/2 1/3 1/ 4 1/5 1/2 1/3 4 H 1/2 1/3) 1/3 1/ 4 1/5 1/6 1/3 1/4 1/5) ) 1/4 1/5 1/6 1/7

21 Seja um sistema da forma H x=( ) H matriz de Hilbert. As componentes da solução são sempre inteiros.

22 Seja um sistema da forma H x=( ) H matriz de Hilbert. As componentes da solução são sempre inteiros. Isto pode ser demonstrado pela regra de Cramer!

23 No entanto, se você usar qualquer linguagem de programação convencional para resolver estes sistemas, você não obterá valores inteiros para as componentes do vetor solução mesmo para dimensões pequenas do sistemas. N = 5 já teremos problemas...

24 Um pouquinho de matemática Norma de vetores e matrizes

25 Normas Norma é uma ampliação do conceito de módulo É uma maneira de medir propriedades de objetos matemáticos complexos como vetores, matrizes e funções.

26 Normas Norma (módulo) de um vetor É uma maneira de medir o comprimento de um vetor

27 Normas Norma (módulo) de um vetor É uma maneira de medir o comprimento de um vetor Observou as aspas?

28 Normas Norma de um vetor Nos interessa da norma três propriedades: É sempre positiva

29 Normas Norma de um vetor Nos interessa da norma três propriedades: É sempre positiva Só é nula se o vetor for nulo

30 Normas Norma de um vetor Nos interessa da norma três propriedades: É sempre positiva Só é nula se o vetor for nulo Se o vetor for multiplicado por um valor, a norma será a norma do vetor multiplicado pelo valor em módulo

31 Normas v vetor de dimensão n v 2 = v 1 v 1 +v 2 v 2 +v 3 v 3 + +v n v n = n i=1 v i v i Esta é a Norma Euclidiana

32 Normas v vetor de dimensão n n v 1 = v 1 + v 2 + v v n = v i i=1 Esta é a Norma 1 ou Norma Manhattan

33 Normas v vetor de dimensão n v max =max i [ v 1, v 2, v 3,, v n ];i=1,, n Esta é a Norma do Máximo

34 Normas Um exemplo: v T =( 2,3,1) v 2 = ( 2) ( 2) = 14 3, v 1 = =6 v max =max i [ 2, 3, 1 ]=3

35 Normas Um exemplo: v T =( 2,3,1) v 2 = ( 2) ( 2) = 14 3, v 1 = =6 v max =max i [ 2, 3, 1 ]=3 São todas medidas do vetor mas não dão a mesma medida. São maneiras diferentes de medir...

36 Normas A matriz n x n = ( A n n 2 i=1 j=1 ) 2 a ij n A 1 =max 1 j n a i=1 ij A max=max 1 i n j=1 n a ij São a Norma de Fröbenius, a Norma 1 e a Norma do Máximo ou Norma Infinito para matrizes

37 Para que isto?

38 O número de condicionamento de uma matriz A é dado por κ= A 1 A É fácil de ver que o número de condição da matriz identidade é 1 para as normas 1 e do máximo.

39 O número de condicionamento de uma matriz A é dado por κ= A 1 A É fácil de ver que o número de condição da matriz identidade é 1 para as normas 1 e do máximo. Não é difícil de demonstrar que o número de condição é sempre maior ou igual a 1

40 Uma matriz é tão mais bem condicionada quanto o seu número de condição for mais próximo de 1.

41 Vamos para alguns exemplos com o Maxima com a função mat_norm() nas seguintes formas mat_norm(m, 1) mat_norm(m, inf) mat_norm(m, frobenius)

42 Nos exercícios vimos que: O número de condição para o exemplo de Wilson é, usando a função mat_norm(m, 1), Para os casos de matrizes de Hilbert 3x3 é 748 e a 4x4 maior que

43 Nos exercícios vimos que: O número de condição para o exemplo de Wilson é, usando a função mat_norm(m, 1), Para os casos de matrizes de Hilbert 3x3 é 748 e a 4x4 maior que Na grande maioria das vezes não calculamos diretamente o número de condição

44 Observemos o método de Eliminação gaussiana: Se um pivô for bem menor que o(s) elemento(s) eliminado(s), teremos ruído numérico afetando todos os cálculos subsequentes (a divisão, lembra?).

45 Observemos o método de Eliminação gaussiana: Se um pivô for bem menor que o(s) elemento(s) eliminado(s), teremos ruído numérico afetando todos os cálculos subsequentes (a divisão, lembra?). E assim, o vetor obtido pelo algoritmo poderá estar distante do vetor solução

46 Observemos o método de Eliminação gaussiana: Se um pivô for bem menor que o(s) elemento(s) eliminado(s), teremos ruído numérico afetando todos os cálculos subsequentes (a divisão, lembra?). E assim, o vetor obtido pelo algoritmo poderá estar distante do vetor solução Se diz que este algoritmo é numericamente Instável

47 Primeiro passo: Como verificar se o vetor obtido é próximo da solução do sistema?

48 Método dos Resíduos Seja o sistema A x= b do qual obtemos uma solução aproximada x 1 devido à instabilidade numérica da eliminação gaussiana ou de outro método de solução

49 Método dos Resíduos Então podemos escrever x= x 1 + z 1 que substituída na equação original resulta em A ( x 1 + z 1 )= b A x 1 + A z 1 = b A z 1 = b A x 1

50 Método dos Resíduos Observe que podemos calcular b A x 1. Definindo teremos b 1 = A x 1 A z 1 = b b 1 Definindo o resíduo como r 1 = b b 1 ficaremos com A z 1 = r 1

51 Método dos Resíduos Parece que nossos problemas foram resolvidos...

52 Método dos Resíduos Parece que nossos problemas foram resolvidos... Só que não...

53 Método dos Resíduos Parece que nossos problemas foram resolvidos... Só que não... Pelos mesmos motivos que não conseguimos a solução exata, não conseguiremos o valor de z 1 mas uma aproximação que chamaremos de z1 O que nos resta?

54 Método dos Resíduos Parece que nossos problemas foram resolvidos... Só que não... Pelos mesmos motivos que não conseguimos a solução exata, não conseguiremos o valor de z 1 mas uma aproximação que chamaremos de z1 O que nos resta? Começar tudo de novo...

55 Método dos Resíduos Podemos escrever x 2 = x 1 + z 1 e x= x 2 + z 2 que substituída na equação original resulta em A ( x 2 + z 2 )= b A x 2 + A z 2 = b A z 2 = b A x 2 = r 2 onde é o segundo resíduo. Teremos o sistema r 2 A z 2 = r 2

56 Método dos Resíduos O qual, de novo, não me dá o resultado correto mas uma aproximação z2

57 Método dos Resíduos O qual, de novo, não me dá o resultado correto mas uma aproximação z2 Espero que esteja ficando claro que obteremos, de fato, as sequências { x 1, x 2, x 3,, x i } e { z 1, z 2, z 3,, z i } Esperamos que, se tudo estiver bem, teremos a cada passo valores melhores da solução e valores menores para a norma de zi

58 Método dos Resíduos Se os valores em módulo do vetor de correção diminuirem consistentemente, podemos dizer que o sistema é bemcondicionado e que a solução obtida é confiável

59 Método dos Resíduos Se os valores em módulo do vetor de correção diminuirem consistentemente, podemos dizer que o sistema é bemcondicionado e que a solução obtida é confiável Obs: No mundo real sempre haverá uma situação de malcondicionamento a medida que chegamos perto do limite de precisão da máquina

60 Método dos Resíduos Observe que o método dos resíduos tem um problema: Temos que resolver uma sequência de SEL A z 1 = r 1 ; A z 2 = r 2 ; A z 3 = r 3 ; A z k = r k Aparentemente o custo é alto...

61 Método dos Resíduos Observe que o método dos resíduos tem um problema: Temos que resolver uma sequência de SEL A z 1 = r 1 ; A z 2 = r 2 ; A z 3 = r 3 ; A z k = r k Aparentemente o custo é alto... Só que não...

62 Método dos Resíduos Apresentaremos um outro assunto mas retornaremos ao Método dos Resíduos em breve...

63 Método dos Resíduos Observe que o valor que nos diz o quanto estamos próximos da solução não são os resíduos r i mas os vetores z i