Cálculo Numérico. Sistemas lineares Métodos Iterativos: Introdução Método Iterativo de Jacobi-Richardson

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Ana Luiza Alencastre Almada
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1 Cálculo Numérico Sistemas lineares Métodos Iterativos: Introdução Método Iterativo de Jacobi-Richardson

2 Métodos como: Métodos exatos Método de eliminação de Gauss Método de decomposição LU Método de Cholesky são ditos exatos: obtém a solução final após um número k de passos. Em alguns casos/aspectos, métodos iterativos têm algumas vantagens. são melhores em matrizes esparsas apresentam auto-correção de erros (podem ser usados para melhorar a solução obtida por métodos exatos).

3 Idéia geral Similar à idéia do método iterativo linear para resolução de equações. Queremos resolver: Ax =b E reescrevemos o sistema como: x = Bx + g (B = I-A, g =b, por exemplo)

4 Idéia geral De posse de x = Bx +g: Chutamos um valor inicial para x: x (0). Obtemos: x (1) = Bx (0) +g. x (2) = Bx (1) +g. x (3) = Bx (2) +g.... x (k+1) = Bx (k) +g. Da mesma forma como fazíamos: x k+1 = ψ(x k )

5 Convergência A seqüência converge? Critério: A sequência será convergente se, para qualquer norma de matrizes, B < 1. Demonstração: e (k) = x - x (k) Mas x = Bx + g (5.1) x (k) = Bx (k-1) + g (5.2) Logo: e (k) = B(x - x (k-1) ) = B e (k-1)

6 Convergência e (k) = B(x - x (k-1) ) = B e (k-1) Como fizemos antes para mostrar a convergência do método iterativo linear: e (k) = B e (k-1) e (k-1) = B e (k-2) Logo: e (k) = B 2 e (k-2) E, se aplicamos sucessivamente: e (k) = B k e (o)

7 Convergência e (k) = B k e (o) Usando normas consistentes (def do livro): AB A. B e logo, e (k) B k. e (o) Que tende a zero quando B < 1. Note a semelhança com o método iterativo linear: B é chamada a matriz de iteração do processo iterativo

8 Conclusão Condição suficiente: O sistema é convergente se, para uma norma qualquer de matrizes, B <1. Uma condição necessária e suficiente: max λ i <1, onde λ i são os autovalores de B Por hora, vamos nos preocupara com a condição suficiente. Depois veremos como calcular os autovalores de B.

9 Algumas normas norma linha norma coluna Exemplo: norma Euclidiana

10 Exemplo (convergência) Um sistema Ax=b que seja reescrito na forma: x = Bx + g Irá convergir quando o método iterativo for aplicado? Não podemos concluir... tentemos outra norma: Convergência garantida!

11 Método iterativo Vimos que dado um sistema Ax=b, se conseguirmos reescrevê-lo na forma: x = Bx+g Podemos usar um processo iterativo do tipo: x (k+1) = Bx (k) +g. Que convergirá se, para qualquer norma consistente, B <1.

12 Jacobi-Richardson Vamos ver uma maneira simples de obter uma matriz B, chamado de método de Jacobi-Richardson. Seja o sistema : A matriz A (det(a) 0) do sistema linear pode ser escrita como a soma de três matrizes: A = L+D+R.

13 Jacobi-Richardson A = L+D+R. Vamos escolher L,D e R de modo que L só tenha elementos abaixo da diagonal D só tenha elementos na diagonal R só tenha elementos acima da diagonal

14 Jacobi-Richardson Exemplo (3x3) A L D R

15 Jacobi-Richardson Supondo det(d) 0 (a ii 0, i=1,...n) e dividindo cada linha pelo elemento da diagonal, temos: A* L* I R* exemplificado no caso 3x3, mas válido para qualquer dimensão obviamente, o vetor b i também é dividido pelo elemento a ii.

16 Jacobi-Richardson No caso geral:

17 Reescrevendo Podemos reescrever o sistema como: (L*+I+R*)x = b* x = -(L*+R*)x + b* B g E o processo iterativo fica: Jacobi-Richardson

18 Convergência Vimos que o processo iterativo converge se B < 1, para ao menos uma norma. No caso de Jacobi-Richardson: B = -(L*+R*) e portanto o método converge se, por exemplo: L*+R* 1 < 1 (critério das linhas) ou L*+R* 1 < 1 (critério das colunas):

19 Notas Note que se a matriz for estritamente diagonal dominante (isto é, em cada linha, o elemento da diagonal é estritamente maior que a soma de todos os outros elementos da linha), então o critério de convergência é automaticamente atendido para B = -(L*+R*). Note que o critério independe de x (0) No método de Jacobi-Richardson todos os valores de x da iteração (k+1) dependem dos valores de x da iteração (k), por isso o método é também chamado de Método dos deslocamentos simultâneos.

20 Exemplo Resolva o sistema linear: Pelo método de Jacobi-Richardson com x (0) = (0.7,-1.6,0.6) t, até encontrar um erro de 10-2.

21 Exemplo (solução) Verificando convergência: Vemos que a matriz é estritamente diagonal dominante: Portanto o método irá convergir.

22 Exemplo (solução) Verificando convergência (outros critérios que poderiam ser usados): Critério das linhas: Critério das colunas:

23 Iteração 1: Exemplo (solução)

24 Continuando: Exemplo (solução)

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