Consideremos um sistema linear de n equações lineares e n incógnitas, do tipo:

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1 58 3. Resolução de Sistemas Lineares MÉTODOS DIRETOS: são métodos que determinam a solução de um sistema linear com um número finito de operações. Entre os métodos diretos (Eliminação de Gauss, Eliminação de Gauss-Jordan e Método da Fatoração LU), destaca-se o método de Eliminação de Gauss que evita o cálculo direto da matriz inversa de A e, além disto, não apresenta problemas com tempo de execução como a Regra de Cramer. Todo método direto implica em algum procedimento de eliminação. A compreensão dos métodos diretos, Eliminação de Gauss e similares, foram possíveis graças aos trabalhos de J. Wilkinson [WILKINSON, 1963] no inicio da década de 60. A Eliminação de Gauss está definitivamente consagrada, devido aos trabalhos de Wilkinson e ao sucesso dos elementos finitos que a utiliza para resolver sistema de equações lineares contendo milhares de equações. MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão /1855. O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior (aij = 0, para todo i > j), pois estes são de resolução imediata. Consideremos um sistema linear de n equações lineares e n incógnitas, do tipo: a11x1 + a12x a1nxn =b1 a21x1 + a22x a2nxn =b2.... (1) an1x1 + an2x annxn =bn Podemos escrever o sistema (1), Ax=b numa forma matricial: Em que, a11 a12... a1n A = a21 a22... a2n é a matriz dos coeficientes, an1 an2... ann x1 x2. x =. é a matriz das incógnitas,. e xn

2 59 b1 b2. b =.. bn é a matriz dos termos independentes. Uma matriz que podemos associar ao sistema Ax = b, é a matriz ampliada, denotada por [A b], na qual a11 a12... a1n b1 (0) [ A b] [ A b] a21 a22... a2n b2...., (2) an1 an2... ann bn em que, b1 = a1(n+1),..., bn = an (n+1). Para modificar convenientemente, o sistema linear (2) dado de forma a obter um sistema equivalente, faremos uso do Teorema 1, a seguir: Teorema 1 Seja Ax = b um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma seqüência de operações elementares escolhidas entre: i) Um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema. Exemplo: os sistemas de equações lineares 2x + 3y = 10 5x 2y = 6 5x 2y = 6 2x + 3y = 10 são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações. ii) Um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo. Exemplo: os sistemas de equações lineares

3 60 3x + 2y z = 5 2x + y + z = 7 x 2y + 3z = 1 3x + 2y z = 5 2x + y + z = 7 3x 6y + 9z = 3 são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3. iii) Um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação ii. Exemplo: os sistemas 15x 3y = 22 5x + 2y = 32 15x 3y = 22 9y = 74 são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( 3 ). Obtemos um novo sistema A'x = b' e os sistemas Ax = b e A'x = b' são equivalentes. 3.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS Descreveremos a seguir como o método de Eliminação de Gauss usa o teorema1 para triangularizar a matriz A. Vamos supor que det(a) 0. A eliminação é efetuada por colunas e chamaremos de etapa k do processo a fase em que se elimina a variável xk das equações k+1, k+2,..., n. Usaremos a notação aij(k) para denotar o coeficiente da linha i e coluna j no final da k-ésima etapa, bem como bi(k) será o i-ésimo elemento do vetor constante no final da etapa k. Considerando que o det(a) 0, é sempre possível reescrever o sistema linear de forma que o elemento da posição a11 seja diferente de zero, usando apenas a operação elementar (i): a11 (0) a12 (0)... a1n (0) b1 (0) Seja A (0) b (0) = A b = a21 (0) a22 (0)... a2n (0) b2 (0) an1 (0) an2 (0)... ann (0) bn (0) onde aij (0) = aij, bi (0) = bi e a11 (0) 0.

4 61 Etapa 1: A eliminação da variável x1 das equações i=2,..., n é feita da seguinte forma: da equação i subtraímos a 1ª equação multiplicada por mi1. Observamos que para que esta eliminação (0) ai 1 seja efetuada, a única escolha possível é mi 1, i 2,, n. (0) a Os elementos mi1 são os multiplicadores e o elemento a11 (0) é denominado pivô da 1ª etapa. Ao final desta etapa teremos a matriz: a11 (1) a12 (1)... a1n (1) b1 (1) 11 A (1) b (1) = 0 a22 (1)... a2n (1) b2 (1).... onde, an2 (1)... ann (1) bn (1) a1j (1) = a1j (0) para j = 1,..., n b1 (1) = b1 (0) e aij (1) = aij (0) mi1a1j (0) i = 2,..., n e j = 1,..., n bi (1) = bi (0) mi1b1 (0) i = 2,..., n Etapa 2: Deve-se ter pelo menos um elemento ai2(1) 0, para i = 2,..., n, caso contrario, det(a (1) ) = 0, o que implica que det(a) = 0; mas det(a) 0, por hipótese. Então, é sempre possível reescrever a matriz A (1), sem alterar a posição da linha 1, de forma que o pivô, a22 (1), seja não nulo. (1) ai 2 Os multiplicadores desta etapa serão os elementos mi 2, i 3,, n. (1) a22 A variável x2 é eliminada das equações i = 3,..., n da seguinte forma: da equação i subtraímos a segunda equação multiplicada por mi2. Ao final, teremos a matriz A (2) b (2) : a11 (2) a12 (2) a13 (2).... a1n (2) b1 (2) A (2) b (2) = 0 a22 (2) a23 (2)... a2n (2) b2 (2) 0 0 a33 (2)... a3n (2) b3 (2) an3 (2)... ann (1) bn (1)

5 62 onde aij (2) = aij (1) para i = 1, 2 e j = i, i+1,..., n bi (2) = bi (1) para i = 1, 2 e aij (2) = aij (1) mi2a2j (1) i = 3,..., n e j = 2,..., n bi (2) = bi (1) mi2b2 (1) i = 3,..., n Seguindo raciocínio análogo, procede-se até a etapa (n 1) e a matriz, ao final desta etapa, será: a11 (n 1) a12 (n 1) a13 (n 1).... a1n (n 1) b1 (n 1) A (n 1) b (n 1) = 0 a22 (n 1) a23 (n 1)... a2n (n 1) b2 (n 1) 0 0 a33 (n 1)... a3n (n 1) b3 (n 1) ann (n 1) bn (n 1) e o sistema original linear A (n 1) x = b (n 1) é triangular superior e equivalente ao sistema linear original. Exemplo1: Seja o sistema linear: 3x1 + 2x2 + 4x3 = 1 x1 + x2 + 2x3 = 2 4x1+ 3x2 2x3 = 3 Etapa 1: Eliminar x1 das equações 2 e 3: Para facilitar o entendimento do processo, de agora em diante usaremos a notação Li para indicar o vetor linha formado pelos elementos da linha i da matriz A (k) b (k). Assim nesta etapa, L1 = ( ). a11 (0) a12 (0) a13 (0) b1 (0) A (0) b (0) = a21 (0) a22 (0) a23 (0) b2 (0) = Pivô: a11 (0) = 3 m21= 1/3 m31 = 4/3 L2 L2 m21l1 L3 L3 m31l1 a31 (0) a32 (0) a33 (0) b3 (0)

6 a11 (1) a12 (1) a13 (1) b1 (1) A (1) b (1) = 0 1/3 2/3 5/3 = 0 a22 (1) a23 (1) b2 (1) 0 1/3 22/3 5/3 0 a32 (1) a33 (1) b3 (1) Etapa 2: Eliminar x2 da equação 3: Pivô: a22 (1) = 1/3 m32 = 1/3 = 1 1/3 L3 L3 m32l A (2) b (2) = 0 1/3 2/3 5/ Assim resolver Ax = b é equivalente a resolver A (2) x = b (2) : 3x1 + 2x2 + 4x3 = 1 1/3x2 + 2/3x3 = 5/3 8x3 = 0 3 A solução deste sistema é o vetor x = 5 0

7 64 Algoritmo: Resolução de Ax = b através da eliminação de Gauss. Seja o sistema linear Ax = b, A: n x n, x: n x 1, b: n x 1. Supor o elemento que está na posição akk é diferente de zero no início da etapa k. Para k = 1,..., n 1 Para i = k +1,..., n Eliminação m = aik akk aik = 0 Para j = k + 1,..., n aij = aij makj bi = bi mbk, Resolução do sistema: xn = bn / ann Para k = (n 1),... 2, 1 s = 0 Para j = (k + 1),..., n s = s + akjxj xk = (bk s) / akk O algoritmo efetua, na fase de eliminação, (4n 3 + 3n 2 7n) / 6 operações e, para resolver o sistema triangular superior, o número de operações efetuadas é n 2. Assim o total de operações para se resolver um sistema linear pelo método da Eliminação de Gauss é (4n 3 + 9n 2 7n) / 6 ESTRATÉGIAS DE PIVOTEAMENTO Vimos que o algoritmo para o método da Eliminação de Gauss requer o calculo dos multiplicadores: mik = (K 1) aik (K 1) akk i = k+ 1,..., n em cada etapa k do processo. O que acontece se o pivô for nulo? E se o pivô estiver próximo de zero? Estes casos merecem atenção especial, pois é impossível trabalhar com um pivô nulo. E trabalhar com um pivô próximo de zero pode conduzir a resultados totalmente imprecisos. Isto porque em qualquer calculadora ou computador os cálculos são efetuados com aritmética de precisão finita, e pivôs próximos de zero dão origem a multiplicadores bem menores que a unidades, que por sua vez, origina uma ampliação dos erros de arredondamentos. Para se contornar estes problemas, deve-se adotar uma estratégia de pivoteamento, ou seja, adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal.

8 65 GAUSS COM PIVOTEAMENTO 1. ESTRATÉGIA DE PIVOTEAMENTO PARCIAL Esta estratégia consiste em: i) no início etapa k da fase de eliminação, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes: aik (k-1), i = k, k + 1,..., n; ii) trocar as linhas k e i se for necessário; Exemplo: n = 4 e k = A (1) b (1) = Início da etapa 2: i) escolher o pivô max aj2 (1) = a32 (1) = 3 pivô = 3 j = 2, 3, 4 ii) trocar linhas 2 e 3. Assim, A (1) b (1) = e os multiplicadores desta etapa serão: m32 = 1 / 3 m42 = 2 / 3 Observamos que a escolha do maior elemento em módulo entre os candidatos a pivô faz com que os multiplicadores, em módulo, estejam entre zero e um, o que evita a ampliação dos erros de arredondamento. 2. ESTRATÉGIA DE PIVOTEAMENTO COMPLETO Nesta estratégia, no início da etapa k é escolhido para pivô o elemento de maior módulo, entre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação. max aj2 (k 1) = ars (k-1) (k 1) pivô = ars i, j k

9 66 Observamos que, no exemplo anterior, se fosse adotada esta estratégia, o pivô da etapa 2 seria a34(1) = 7, o que acarretaria a troca das colunas 2 e 4 e, em seguida, das linhas 2 e 3, donde: A (1) b (1) = Esta estratégia não é muito empregada, pois envolve uma comparação extensa entre os elementos aij(k 1), i, j k e troca de linhas e colunas, conforme vimos no exemplo anterior; é evidente que todo este processo acarreta um esforço computacional maior que a estratégia de pivoteamento parcial MÉTODO DIRETO DE GAUSS-JORDAN O método de Eliminação de Gauss Jordan consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente, onde a matriz dos coeficientes seja uma matriz diagonal (aij = 0, para todo i j e aij =1, para todo i = j)pois, a resolução será imediata. Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução. Este método difere da Eliminação de Gauss, pois elimina-se não só os elementos aij, para i > j, elimina-se também os elementos aij, para i < j, e todos os elementos da diagonal principal devem ser iguais a 1, na matriz dos coeficientes. Considere o sistema linear: x1 + x2 + x3 + x4 = 10 2x1 + 3x2 + x3 + 5x4 = 31 x1 + x2 5x3+ 3x4 = 2 3x1 + x2 +7x3 2x4 = 18 Etapa 1: A (0) b (0) = Pivô: a11 (0) = 1 0 m21= a21 / a11 = 2 / 1 = 2 m31= a31 / a11 = 1 / 1 =

10 67 m41= a41 / a11 = 3 / 1 = 3 L2 L2 m21l1 L3 L3 m31l1 L4 L4 m41l1 Etapa 2: A (1) b (1) = Pivô: a22 (1) = 1 0 m32= a32 / a22 = 2 / 1 = 2 m42= a42 / a22 = 2 / 1 = 2 m12= a12 / a22 = 1 / 1 = 1 L3 L3 m31l2 L4 L4 m41l2 L1 L1 m12l Etapa 3: A (2) b (2) = Pivô: a33 (2) = 2 0 m23= a23 / a33 = ( 1) /( 2) = 1 / 2 m43= a43 / a33 = 2 / ( 2) = 1 m13= a13 / a33 = 2 / ( 2) = 1 L2 L2 m23l3 L4 L4 m43l3 L1 L1 m13l3 Etapa 4: A (3) b (3) =

11 68 Pivô: a44 (3) = 1 0 m14= a14 / a44 = ( 4) /( 1) = 4 m24= a24 / a44 = 4 / ( 1) = 4 m34= a34 / a44 = ( 2) /( 1) = 2 L1 L1 m14l4 L2 L2 m24l4 L3 L3 m34l4 Etapa 5: A (4) b (4) = L3 ( 1/2)L3 L4 ( 1)L4 Etapa 6: A (5) b (5) = x = [ ] T 3.2 MÉTODO DA FATORAÇÃO LU Seja o sistema linear Ax = b. O processo de fatoração para resolução deste sistema consiste em decompor a matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma seqüência de sistemas lineares que nos conduzirá à solução do sistema linear original. Por exemplo, se pudermos realizar a fatoração: A = CD, o sistema linear Ax = b pode ser escrito: (CD)x = b Se y = Dx, então resolver o sistema linear Ax = b é equivalente a resolver o sistema linear Cy = b e, em seguida, o sistema linear de Dx = y. A vantagem dos processos de fatoração é que podemos resolver qualquer sistema linear que tenha A como matriz dos coeficientes. Se o vetor b for alterado, a resolução do novo sistema linear será quase que imediata.

12 69 A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados. Nesta fatoração a matriz L é triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é diagonal superior. CÁLCULO DOS FATORES L e U Os fatores L e U podem ser obtidos através de formulas para os elementos lij e uij, ou então, podem ser construídos usando a idéia básica do método de Eliminação de Gauss. A obtenção dos fatores L e U pelas formulas dificulta o uso de estratégias de pivoteamento e, por esta razão, veremos como obter L e U através do processo de Gauss. Usaremos um exemplo teórico de dimensão 3: a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 Trabalharemos somente com a matriz dos coeficientes. Seja então: a11 (0) a12 (0) a13 (0) A (0) = a21 (0) a22 (0) a23 (0) = A a31 (0) a32 (0) a33 (0) Os multiplicadores da etapa 1 do processo de Gauss são: (0) (0) a21 a31 m21 e m (0) 31, (supondo que (0) a11 (0) 0) a11 a11 Para eliminar x1 da linha i, i = 2, 3, multiplicamos a linha 1 por mi1 e subtraímos o resultado da linha i. Os coeficientes aij (0) serão alterados para aij (1), onde: a1j (1) = a1j (0) para j = 1, 2, 3 aij (1) = aij (0) mi1a1j (0) para i = 2, 3 e j = 1, 2, 3 Estas operações correspondem a se pré-multiplicar a matriz A (0) pela matriz M (0), onde M (0) = m21 1 0, pois: m a11 (0) a12 (0) a13 (0) M (0) A (0) = m a21 (0) a22 (0) a23 (0) = m a31 (0) a32 (0) a33 (0)

13 70 a11 (0) a12 (0) a13 (0) = a21 (0) m21a11 (0) a22 (0) m21a12 (0) a23 (0) m21a13 (0) a31 (0) m31a11 (0) a32 (0) m31a12 (0) a33 (0) m31a13 (0) a11 (1) a12 (1) a13 (1) = 0 a22 (1) a23 (1) = A (1) 0 a32 (1) a33 (1) Portanto, M(0)A(0) = A(1) onde A(1) é a mesma matriz obtida no final da etapa 1 do processo de Gauss. (1) Supondo agora que a(22) (1) a32 0, o multiplicador da etapa 2 será: m32 (1) a22 Para eliminar x2 da linha 3, multiplicamos a linha 2 por m32 e subtraímos o resultado da linha 3. Os coeficientes aij (1) serão alterados para: a1j (2) = a1j (1) para j = 1, 2, 3 a2j (2) = a2j (1) para j = 2, 3 a3j (2) = a3j (1) m32a2j (1) para j = 2, 3 As operações efetuadas em A (1) são equivalentes a pré-multiplica A (1) por M (1), onde M (1) = 0 1 0, pois: 0 m a11 (1) a12 (1) a13 (1) M (1) A (1) = a22 (1) a23 (1) 0 m a32 (1) a33 (1) a11 (1) a12 (1) a13 (1) M (1) A (1) = 0 a22 (1) a23 (1) 0 a32 (1) m32a22 (1) a33 (1) m32a23 (1)

14 71 a11 (2) a12 (2) a13 (2) A (2) = 0 a22 (2) a23 (2) 0 0 a33 (2) Portanto, M (1) A (1) = A (2) onde A (2) é a mesma matriz obtida no final da etapa 2 do método da Eliminação de Gauss. Temos então que: A = A (0) A (1) = M (0) A (0) = M (0) A A (2) = M (1) A (1) = M (1) M (0) A (0) = M (1) M (0) A onde A (2) é triangular superior. É fácil verificar que: (M (0) ) 1 = m e (M (1) ) 1 = Assim, m m (M (0) ) 1 (M (1) ) 1 = m m31 m32 1 Então, A = (M (1) M (0) ) 1 A (2) = (M (0) ) 1 (M (1) ) 1 A (2) a11 (2) a12 (2) a13 (2) A= m a22 (2) a23 (2) = LU m31 m a33 (2) Ou seja: L= (M (0) ) 1 (M (1) ) 1 e U = A (2) Isto é, fatoramos a matriz A em duas matrizes triangulares L e U, sendo que o fator L é triangular inferior com diagonal unitária e seus elementos lij para i > j são os multiplicadores mij obtidos no processo da Eliminação de Gauss; o fator U é triangular superior e é a matriz triangular superior obtida no final da fase da triangularização do método da Eliminação de Gauss.

15 72 TEOREMA (FATORAÇÃO LU) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, seja Ak a matriz constituída das primeiras k linhas e colunas de A. Suponha que det(a) 0 para k = 1, 2,..., (n 1). Então, existe uma única matriz triangular inferior L = (mij), com mij = 1, 1 i n e uma única matriz triangular superior U = (uij) tais que LU = A. Ainda mais, det(a) = u11u22... unn RESOLUÇÃO DE SISTEMA LINEAR Ax = b USANDO A FATORAÇÃO LU DE A Dados o sistema linear Ax = b e a fatoração LU da matriz A, temos: Ax = b (LU)x = b Seja y = Ux. A solução do sistema linear pode ser obtida da resolução dos sistemas lineares triangulares: i) Ly = b ii) Ux = y Verifiquemos teoricamente que o vetor constante do lado direito obtido ao final do processo da Eliminação de Gauss. Considerando o sistema linear Ly = b, temos que y = L 1 b. Mas, L= (M (0) ) 1 (M (1) ) 1 L 1 = M (1) M (0). Então, y = M (1) M (0) b (0), onde b (0) = b Temos que b1 (0) b1 (0) b1 (1) A= m b2 (0) = b2 (0) m21b1 (0) = b2 (1) = b (1). m b3 (0) b3 (0) m31 b1 (0) b3 (1) Isto é, o vetor obtido após o produto de M (0) por b (0) é o mesmo vetor do lado direito obtido após a etapa 1 do processo da Eliminação de Gauss. Obtido b (1), temos que y = M (1) b (1) = b1 (1) b1 (1) b1 (2) = b2 (1) = b2 (1) = b2 (2) = b (2). 0 m32 1 b3 (1) b3 (1) m32 b2 (1) b3 (2) Exemplo: Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração LU: 3x1 + 2x2 + 4x3 = 1 x1 + x2 + 2x3 = 2 4x1+ 3x2 + 2x3 = 3

16 A = Etapa 1: Pivô: a11 (0) = Multiplicadores: Então, L1 L1 L2 L2 m21l1 L3 L3 m31l1 e, (0) a21 1 m 21 e a (0) 3 11 (0) a31 4 m 31. a (0) A (1) = 0 1/3 2/3 0 1/3 10/3 Uma vez que os elementos a21 (1) e a31 (1) são nulos, podemos guardar os multiplicadores nesta posição, então: A (1) = 1/3 1/3 2/3 4/3 1/3 10/3 Etapa 2: Pivô: a22 (1) = 1/3 (1) a32 1/3 Multiplicadores: m a (1) 22 1/3 Teremos: L1 L1 L2 L2 L3 L3 m32l2 e A (2) = 1/3 1/3 2/3 4/3 1 4

17 74 Os fatores L e U são: L = 1/3 1 0 U = A (2) = 0 1/3 2/3 4/ Resolvendo L (Ux) = b: i) Ly = b y1 =1 1/3y1 + y2 = 2 4/3y1 + y2 + y3 = 3 y = (1 5/3 0) T ii) Ux = y: 3x1 + 2x2 + 4x3 = 1 Ux = y 1/3x2 + 2/3x3 = 5/3 4x3 = 0 x = ( 3 5 0) T

18 75 APÊNDICE A: Aplicação do Software SLD, resolução de Sistemas de Equações Lineares Determinados Figura1: Método de Gauss sem estratégia de pivoteamento parcial. Figura 2: Gauss com pivoteamento parcial.

19 76 Figura3: Método de Eliminação de Gauss Figura 4: Método de Gauss-Jordan.

20 Figura 5: Fatoração LU 77

21 Figura 6: Fatoração LU. 78

22 Figura 7 : Fatores L e U. 79

23 Figura8: Solução 80

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