Sistemas Lineares - Métodos Iterativos : Jacobi e Gauss-Seidel. Profa. Cynthia de O. Lage Ferreira Métodos Numéricos e Computacionais I - SME0305

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1 Sistemas Lineares - Métodos Iterativos : Jacobi e Gauss-Seidel Profa. Cynthia de O. Lage Ferreira Métodos Numéricos e Computacionais I - SME35 Métodos Iterativos Nesta seção, vamos estudar métodos iterativos para a solução de sistemas lineares Ax = b de dimensão n. Técnicas iterativas raramente são utilizados para aresoluçãodesistemaslinearesdedimensãopequenaumavezqueotempo necessário para obtermos uma solução suficientemente precisa é maior que o tempo necessário para obtermos as soluções através das técnicas diretas, tais como a eliminação de Gauss. Para sistemas grandes e com uma elevada quantidade de zeros na matriz A, noentanto,estastécnicassãoeficientesemtermosde armazenamento no computador e de computação. Sistemas deste tipo surgem frequentemente na análise de circuitos e na solução numérica de problemas de valor de contorno e equações diferenciais parciais. Uma técnica iterativa para resolver o sistema linear Ax = b começa com uma aproximação inicial x() 2 R n da solução x 2 R n egeraumasequênciade vectores {x(k),k } que converge para x, isto é, lim k! x (k) = x. Considerando A = P (P A), tomando uma matriz adequada P, de modo geral, podemos escrever Px =(P A)x + b, de modo que ou Px (k+) =(P A)x (k) + b, k x (k+) = Bx (k) + c, k, em que B = P (P A) échamadadematrizdeiteraçãodoprocessoiterativo e c = P b. Método de Jacobi Se os elementos da diagonal de A são diferentes de zero, podemos tomar 2 3 a a 22 P = D = , 5... ann

2 Assim, podemos escrever, Ou componente a componente, temos x (k+) i i Dx (k+) = b +(D A)x (k),k. a ii n X j=,j6=i a ij x (k) j onde k e x () =(x (),x() 2,...,x() n ) éovetorinicial. Método de Gauss-Seidel A,i=,..,n, Quando aplicamos o método de Jacobi, cada uma das componentes do novo vetor x (k+) i é calculada de forma independente das outras. Isto pode sugerir que uma convergência mais rápida poderia ser alcançada se as novas componentes já disponíveis x (k+) j, j =,...,i, juntamente com as antigas x (k) j, j i, são utilizadas para o cálculo de x (k+) i.nestecaso,temos x (k+) i = Xi i a ij x (k+) j a ij x (k) A j,i=,..,n. a ii j= j=i+ Note que a atualização das componenetes é feita de maneira sequencial, enquanto que no método de Jacobi ela é feita simultaneamente. Neste caso, P = D E,ondeE éumamatriztriangularinferiorcujasentradasnãonulas são e ij = a ij,i=2,...,n, j =,...,i. Convergência DEFINIÇÃO: A matriz A de dimensão n n éditadiagonaldominantequando a ii nx j=,j6=i a ij,i=,..,n. Uma matriz diagonal dominante é dita estritamente diagonal dominante quando a desigualdade acima é estrita para cada i, isto é, a ii > nx j=,j6=i a ij,i=,..,n. TEOREMA: Se A éestritamentediagonaldominante,entãoparaqualquer escolha de x(), ambososmétodositerativosdejacobiegauss-seidelproduzem sequências {x (k),k } que convergem a uma única solução do sistema Ax = b. 2

3 DEFINIÇÃO: O raio espectral (M) de uma matriz M éomaiorvalor absoluto de todos os autovalores de M, isto é, (M) =max i, em que i éumautovalordem. TEOREMA: Para qualquer escolha de x (),ambososmétodositerativos de Jacobi e Gauss-Seidel produzem sequências {x (k),k } que convergem aumaúnicasoluçãodosistemaax = b se e somente se (B) <, em que B = P (P A) éamatrizdeiteraçãodorespectivoprocessoiterativo. COROLÁRIO: Os processos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel convergem se para qualquer norma de matrizes, k B k<. Critério de Parada Para aplicar qualquer ḿetodo iterativo escolhemos uma aproximação inicial x () para a solução do sistema Ax = b. Utilizando os métodos iterativos descritos acima, refinamos a solução até uma determinada precisão. Para verificarmos se asoluçãoaproximadaatingiuumadeterminadaprecisãoe devemos, durante o processo iterativo, efetuar o seguinte teste: Se k x(k) x (k ) k kx (k) k <"(erro relativo), onde " éuma precisão pré-fixada; x (k ) e x (k) são duas aproximações consecutivas para x, então x (k) é a solução procurada, isto é, tomamos x = x (k). Códigos Matlab function [x,sp]=jacobi(a,b,x,nit) % JACOBI: metodo de Jacobi de soluçao do sistema Ax=b. % % x=jacobi(a,b,x,nit) % Entradas % -A: matriz nxn; % -b: vetor nx; % -x: vetor nx, ponto de partida das iteraçoes % -nit: numero de iteracoes do metodo % Saida: -x: matriz nxnit,contendo a sequencia de aproximaçoes % da soluçao % -sp: norma de B. O metodo converge se sp<. n=length(b); x=zeros(n,nit); 3

4 x(:,)=x; xx=x; %xx:ponto corrente das iteraçoes P=diag(diag(A)); N=P-A; B=P\N; sp=norm(b); c=p\b; for j=2:nit xx=b*xx+c; x(:,j)=xx; end function [x,sp]=gauss_seidel(a,b,x,nit) % GAUSS: metodo de Gauss-Seidel de soluçao do sistema Ax=b. % % x=gauss(a,b,x,nit) % Entradas % -A: matriz nxn; % -b: vetor nx; % -x: vetor nx, ponto de partida das iteraçoes % -nit:numero de iteracoes do metodo % Saida: -x: matriz nxnit, contendo a sequencia de aproximaçoes % da soluçao % -sp: norma de B. O metodo converge se sp<. n=length(b); x=zeros(n,nit); x(:,)=x; xx=x; %xx:ponto corrente das iteracoes P=tril(A); N=P-A; B=P\N; sp=norm(b); c=p\b; for j=2:nit xx=b*xx+c; x(:,j)=xx; end 4

5 Exercícios. Resolva o sistema 8 < : x + 2x 2 + x 3 = 7 x + 5x 2 + x 3 = 8 2x + 3x 2 + x 3 = 6 pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, dados x () =(.7, "< 2..6,.6) e 2. Sejam n 2 N,nãonuloe" 2 [, ]. Considere o sistema linear A " x = b " de ordem nno qual " " 2. " " A " = " B C ,b " = A A... " 2 C.. " A " 2 " a) Faça uma função MATLAB [A,b]=matriz(n,epsilon) que constroi as matrizes A " e b " de acordo com n e " dados. b) Fixados n =5e " =.3,mostrequeA " éestritamentediagonaldominante. c) Implemente o método de Jacobi em uma função MATLAB [x,it]=jacobi2(a,b,x,tol) que retorna a solução aproximada x do sistema Ax=b pelo método de Jacobi e o número de iterações necessárias it para calculá-la com aproximação inicial x eprecisãotol. d) Implemente o método de Gauss-Seidel em uma função MATLAB [x,it]=gauss_seidel2(a,b,x,tol) que retorna a solução aproximada x do sistema Ax=b pelo método de Gauss-Seidel e o número de iterações necessárias it para calculá-la com com aproximação inicial x eprecisãotol. e) Use as funções dos ítens c) e d) para calcular a solução do sistema A " x = b ",comn =5e " =.3 ecritériodeparadatol =, usando x =(,,,, ) como aproximação inicial. Observe o número de iterações necessárias para a convergência em cada método. 5

6 f) Fixado n = 5 e " =.5, mostre que A " não é estritamente diagonal dominante. Repita o ítem e) e resolva o sistema A " x = b ". O que você pode concluir em relação à convergência dos dois métodos neste caso? g) Fixado n =5, trace o gráfico dos valores dos raios espectrais das matrizes de iteração dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel associadas a A ",respectivamente, em função do parâmetro ", para " =,.,.2,...,. Oquepodemos concluir em relação à convergência dos dois métodos em função do valor de "? 6