A N Á L I S E N U M É R I C A. Sistemas de Equações Lineares

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Brian Ximenes Marinho
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1 Sistemas de Equações Lineares

2 . Inversa O sistema de equações lineares Pode ser escrito na forma matricial por AX=B Onde O sistema terá solução única caso e a sua solução pode ser obtida por Em Matlab: det(a) X=inv(A)*B A*X % verificação.25x +.2y +.4z = 2.3 {.375x +.5y +.6z = 4.8.5x +.3y = x 2.3 A = [ ] X = [ y] e B = [ 4.8].5.3 z 2.9 det (A) X = A B. 2. Método de Eliminação de Gauss function x = Gauss(A, b) [n, n] = size(a); % Descobre a dimensão de A [n, k] = size(b); % Descobre a dimensão de b x = zeros(n,k); % Cria uma matriz x for i = :n- m = -A(i+:n,i)/A(i,i); % multiplicadores A(i+:n,:) = A(i+:n,:) + m*a(i,:); b(i+:n,:) = b(i+:n,:) + m*b(i,:); ; x(n,:) = b(n,:)/a(n,n); % Retrosubstituição for i = n-:-: x(i,:) = (b(i,:) - A(i,i+:n)*x(i+:n,:))/A(i,i); Sistemas de Equações Lineares 2

3 O método de eliminação de Gauss consiste em escrever a matriz ampliada A B em escada e depois fazer-se a retrosubstituição. Para resolver o sistema dado na secção basta guardar um m-file (script) com a função Gauss dada e depois correr a instrução Gauss(A,B) 3. Factorização LU Neste método usa-se o comando do Matlab lu: [L,U,P]=lu(A) A matriz L que se obtém é triangular inferior, a matriz U é triangular superior e a matriz P é uma matriz de permutações que indica ou não que é necessário fazer troca de linhas para obter a factorização LU. No exemplo da secção, obtém-se o seguinte resultado para a matriz P P = [ ] que mostra que se teve de trocar a linha 3 com a linha. Assim para resolvermos por este método poder-se-á trocar logo no início as matrizes A e B pela seguintes matrizes A 2 = [ ] e B 2 = [ 4.8] Recomeça-se a factorização no Matlab [L,U,P]=lu(A 2 ) Note-se que o sistema escreve-se agora por AX = B <=> LUX = B E portanto tem-se que que realizar os seguintes passos para resolver o sistema:. LY=B para descobrirmos a matriz Y 2. UX=Y para descobrirmos a solução X. Ou seja, no Matlab Sistemas de Equações Lineares 3

4 Y=subs(L,B2) X=retro(U,Y) onde as funções subs e retro são definidas por function x = subs(a, b) [n, n] = size(a); % Descobre a dimensão de A [n, k] = size(b); % Descobre a dimensão de b x = zeros(n,k); % Cria uma matriz x x(,:) = b(,:)/a(,); % substituição for i = 2::n x(i,:) = (b(i,:) - A(i,:i-)*x(:i-,:))/A(i,i); e function x = retro(a, b) [n, n] = size(a); % Descobre a dimensão de A [n, k] = size(b); % Descobre a dimensão de b x = zeros(n,k); % Cria uma matriz x x(n,:) = b(n,:)/a(n,n); % Retrosubstituição for i = n-:-: x(i,:) = (b(i,:) - A(i,i+:n)*x(i+:n,:))/A(i,i); 4. Pesquisa Parcial de Redutor O Matlab tem por defeito uma função que factoriza a matriz A em LU e resolve o sistema com escolha parcial de redutor: linsolve(a,b) Sistemas de Equações Lineares 4

5 5. Exemplo O sistema AX=B onde as matrizes A e B são A = [ ] e B = [ ] Tem como solução Resolva-se no Matlab pelos diversos métodos: X =. [ ] Inversa Gauss PPR Factorização de Cholesky Dada uma matriz A simétrica definida positiva, a factorização de Cholesky consiste em obter uma matriz L triangular inferior tal que A = LL T. Em Matlab, o comando Sistemas de Equações Lineares 5

6 chol(a,'lower') fornece a matriz L. Se se só fizer chol(a), obtém-se a matriz L T. Para resolver o sistema matricial AX=B, onde Ter-se-á que usar os seguintes comandos: L= chol(a,'lower') Y=subs(L,B) X=retro(L,Y) 2 2 x 6 A = [ 2 ] X = [ y] e B = [ 4] 2 2 z Método de Jacobi Um método iterativo é um um conjunto de procedimentos que permite obter uma solução aproximada e melhorada do sistema a partir de outra solução aproximada. function X=jacobi(A,B,P,delta, max) % - P is an N x matrix; the initial guess % - delta is the tolerance for P % - max is the maximum number of iterations % Output - X is an N x matrix: the jacobi approximation to % the solution of AX = B N = length(b); for k=:max for j=:n X(j)=(B(j)-A(j,[:j-,j+:N])*P([:j-,j+:N]))/A(j,j); err=abs(norm(x'-p)); relerr=err/(norm(x)+eps); P=X'; if (err<delta) (relerr<delta) break X=X'; Sistemas de Equações Lineares 6

7 Os métodos iterativos que se irão estudar são o método de Jacobi e o método de Gauss-Seidel. O código para estes métodos foi retirado do file Exchange do Matlab e que se encontra no livro Numerical Methods Using Matlab de J.H.Mathews e de K.D.Fink. 8. Método de Gauss-Seidel function X=gseid(A,B,P,delta, max) N = length(b); for k=:max for j=:n if j== 9. Exemplo X()=(B()-A(,2:N)*P(2:N))/A(,); elseif j==n else X(N)=(B(N)-A(N,:N-)*(X(:N-))')/A(N,N); %X contains the kth approximations and P the (k-)st X(j)=(B(j)-A(j,:j-)*X(:j-)-A(j,j+:N)*P(j+:N))/A(j,j); err=abs(norm(x'-p)); relerr=err/(norm(x)+eps); P=X'; X=X'; if (err<delta) (relerr<delta) break Resolva-se pelos métodos iterativos o sistema AX=B onde A solução deste sistema é 4 4 A = [ 4 ] 5 e B= 3 [ 5] Sistemas de Equações Lineares 7

8 Use-se a seguinte aproximação inicial A N Á L I S E N U M É R I C A 2 X =. 2 [ 2] X () = [.25] Jacobi k x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6,25,25,75,25,25,5625,5,325,375,5625,5 2,7325,734375,625,57825,7325, ,839844,8233,74694,773438,839844,8233 4,8962,9332,86328,84668,8962,9332 5,9465,93457,9747,9748,9465, ,965,964783,9595,94453,965, ,978745,97666,966293,96994,978745, ,98565,9877,98857,979656,98565,9877 9,992257,9938,98772,9895,992257,9938,99476,995327,99339,992589,99476,995327,99779,996837,995527,996,99779, ,9989,998298,997593,9973,9989, ,9989,998298,997593,9973,9989, ,998973,998848,99837,998547,998973, ,99935,99938,99923,9997,99935, ,999626,99958,99946,99947,999626,99958 Sistemas de Equações Lineares 8

9 Gauss-Seidel k x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6,25,25,75,25,25,5625,57825,39625,554688,6656,837 2,74288,82429,739258,84797,885742, ,89869,93367,9462,94243,95922, ,959442,975464,965244,97923,98557,9945 5,98577,995,987339,992359,994596, ,994597,996739,995388,99726,99832, ,99832,99882,99832,998986,999283, ,99832,99882,99832,998986,999283, ,999739,999842,999777,999865,99995,999943,99995,999943,99999,99995,999965,999979,999965,999979,99997,999982,999987, ,999987,999992,999989,999993,999995, ,999995,999997,999996,999998,999998, ,999998,999999,999999,999999, , , Sistemas de Equações Lineares 9

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