étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Transcrição

1 étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 206

2 Determinação Numérica de Auto-Valores e Auto-Vetores 2

3 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores 2. - Método das Potências: Consiste em determinar o auto-valor de maior valor absoluto de uma matriz A, e seu correspondente auto-vetor, sem determinar o polinômio característico. O método é útil na prática, desde que se tenha interesse em determinar apenas alguns auto-valores, de módulo grande, e, que estes estejam bem separados, em módulo, dos demais. O método das potências baseia-se no teorema a seguir. Método iterativo! 3

4 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Teorema: Seja A uma matriz real de ordem n e sejam, 2,..., n seus auto-valores e u, u 2,..., u n seus correspondentes auto-vetores. Suponha que os auto-vetores são linearmente independentes, e que: Seja a sequência y k definida por: y Ay, 2 k k k n 0,,2, Onde y 0 é um vetor arbitrário que permite a expansão: y 0 n j c j u j Com c j escalares quaisquer e c 0, então: lim k yk r y k r Onde o índice r indica a r-ésima componente, e quando k y k tende ao auto-vetor correspondente a (maior auto-valor). Prova 2 Anexo.

5 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Assim, para obter, utiliza-se o algoritmo dado a seguir: A partir de um vetor y k, arbitrário, não nulo, são construídos dois outros vetores y k+ e z k+, do seguinte modo: z k Ay k y z onde max z, k k k k r n r k ou seja: dado um vetor y 0 qualquer, não nulo, tem-se a sequência: 5

6 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores y A Ay z y A z y y A z y y A Ay z y A z y y A Ay z Ay z y Ay z k k k k k k k k k Assim para tem-se : 0 0 lim lim r k r k k r k r k k y A y A y z 6

7 Observações: 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores. No limite, todas as componentes de (z k+ ) r /(y k ) r tendem a. Entretanto, na prática, uma das componentes converge mais rapidamente do que as outras. Assim, quando uma das componentes satisfizer a precisão desejada tem-se o auto-valor procurado. Além disso, a velocidade de convergência depende de 2 /. Portanto, quanto maior for quando comparado com 2, mais rápida será a convergência. 2. Para obter com uma precisão, em cada passo calcula-se aproximações para. O teste do erro relativo para cada componente de é: k k r k r usado como critério de parada. 7

8 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valoress 3. Quando todas as componentes forem iguais, então o vetor y k dessa iteração é o auto-vetor correspondente ao auto-valor. 4. Se algum vetor resultar no vetor nulo, o método falha. 8

9 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Exemplo: Usando o método das potências determinar o auto-valor de maior valor absoluto da matriz a seguir com precisão 0-2 : A Fazendo y 0 = (,, ) t, tem-se: max Ay z z y z Ay z r 9

10 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Primeira aproximação para : () r r y z max Ay z z y z r Segunda aproximação para : (2) r r y z 0

11 Erro relativo: 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores y 3 z z4 Ay 3 r r Como o erro possui todas a componentes maiores que 0-2 o processo iterativo deve continuar: Terceira aproximação para : (3) z y 4 3 r r

12 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Erro relativo: r r Como a segunda componente é menor que 0-2 : u y3 2

13 Observações: 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores. Para aumentar a precisão basta continuar fazendo iterações. 2. Os auto-valores de A são:, 2 e 7 com auto-vetores: (0.5,, ) t, (, 0.5, ) t e (0.25, 0.5, ) t, respectivamente. 3. O método das potências deve ser aplicado se o objetivo é determinar o auto-valor de maior valor absoluto de uma matriz. A desvantagem desse método é que ele fornece apenas um autovalor de cada vez. Se todos os auto-valores são procurados devese aplicar outros métodos mais eficientes. 4. Algumas vezes o maior auto-valor, em módulo, é o mais importante, mas se não é, deve-se modificar o método. Em alguns problemas, o mais importante é a determinação do auto-valor de menor valor absoluto. Para isso deve-se aplicar a estratégia a 3 seguir.

14 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Método da Potência Inversa: É usado para determinar o auto-valor de menor valor absoluto e seu correspondente auto-vetor de uma matriz A. O método é útil na prática, desde que se tenha interesse em determinar apenas o autovalor, de menor módulo, e, que este esteja bem separado dos demais. Novamente, o método pode não funcionar caso a matriz A não possua auto-vetores linearmente independentes. O método da potência inversa é semelhante ao método das potências, com a seguinte diferença: E deseja-se determinar n. 2 n n 4

15 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Sabe-se que se é auto-valor de A, então é auto-valor de A. Além disso, se n é o menor auto-valor de A, então n - é o maior autovalor de A. Assim, o método da potência inversa consiste em calcular pelo método das potências o auto-valor de maior valor absoluto de A, pois assim tem-se o menor auto-valor, em módulo, de A. Portanto, dado y k, são construídos dois outros vetores y k+ e z k+ da seguinte forma: z y k k n A z k k r k r y y z k k max r n z k r Note que não é necessário calcular A, pois de: z A y Az y k k k k Este método é particularmente conveniente pois as matrizes L e U são 5 independentes de k e portanto basta obtê-las uma única vez.

16 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Exemplo: Determinar o menor auto-valor, em módulo, da matriz usando o método da potência inversa: Os auto-valores de A são: = , 2 = e 3 = Portanto o maior auto-valor de A é 3 - = / , e é esse valor que deseja-se encontrar. Assim, tomando y 0 = (,, ) t em Az = y 0 ou seja fazendo LUz = y 0, segue que:. 6

17 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Resolvendo agora LUz 2 = y, obtem-se: Agora, 2 = Continuando o processo, obtem-se: 7

18 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Finalmente, 4 = , e portanto: Erro relativo: r r Logo é o auto-valor de maior valor absoluto de A. Portanto / 3 =.3385 é o auto-valor de menor valor absoluto de A. 8

19 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Método das Potências com Deslocamento: Suponha agora que A tem auto-valores i, reais, com: 2 3 n n e considere a sequência de vetores definida por: z y k k A qi z k y k k max r n z k r onde I é a matriz identidade de ordem n e q é um parâmetro qualquer. Isto é chamado Método das Potências com Deslocamento, porque A qi tem auto-valores i q, isto é, os auto-valores de A são deslocados q unidades na reta real. A qi tem os mesmos auto-vetores de A. 9

20 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Pode ser mostrado que y k converge para o auto-vetor correspondente àquele que maximiza i q e que: Assim, a escolha apropriada de q pode ser usada para determinar os dois auto-valores extremos, correspondendo ao maior e ao menor autovalor de A. O auto-valor e o auto-vetor dominante são usualmente calculados tomando um deslocamento zero, isto é, o cálculo para determinar e u são realizados na matriz A, através do método das potências. A matriz pode então ser deslocada de para estimar o auto-valor n. 20

21 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Exemplo: Determinar o auto-valor de menor valor absoluto da matriz, usando o método das potências com deslocamento. o auto-valor de maior valor absoluto foi estimado 7. Assim, para determinar o auto-valor de menor valor absoluto, deve-se aplicar o método das potências na matriz: Iniciando com Y 0 =( ) T : 2

22 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Pode-se, então, calcular uma primeira aproximação para *. Assim: Continuando o processo; 22

23 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Assim, o auto-valor dominante de A * é aproximadamente 5.98 com auto-vetor aproximado u * = ( 0.52, 0.94, ) t. A matriz original possui o mesmo auto-vetor mas seu auto-valor é =.02. A lentidão na convergência neste caso se deve ao fato que os autovalores de A * são: 6, 5 e 0 e assim a convergência é governada pela razão: (5/6) k. Em geral, se y k u, então na presença do deslocamento q, a velocidade de convergência depende de: 23

24 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Uma escolha adequada de q pode acelerar a convergência. Por exemplo, se A é uma matriz de ordem 3, com auto-valores: 5, 7 e 0, sem deslocamento a convergência depende de (7/0) k, mas com um deslocamento de 6 dependerá de (/4) k, pois A 6I tem auto-valores:, e 4. Na prática não é trivial encontrar o melhor valor de q, a menos que alguns dos auto-valores sejam conhecidos a priori. Os métodos das potências e /ou o método das potências com deslocamento devem ser utilizados se apenas um ou dois dos auto-valores são desejados. Se o objetivo é determinar mais auto-valores então o método da potência inversa com deslocamento pode ser usado, ou seja, como no método da potência inversa, calcula-se: 24

25 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Usando a decomposição LU: Os auto-valores de (A qi) são /( i q). Novamente, y k converge para o auto-vetor correspondente ao autovalor que maximiza / i q. Escolhas adequadas dos valores de q permitem determinar todos os auto-valores de A, e não somente aqueles correspondentes aos auto-valores extremos. Assim, se o auto-valor próximo a q é j, então o valor de j pode ser calculado a partir de: onde j é o menor auto-valor de (A qi), obtido pelo método da potência inversa com deslocamento q. 25

26 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Exemplo: Determinar o segundo maior auto-valor, em valor absoluto, da matriz: Já foram determinados dois auto-valores desta matriz: 7 e.02. Sabe-se que o traço de uma matriz é igual a soma dos seus autovalores. Neste exemplo o traço de A é 0 e assim o outro auto-valor é aproximadamente.98, o qual será tomado como o valor de q na iteração inversa com deslocamento. Assim: 26

27 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Tomando como vetor inicial y 0 = (,, ) t e fazendo LUz = y 0, tem-se: De LUz 2 = y, obtem-se: Fazendo LUz 3 = y 2, obtem-se: 27

28 2-Métodos que Determinam Alguns Auto-valores Assim, 2* Portanto, o segundo maior auto-valor, em valor absoluto de A é: O sucesso do método das potências com deslocamento depende de nossa habilidade em obter estimativas precisas para usar no deslocamento. Neste último exemplo, uma estimativa para 2 foi obtida usando a relação entre o traço da matriz e a soma dos auto-valores. Infelizmente, para matrizes de ordem > 3, não é fácil obter valores apropriados para os deslocamentos. Como já foi dito, se todos os autovalores são desejados deve-se usar outros métodos. 28

29 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores 3. Auto-valores de Matrizes Simétricas: Matrizes simétricas possuem auto-valores reais e os auto-vetores são linearmente independentes. O método de Jacobi, que será descrito mais adiante, é usado para determinar os auto-valores e auto-vetores, de matrizes simétricas, através de uma série de transformações similares: As matrizes A,A 2,... convergem num número infinito de passos para uma matriz diagonal. Assim, após m passos do método de Jacobi, obtem-se: 29

30 Portanto, se A m+ D: 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores. Os elementos diagonais de A m+ são aproximações para os autovalores de A; 2. As colunas de V = U U 2...U m são aproximações para os autovetores. 30

31 Rotação de Jacobi: 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Seja A uma matriz simétrica. Uma rotação (p, q) de Jacobi é a operação U t AU com U dada por: q, i j Observe que fazer uma rotação de Jacobi é efetuar uma transformação de semelhança na matriz A. 3

32 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Para um melhor entendimento, considere inicialmente, uma rotação (2,4) de Jacobi, em uma matriz A de ordem 4. Efetuando o produto U t A, obtem-se: q, i j 32

33 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Fazendo produto A U. Segue que: 33

34 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Assim, de um modo geral, para uma matriz de ordem n o produto U t A, fornece uma matriz A, onde: e o produto A U fornece uma matriz A, onde: () (2) Portanto, a matriz A tem a seguinte forma: 34

35 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Isto é, na matriz A apenas os elementos das linhas e colunas p e q são alterados, sendo que os elementos a pp, a pq, a qp, a qq são transformados duas vezes. Portanto A continua simétrica. As fórmulas que determinam a passagem de A A, denominada Rotação de Jacobi de um ângulo, para os elementos da interseção são: (3) (4) 35

36 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores (5) 36

37 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Exemplo: Considere a matriz a seguir, Fazer uma rotação de =/2 em torno do elemento (p, q) = (, 3). Tem-se: Agora, utilizando as fórmulas anteriores, obtemos: 37

38 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Usando (2) e (), segue que: Assim: corresponde a uma rotação de 90º em torno do elemento (,3). 38

39 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores 3.. Método Clássico de Jacobi: O Método Clássico de Jacobi, é um método numérico que serve para determinar auto-valores e auto-vetores de matrizes simétricas. Dada a matriz A, efetua-se uma sequência de rotações: onde U i, i =, 2... k são matrizes de rotação, e D é uma matriz diagonal. O processo para construção da matriz A 2, consiste em escolher entre os elementos não diagonais de A o elemento de maior valor absoluto, isto é: 39

40 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Fazer então, uma rotação com a finalidade de zerar o elemento a pq. A seguir reaplica-se o processo à matriz resultante tantas vezes quantas forem necessárias, de tal modo a reduzir a matriz A à uma matriz diagonal D, cujos elementos são os auto-valores de A. Assim, no primeiro passo deve-se zerar o elemento a pq. O objetivo é obter a pq = 0. De (5), tem-se a expressão para a pq e impondo que o mesmo seja identicamente nulo, segue que: Portanto: 40

41 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Agora: Seja t = tg ; tem-se cotg 2 =, assim: Portanto: Obtem-se então: Multiplicando o numerador e denominador por segue que: 4

42 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Computacionalmente adota-se: Observe que deve-se escolher o sinal positivo ou negativo de de modo a obter o denominador de maior módulo, pois assim tem-se sempre t. Agora, tem-se as seguintes fórmulas para a secante de um ângulo : Assim: Logo: 42

43 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Resumindo, o método de Jacobi, consiste em: O processo deve ser repetido até ser obtida uma matriz diagonal. Observe que em cada passo k, o item 3) acima pode ser substituído pelo produto U t k A k U k. 43

44 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valoresetores Cálculo dos Auto-vetores: Ao mesmo tempo que calcula-se os auto-valores de uma matriz A pelo método de Jacobi pode-se obter seus auto-vetores. A sequência de matrizes A k é calculada por recorrência através de: Como A = A obtem-se: onde V = U U 2...U k U k. Com a hipótese que A k D obtem-se que D = V t AV, onde V é matriz ortogonal, pois a matriz V é produto de matrizes ortogonais. Assim D contém os auto-valores de A e V contém seus correspondentes autovetores (em colunas), isto é, a j-ésima coluna de V é o auto-vetor 44 correspondente ao auto-valor j.

45 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Observe que em cada passo do método de Jacobi, um par de elementos fora da diagonal torna-se zero. Assim pode parecer, à primeira vista, que uma matriz diagonal é obtida após um número finito de passos. Entretanto, isso não é verdade porque transformações ortogonais subsequentes destroem os zeros criados anteriormente. Apesar disso, é possível mostrar que quando um zero é criado nas posições (p, q) e (q, p), a soma dos quadrados dos elementos não diagonais da matriz A k, S(A k ), decresce de 2a 2 pq. 45

46 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Exemplo: Determinar os auto-valores e correspondentes auto-vetores da matriz a seguir pelo método de Jacobi: Como a matriz é 2 2 para diagonalizar A deve-se zerar o elemento (, 2). Assim: (p, q) = (, 2). Tem-se então que: Portanto: 46

47 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Assim: Logo os auto-valores de A são: = 5; 2 = 9 e desde que: os auto-vetores, correspondentes, são: 47

48 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Exemplo: Determinar, usando o método de Jacobi, os auto-valores da matriz: O maior elemento, em módulo, fora da diagonal principal da matriz A = A, é o elemento a 23 = a 32 = 3. Assim: Portanto, t = 0.847, cos' = c = , sen' = s = Como já foi dito pode-se aplicar as fórmulas de rotação, ou simplesmente efetuar o produto U A U, para obter A 2, onde: 48

49 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores O elemento de maior valor absoluto, na matriz A 2 é a 2 = a 2 = Assim: Então: Agora (p, q) = (, 3), =.6360, t = 0.284, c = , s = , e: 49

50 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Novamente (p, q) = (2, 3) e assim efetuando os cálculos segue que: = , t = , c = 0.996, s = Portanto: Observe que os elementos não diagonais da sequência A k 0, à medida que k aumenta. Assim os elementos diagonais da sequência A k convergem para os auto-valores de A que são:.4563, , Uma precisão maior pode ser obtida continuando o processo. Além disso, se deseja-se uma aproximação para os auto-vetores, basta efetuar o produto U U 2 U 3 U 4. 50

51 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores 3.2 Métodos Numéricos para Matrizes não simétricas 3.2. Método de Rutishauser (ou Método LR): O método de Rutishauser ou Método LR permite, sob certas condições, determinar todos os auto-valores de uma matriz, sem determinar o polinômio característico. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O método consiste em construir uma sequência de matrizes A,A 2,... do seguinte modo: decompor A = A no produto L R onde L é triangular inferior com na diagonal e R é triangular superior. (Decomposição LU). Então, A = L R. Agora, multiplica-se as duas matrizes na ordem inversa e formase a matriz A 2 = R L, e compõe-se, a seguir, a matriz A 2 no produto de duas matrizes triangulares L 2 e R 2 e assim por diante. Então: Para matrizes simétricas a técnica também funciona, porém o custo computacional é elevado! 5

52 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Observações:. Pode-se provar que: Se os auto-valores de A são distintos a sequência {A k } converge para uma matriz triangular superior R. 2. Os elementos diagonais da matriz A k são os auto-valores procurados. 3. O processo termina quando o elemento de maior valor absoluto da matriz A k, (abaixo da diagonal principal), for menor que, onde é uma precisão pré-fixada. 52

53 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Exemplo: Calcular os auto-valores da matriz a seguir pelo método de Rutishauser com precisão de

54 3-Métodos que Determinam Todos os Auto-valores Como os elementos abaixo da diagonal principal de A 4 são, em módulo menor que 0 2 ) A 4 R. Assim, os auto-valores de A são: Observe que os auto-valores de A são: , e O método de Rutishauser permite obter também os auto-vetores. Entretanto o cálculo dos auto-vetores, por este método, é um tanto trabalhoso. 54

55 Referencias Bibliográficas. GOURLAY, A.R.;WATSON,G.A.- Computational Methods for Matrix Eigenproblems. John Wiley & Sons, Franco, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Prentice Hall,