Uma equação linear com n variáveis tem a seguinte forma:

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1 Edgard Jamhour

2 Uma equação linear com n variáveis tem a seguinte forma: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b onde a 1, a 2,..., a n e b são constantes reais. Um sistema de equações lineares é um conjunto de m equações do tipo: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m

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4 Um sistema de m equações e n incógnitas para ser representado na seguinte forma matricial: A x = b Se m = n o sistema é dito quadrado Matrix de coeficientes (m x n) Vetor de incógnitas (n x 1) Vetor independente (m x 1)

5 Existe uma única solução que satisfaz a todas as equações simultaneamente Número de equações independentes deve ser igual ao número de incógnitas Se o determinante de A for 0, o sistema possui equações linearmente dependentes Se b = ( ) T, o sistema é dito homogêneo pois x = ( ).

6 Existem inúmeras soluções que satisfazer as equações Isso acontece quando o número de equações é menor que o número de incógnitas Isso acontece também com matrizes quadradas com equações linearmente dependentes (determinante de A = 0)

7 Não possui solução O determinante de A é nulo

8 Permitem resolver o sistema através de substituições sucessivas : Inferior Superior

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10 Passo 1: X 4 = 1 Passo 2: X 3 = 2 (usando x 4 ) Passo 3: X 2 = -1 (usando x 3 e x 4 ) Passo 4: X 1 = 3 (usando x 2, x 3 e x 4 )

11 Diretos: Fornecem solução exata do sistema linear, caso exista, após número finito de operações Método de Gauss Método da Eliminação de Jordan Fatoração LU Iterativos: Geram uma sequência de valores x (k) a partir de uma aproximação inicial: x (o). Sob certas condições, esta solução converge para x *, caso exista. Método de Jacobi Método de Gauss-Siedel

12 Estratégia: Transforar o sistema dado num sistema triangular superior equivalente efetuado operações sucessivas de produto e adição entre as equações. Combinação linear entre equações Sistema Original Sistema Equivalente

13 Matriz Aumentada: Não altera o sistema de equações: Multiplicar ou dividir todos os elementos de uma linha da matriz aumentada pela mesma constante Somar linhas da matriz aumentada Trocar a posição das linhas da matriz aumentada

14 L1=L1/3 L2=L2-L OU L2=L2-L1/

15 Eliminar os elementos a a n1 L i = L i - (a i1 /a 11 ).L 1 onde: i=2... n Eliminar os elementos a a n2 L i = L i - (a i2 /a 22 ).L 2 onde: i=3... n... Eliminar o elemento a n,n-1 L n = L n - (a n,n-1 /a n-1,n-1 ).L n-1 Pivô a11 a12 a13 a14 b1 a21 a22 a23 a24 b2 a31 a32 a33 a34 b3 a41 a42 a43 a44 b

16 Elimina o elemento (l,c) da matrix Ab: Ab l,c novalinha lb, l, c = Ab l Ab(lb) Ab(lb,c) lb: linha de referência (contém o pivot) l: linha que será modificada c: coluna que será modificada Ab(l): linha l Ab(l,c): elemento da linha l, coluna c Ab(lb): linha lb Ab(lb,c): elemento da linha lb, coluna c

17 Elimina todos os elementos de uma coluna abaixo da diagonal: eliminacoluna(lb,c) = Repetir de l=c+1 até n: Ab(l) = novalinha(lb, l, c) Transforma o sistema em triangular superior: Repetir de l=1 até n: eliminacoluna(l,l)

18 Resolver o seguinte sistema de equações: 2 x1 + 3x2 - x3 =5 4 x1 + 4x2-3x3 = 3 2 x1-3x2 + x3 = -1 Matrix aumentada:

19 novalinha(1,3,1) novalinha(1,2,1) novalinha(2,3,2)

20 2 x1 + 3x2 - x3 = 5-2x2 - x3 = -7 5 x3 = 15 x3 = 3 x2 = 2 x1=1

21 Resolver o seguinte sistema de equações: x1 + 4 x x3 = x x2-3 x3 = x1 +2 x x3 = 38 Matrix aumentada:

22 novalinha(1,2,1) novalinha(1,3,1) novalinha(2,3,2)

23 x1 + 4x2-52x3 = 57 2x2-1407x3 = x3 = x3 = 1 x2 = 1 x1 =1

24 Resolver o seguinte sistema de equações: 3 x1 + 0 x2 + x3 = 6 x1 + 0 x2 + x3 = x1 +2 x2 + 3 x3 = 7 Matrix aumentada:

25 novalinha(1,3,1) novalinha(1,2,1) Permutação de linhas

26 Método semelhante ao de Gauss, mas utilizar como pivô a cada passo o elemento de maior valor absoluto abaixo da diagonal. O objetivo desta estratégia é minimizar a amplificação de erros de arredondamento durante as eliminações.

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28 Aprimoramento do método de Gauss onde a eliminação de elementos da matriz é feita até obter-se uma matriz do tipo diagonal a b1 0 a b a nn bn

29 novalinha(3,2,3) novalinha(2,1,2) novalinha(3,1,3)

30 2 x1 = 2-2 x2 = -4 5 x3 = 15 x3 = 3 x2 = 2 x1=1

31 Seja A uma matriz quadrada. A decomposição LU transforma a matriz a no produto de duas matrizes: A = L.U A L U

32 Sistema Original: A x = b Sistema Fatorado: A x = (L U) x = b Propriedade Comutativa: A x = L (U x) = b Supondo U x = y Novo sistema de equações: L y = b Solução em duas etapas: Encontrar y resolvendo L y = b Encontrar x resolvendo U x = y

33 x1 + 6 x2 +1x3 = 5 2x1 +2x2 + 3 x3 = 7 3x1 + 5x2 + 1x3 =6. = A x b =. A L U

34 . =. = L y b U x b i=2,...,n i=n-1,...,1

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36 A = a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 O método de decomposição LU oferece uma forma eficiente para calcular determinantes, pois: Det(A) = Det(L).Det(U) Devido a forma da matriz: Det(L) = 1 Det(U) = produto dos elementos da diagonal

37 =. A L U Det(A) = 1*-10*-(33/10) = 33

38 A matriz U corresponde a matriz A transformada em triangular superior, o que pode ser feito pelo método de Gauss. A matriz L determina-se impondo-se a condição: =

39 = l 21 =a 21 /u 11, l 31 =a 31 /u 11, l 41 =a 41 /u 11 l 32 =(a 32 - l 31 u 12 )/u 22, l 42 =(a 42 - l 41 u 12 )/u 22 l 43 =(a 43 - l 41 u 13 - l 42 u 23 )/u 33

40 Se i<j: l ij =0 Se i=j: l ij =1 Se j=1 e i>1: l ij = 1 a u ij jj Demais casos: l ij = 1 j 1 a u ij l ik jj k=1 u kj

41 6/5 12/5 (-28/5)/(-14/5)=2

42 Em algumas aplicações, deseja-se calcular o valor de x para diferentes valores de b, mas usando a mesma matriz A. Utilizando apenas o método de eliminação de Gauss, é necessário transformar a matriz aumentada que inclui o vetor b em triangular superior. Como as matrizes L e U são independentes de b, não é necessário recalculá-las quando b é alterado.

43 Objetivo: resolver o sistema linear A x = b de forma iterativa. A partir de uma solução inicial x 0 gera-se uma sequência de soluções x 1, x 2,..., x k que aproxima de forma interativa a solução do sistema. Forma iterativa: x k = g(x k-1 )

44 Sistema original: Isolando x i na linha i:

45 Assumindo-se uma solução inicial: x k = x 1 k x 2 k x n k Calcula-se uma solução mais aproximada:

46 Forma compacta: Critério de Convergência:

47 A convergência independente do vetor inicial escolhido. Critério de linhas: critério suficiente de convergência O sistema possua diagonal principal estritamente dominante, ou seja:

48 Considerando o seguinte sistema de equações: Considerando uma solução inicial x 0 :

49 Solução exata: x = [1 2 3] Aproximações:

50 Semelhante ao método de Jacobi, mas procura reutilizar os valores já calculados em uma interação para estimativa dos termos seguintes. x (k+1) = [ x 1 k x 2 k x 3 k... x n k ] f(x (k+1) 1... x (k+1) n-1 ) f(x (k+1) 1 x (k+1) 2 x k 4... x nk ) f(x 1(k+1) x k 3... x nk ) x (k+1) 1 = f(x k 2... x nk )

51 Forma estendida: Forma compacta:

52 O critério das linhas pode ser aplicado ao método de Gauss-Seidel. A condição de Sassenfeld define uma condição suficiente para convergência do método. Convergência se M < 1