Sistemas Lineares - Decomposição LU

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1 Sistemas Lineares - Decomposição LU Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES, Brasil

2 2-23 Decomposição LU Algoritmo

3 Fatoração LU Substituição Fatoração LU da matriz A permutada: PA = LU onde P é uma matriz de permutação de linhas L é uma matriz triangular inferior unitária (l ii =, i) U é uma matriz triangular superior 2 2: [ ] [ ] [ ] A = L 8 5 L 2 L L 2 (4/8)L 0 /2 [ ] [ ] PA = = [ ] 8 5 = 4 3 [ ] [ ] = LU 4/8 0 /2

4 4-23 Fatoração LU Substituição Processo de Substituição: A x = b PA x = Pb LU x = Pb U x = y, então L y = Pb L y = P b, Substituição Progressiva e determino y; 2 U x = y, Substituição Regressiva e determino a solução x. [ ] [ ] [ ] [ ] 4 3 x 7 2 2: =, solução exata = 8 5 x 2 3 [ ] [ ] 0 y = 4/8 y 2 [ ] [ ] 0 7 = 0 3 [ ] [ ] 8 5 x = 0 /2 x 2 [ ] 3 /2 [ ] 3 7 [ x x 2 ] = [ y y 2 ] = [ ] [ ] 3 /2

5 Cálculo do determinante Cálculo da inversa Vigas em balanço onde Cálculo do determinante: PA = LU det(pa) = det(lu), então, pela propriedade de determinantes, det(l) = n det(u) = i= det(a) = det(l)det(u), det(p) u ii (produto dos pivôs) det(p) = ( ) t onde t é o número de permutações det(a) = ( ) t n i= u ii

6 6-23 Cálculo do determinante Cálculo da inversa Vigas em balanço Cálculo da inversa: [A] [A] = [A] [A] = [I ] 3 3: [A] [A] = [I ] = matriz identidade a a 2 a 3 x x 2 x a 2 a 22 a 23 x 2 x 22 x 23 = 0 0 a 3 a 32 a 33 x 3 x 32 x Fatoração LU de A: PA = LU 2 Resolve L U x j = P I j, j =, 2, 3, onde x j x j = x 2j e I j = j-ésima coluna de [I ] x 3j

7 7-23 Cálculo do determinante Cálculo da inversa Vigas em balanço Estudo da deformação de uma viga em balanço carregada por uma força F. Figura: Viga em balanço (autor:lechatjaune) O problema discretizado por um método de aproximação produz um sistema de equações lineares do tipo A x = b, onde b depende do valor da força F aplicada. No estudo da deformação temos que resolver n sistemas do tipo A x = b i para i =,, n. Solução: Fatoração LU de A: PA = LU 2 Resolve L U x = P b i, i =,, n

8 8-23 LU usando matrizes Cálculo de L e U : A = 5 L L L 2 L 2 (3/5)L L 3 L 3 (/5)L 5 0 7/5 8/5 L 2 L 3 0 6/5 9/ /5 9/5 L 3 L 3 ( 7/6)L 2 0 6/5 9/5 0 7/5 8/ / / /5 9/5 = 3 4 = P A 3/5 7/ /

9 LU usando matrizes Cálculo de L e U L L 2 : P A = A = L 2 L 2 (3/5)L, L 3 L 3 (/5)L : M A = A / = 0 7/5 8/5 / /5 9/5 L 2 L 3 : P 2 A 2 = A /5 8/5 = 0 6/5 9/ /5 9/5 0 7/5 8/5

10 LU usando matrizes Cálculo de L e U L 3 L 3 ( 7/6)L 2 : M 2 A 3 = U /5 9/5 = 0 6/5 9/5 0 7/6 0 7/5 8/ /6 Cálculo de P e L: M 2 P 2 M P A = U M 2 P 2 M ((P 2 ) P 2 )P A = U (M 2 P 2 M (P 2 ) )(P 2 P ) A = U (P 2 P ) A = (M 2 P 2 M (P 2 ) ) U P = P 2 P L = (M 2 P 2 M (P 2 ) )

11 LU usando matrizes Cálculo de L e U (P 2 ) = P = (M ) = 3/5 0 onde M = 3/5 0 /5 0 / M = P 2 M P 2 = 0 0 3/ / = /5 0 3/5 0 4 L = (M 2 P 2 M P 2 ) = (M 2 M ) = ( M ) (M 2 )

12 2-23 LU usando matrizes Cálculo de L e U Fatores P e L: P = P 2 P = = L = ( M ) (M 2 ) = / = /5 0 3/ /6 3/5 7/6

13 3 3: x x 2 x 3 Pseudocódigo para a Decomposição LU 2 = 7, sol. exata = 2 Resolver pelo método de decomposição LU com três casas decimais. ) Fatoração LU: 5 L L L 2 (0.6)L L L 3 (0.2)L L 2 L L 3 L 3 ( 0.438)L A =

14 4-23 Pseudocódigo para a Decomposição LU Cálculo do vetor de permutação: p = 2 L L 2 L 2 L 3 3 p = ) Processo de Substituição: P A x = P b L U x = P b ) L y = P b 0 0 y b[ p[] ] b[2] y 2 = b[ p[2] ] = b[3] = y 3 b[ p[3] ] b[] 2 y 7 y 2 = 0.6 y 3.937

15 Pseudocódigo para a Decomposição LU 2) U x = y 5 x x 2 = x x.000 x 2 = x Cálculo do resíduo: r = b A x, onde x é a solução aproximada r = =

16 Pseudocódigo para a Decomposição LU : sistema x 6 x 2 x 3 = 8, sol. exata = x 4 7 Primeiro Passo: Escolher o pivô (a ), trocar linhas e eliminar os coeficientes da primeira coluna abaixo da diagonal L 2 L 2 ( 3/7)L L L L L 3 ( 2/7)L L 4 L 4 (/7)L

17 Pseudocódigo para a Decomposição LU Segundo Passo: Escolher o pivô (a 22 ), trocar linhas e eliminar os coeficientes da segunda coluna abaixo da diagonal L 3 L 3 (2.74/7.57)L L 4 L 4 (.857/7.57)L

18 8-23 Pseudocódigo para a Decomposição LU Terceiro Passo: Escolher o pivô (a 33 ), trocar linhas e eliminar os coeficientes da terceira coluna abaixo da diagonal L 3 L L 4 L 4 (.98/5.434)L

19 Pseudocódigo para a Decomposição LU A = Cálculo do vetor de permutação: p = 2 3 L L 2 3 L 3 L 4 4 p = b[2] P b = b[] b[4] = 6 7 b[3] 8

20 20-23 Pseudocódigo para a Decomposição LU Processo de Substituição: P A x = P b L U x = P b ) L y = P b y y y y 3 = 6 7 y 2 y 3 = y 4 8 y ) U x = y x x x 3 = x x.000 x 2 x 3 = x 4.00

21 2-23 Pseudocódigo para a Decomposição LU Cálculo do Resíduo: R = b Ax R = = Observação: Na fatoração LU, como na eliminação de Gauss, todos os multiplicadores são em módulo menores ou iguais a por causa do pivoteamento parcial. Além disso, a solução obtida é exata a menos dos erros de ponto flutuante, ou seja, o resíduo é bem pequeno e da ordem dos número de casas decimais utilizada nos cálculos.

22 22-23 Pseudocódigo para a Decomposição LU Pseudocódigo para a implementação da decomposição LU [2]:

23 Pseudocódigo para a Decomposição LU [] Algoritmos Numéricos, Frederico F. Campos, Filho - 2 a Ed., Rio de Janeiro, LTC, [2] Métodos Numéricos para Engenharia, Steven C. Chapa e Raymond P. Canale, Ed. McGraw-Hill, 5 a Ed., [3] Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais, Márcia A. G. Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Ed. Pearson Education, 2 a Ed., 996.