Integração numérica. Integração (numérica ou analítica) é o valor total ou somatório de f(x) dx no intervalo de a a b 2013/05/09 MN 1

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1 Integração numérica Integração (numérica ou analítica) é o valor total ou somatório de f(x) dx no intervalo de a a b I b f x dx a 2013/05/09 MN 1

2 Integração numérica Quando uma função é muito complicada para ser integrada analiticamente, empregam-se métodos numéricos. O que se faz basicamente é calcular aproximadamente a área por baixo da curva que representa a função. Podemos ter dados contínuos, representados por uma expressão, ou discretos, fornecidos através de uma tabela. 2013/05/09 MN 2

3 Integração numérica Fórmulas de Newton-Cotes I b a f x Função original n b dx i1 a f i x dx Polinómio Substitui-se o integral da função pela soma de integrais de polinómios. 2013/05/09 MN 3

4 Newton-Cotes As funções integrandas podem ser polinómios de qualquer ordem. O integral pode ser calculado numa série de intervalos para melhorar a precisão. 2013/05/09 MN 4

5 Fórmulas abertas e fechadas a) fórmula fechada, conhecemos as extremidades do intervalo b) fórmula aberta 2013/05/09 MN 5

6 Regra do trapézio Newton-Cotes fechada b I f n x dx I a f (a) f b f a b x adx a b a f b 2 I b a f a 2013/05/09 MN 6

7 Regra do trapézio O nome da regra vem do cálculo da área do trapézio situado entre a,f(a) e b,f(b). Também podemos dizer que o integral é aproximado pelo produto da largura do intervalo pela altura média da função nesse intervalo. 2013/05/09 MN 7

8 Erro na regra do trapézio Uma aproximação ao erro cometido pela regra do trapézio é dada por E t 1 12 f b a 3 em que é um ponto do intervalo. Verificase que o erro é proporcional ao cubo da dimensão do intervalo, pelo que para diminuir o erro podemos diminuir esta dimensão. 2013/05/09 MN 8

9 Erro na regra do trapézio 2013/05/09 MN 9

10 Erro na regra do trapézio No caso da subdivisão de [a,b] x n x 1 x 2 x n I f n x dx f n x dx f n x dx f n x dx x 0 I x 1 x 0 f x 0 fx 1 2 I h n1 2 f x 0 2 fx i f x n i 1 x 0 x 1 x 2 x 1 f x 1 f x 2 2 x n1 x n x n1 f x n1 f x n 2 Regra do trapézio composta 2013/05/09 MN 10

11 Regra do trapézio composta 2013/05/09 MN 11

12 Regra do trapézio composta 2013/05/09 MN 12

13 Erro na regra do trapézio Voltemos à expressão do erro. Se a função a integrar é linear o erro é nulo. Para funções de grau superior o erro aparece diferente de zero E t 1 12 f b a /05/09 MN 13

14 Erro na regra do trapézio Para determinar a ordem de grandeza do erro, calcula-se o valor médio da segunda derivada da função no intervalo considerado. O valor médio de uma função num intervalo é b f ( x) dx a b a 2013/05/09 MN 14

15 Erro na regra do trapézio No nosso caso, para uma dada função será b '' f ( x) dx a b a que será aplicada na expressão da regra do trapézio composta da seguinte forma: 2013/05/09 MN 15

16 Erro na regra do trapézio 3 n b a '' Et f ( i ) 3 12n i 1 Podemos fazer a média da segunda derivada para o intervalo todo f '' n i 1 f '' n i 2013/05/09 MN 16

17 Erro na regra do trapézio f '' i nf '' E a ( b a) 2 12n 3 f '' O que permite concluir que, cada vez que duplicamos o número de subintervalos, dividimos o erro por quatro 2013/05/09 MN 17

18 Exemplo v sqrt(9.81*68.1/0.25)*tanh(sqrt(9.81*0.25/68.1)*t) v >> format long >> trap(v,0,3,5) ans = >> trap(v,0,3,100) ans = >> trap(v,0,3,1000) ans = O valor calculado analiticamente é 41, /05/09 MN 18

19 Regras de Simpson As regras de Simpson são obtidas empregando polinómios de segundo e terceiro grau para interpolar os pontos dados. 2013/05/09 MN 19

20 Regras de Simpson A mais utilizada corresponde à figura anterior (a) e emprega uma parábola obtida por interpolação de Lagrange f n x x x 1 x 0 x 1 x x 2 f x 0 x 0 x 2 x x 0 x 1 x 0 x x 2 f x 1 x 1 x 2 x x 0 x 2 x 0 x x 1 f x 2 x 2 x 1 para três pontos fica x 2 I f n x dx x 0 I h 3 f x 0 4 f x 1 f x 2 Esta é a regra do 1/3 de Simpson 2013/05/09 MN 20

21 Regras de Simpson Podemos também subdividir o intervalo para obter a regra de Simpson composta. x n x 2 x 4 x n I f n x dx f n x dx f n x dx f n x dx x 0 x 0 Note-se que o número de intervalos tem de ser par x 2 I h 3 f x 0 4 f x 1 f x 2 h 3 f x 2 4 f x 3 f x 4 h 3 f x n2 4 f x n1 f x n I h n1 n2 3 f x 0 4 f x i 2 f x i i1 j2 i, odd j, even f x n x n2 2013/05/09 MN 21

22 Regras de Simpson O erro para a regra do 1/3 composta é aproximado por E a 5 b a (4) 180n 4 f com a notação habitual. 2013/05/09 MN 22

23 Regras de Simpson Regra dos 3/8 Usam-se polinómios do terceiro grau para interpolar quatro pontos x 3 I f n x dx x 0 I 3h 8 f x 0 3 f x 1 3 f x 2 f x /05/09 MN 23

24 Regras de Simpson Neste caso o número de intervalos tem de ser ímpar. Por vezes usam-se as duas fórmulas alternadamente. 2013/05/09 MN 24

25 Abramowitz and Stegun Abramowitz and Stegun is the informal name of a mathematical reference work edited by Milton Abramowitz and Irene Stegun of the U.S. National Bureau of Standards (now the National Institute of Standards and Technology). Its full title is Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 2013/05/09 MN 25

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