5.3 Comparação dos métodos de integ. simples. 5.4 Integ. dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes. 5.5 Integ. dupla via fórmulas de Gauss-Legendre.

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1 5. Integração numérica 5.1 Fórmulas de Newton-Cotes. 5. Quadratura de Gauss-Legendre. 5.3 Comparação dos métodos de integ. simples. 5.4 Integ. dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes. 5.5 Integ. dupla via fórmulas de Gauss-Legendre. 5.6 Comparação dos métodos para integ. dupla. 5.7 Estudos de caso: Distribuição de probabilidade. Integral imprópria. 5.8 Exercícios. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 1

2 Fórmulas de Newton-Cotes Função f(x) aproximada por um polinômio. Por exemplo, polinômio de Gregory-Newton f(x) P n (x) = y + n i=1 i y i! i 1 j= (u x j), u x = x x. h Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf

3 Para n = 1 b a f(x) dx b=x1 Regra do trapézio a=x P 1 (x) dx. Mudança de variável de x u x e u x u x = a = x u = x x h x = b = x 1 u = x 1 x h u =, = h h u = 1. Usando a notação y i = f(x i ) I 1 = b=x1 a=x P 1 (x) dx = 1 (y + u y )h du. Integrando, analiticamente, o polinômio I 1 = h [ y u + u y ] 1 I 1 = h (y + y 1 y ), = h ( y + y 1 y ), I 1 = h (y + y 1 ). Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 3

4 Representação geométrica da integração Aproximação da função f(x) por um polinômio interpolador P (x) de grau y=f(x) y=p(x) Fórmula de Newton Cotes com polinômio de grau y x Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 4

5 Exemplo Calcular x dx pela regra do trapézio. Polinômio de grau 1 passa pelos pontos com abscissas a = x = 1 e b = x 1 = 4 h = 4 1 = 3, I 1 = 3 ( ) I 1 = 1,875. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 5

6 Regra do 1/3 de Simpson Aproximando f(x) por polinômio P (x) de grau b a f(x) dx b=x a=x P (x) dx. Mudança de variável x = a = x u = x x h x = b = x u = x x h u =, = h h u =. Equação de integração b=x I = P (x)dx= a=x ( y +u y + u u y Integrando, analiticamente, o polinômio [ ( ) ] I = h y u + u u 3 y + 6 u y 4 [ I = h y + (y 1 y ) (y y 1 + y ) ], ) hdu. I = h 3 (y + 4y 1 + y ). Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 6

7 Representação geométrica da integração Aproximação da função f(x) por um polinômio interpolador P (x) de grau 1.8 y=f(x) y=p(x) Fórmula de Newton Cotes com polinômio de grau y x Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 7

8 Exemplo dx, usando a regra do 1/3 de Simp- Calcular son x Para construir um polinômio de grau são necessários 3 pontos. As abscissas por onde o polinômio irá passar são a = x = 1, x 1 =,5 e b = x = 4 h = 4 1 = 1,5; I = 1,5 3 ( ,5 + 1 ) 4 I = 1,45. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 8

9 Regra dos 3/8 de Simpson Aproximando f(x) por um polinômio de grau 3 b a f(x) dx b=x3 a=x P 3 (x) dx. Mudança de variável x = a = x u = x x h x = b = x 3 u = x 3 x h u =, = 3h h u = 3. Equação de integração I 3 = I 3 = b=x3 a=x ( 3 P 3 (x) dx, y + u y + u u y + u 3 3u ) + u 3 y h du. 6 Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 9

10 Regra dos 3/8 de Simpson cont. Integrando, analiticamente, o polinômio I 3 = h [ ( u 4 I 3 = h y u + u y + 4 u3 6 + u 6 ( u 3 ) 3 y ] 3 6 u 4, ) y + [ 3y + 9 (y 1 y ) (y y 1 + y ) + ] 3 8 (y 3 3y + 3y 1 y ), I 3 = 3h 8 (y + 3y 1 + 3y + y 3 ). Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 1

11 Representação geométrica da integração Aproximação da função f(x) por um polinômio interpolador P (x) de grau y=f(x) y=p(x) Fórmula de Newton Cotes com polinômio de grau y x Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 11

12 Calcular x Exemplo dx pela regra dos 3/8 de Simpson. São necessários 4 pontos para construir um polinômio de grau 3. As abscissas são a = x = 1, x 1 =, x = 3 e b = x 3 = 4 h = = 1 I 3 = ( ) I 3 = 1,463. Sendo x dx = log e(x) 4 1 = log e(4) 1,3863. Resultado da integração melhora à medida que o grau do polinômio interpolador aumenta n I n I n log e (4) 1 1,875,4887 1,45, ,463,. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 1

13 Fórmula geral de Newton-Cotes Fórmulas de Newton-Cotes são da forma geral I n = nh d n n i= c i y i, c i : coeficientes de Cotes. Valores de d n e dos coeficientes de Cotes n d n c c 1 c c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c Uso de um polinômio de grau superior a 3 para integração numérica. O resultado é melhorado pela subdivisão do intervalo de integração e aplicação de uma fórmula de Newton-Cotes em cada subintervalo. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 13

14 Regra do trapézio composta Integração baseada em polinômio de grau 1 I 1 = h (y + y 1 ). Subdividir [a, b] em m subintervalos iguais. Aplicar a equação acima a cada pontos b=xm f(x) dx I 1, a=x I 1 = h (y + y 1 ) + h (y 1 + y ) + h (y + y 3 ) + + h (y m 1 + y m ) I 1 = h (y + y 1 + y + + y m 1 + y m ), I 1 = h m i= c i y i. Qualquer valor de número de subintervalos m. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 14

15 Interpretação geométrica Integração da função f(x) utilizando 6 polinômios interpoladores P (x) de grau y=f(x) y=p(x) Fórmula composta de Newton Cotes com polinômios de grau y x Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 15

16 3 Exemplo Calcular 1 x3 log e (x) dx pela regra do trapézio composta com m = 4 subintervalos. Valor de h = b a m = 3 1 h =,5. 4 Dispositivo prático formado por quatro colunas, com i =, 1,..., m, x i = a, a + h, a + h,..., b, y i = f(x i ) e c i sendo os coeficientes de Cotes i x i y i c i 1,, 1 1 1,5 1,3684, 5,545 3,5 14, , 9,665 1, I 1 =,5 (,+(1,3684+5,545+14,317) + 9,665) I 1 =18,39. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 16

17 Exemplo e cos(x) Calcular dx pela regra do trapézio x + 4 composta com m = 5 subintervalos. Valor de h = b a m = 5 h =,4. i x i y i c i,, ,4,1817,8,15 3 1,, ,6,3837 5,,536 1, I 1 =,4 (,1839+(,1817+,15+,751 +,3837)+,536) I 1 =,5644. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 17

18 Regra do 1/3 de Simpson composta Integração baseada em polinômio de grau I = h 3 (y + 4y 1 + y ). Subdividir [a, b] em m (múltiplo de ) subintervalos iguais. Aplicar a equação acima a cada 3 pontos b=xm a=x f(x) dx I, I = h 3 (y + 4y 1 + y ) + h 3 (y + 4y 3 + y 4 ) + + h 3 (y m + 4y m 1 + y m ), I = h 3 (y + 4y 1 + y + 4y 3 + y y m + 4y m 1 + y m ), I = h 3 m i= c i y i, Número de subintervalos m deve ser múltiplo de, que é o grau do polinômio interpolador usado. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 18

19 Interpretação geométrica Integração da função f(x) utilizando 3 polinômios interpoladores P (x) de grau y=f(x) y=p(x) Fórmula composta de Newton Cotes com polinômios de grau 1 1 y x Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 19

20 Exemplo 1 1 Verificar que π = 4 dx, usando a regra 1 + x do 1/3 de Simpson composta com h =,5. Valor de m= b a h Dispositivo prático = 1,5 m=4 (múltiplo de ). i x i y i c i, 1, 1 1,5,941 4,5,8 3,75, ,,5 1, I =,5 3 (1,+4(,941+,64) + (,8)+,5) I =,7854; 4 I = 3,1416 π. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf

21 3 xe x Exemplo Calcular dx, usando a regra do 1/3 de (1 + x) Simpson com m = 6 (múltiplo de ) subintervalos. Valor de h = b a m = 3 6 h =,5. i x i y i c i,, 1 1,5, ,,81 3 1,5 1, , 4,3679 5,5 1, , 4,6997 1, I =,5 3 (,+4(,3398+1,883+1,365) + (,81+4,3679)+4,6997) I = 14,1991. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 1

22 Regra dos 3/8 de Simpson composta Integração baseada em polinômio de grau 3 I 3 = 3h 8 (y + 3y 1 + 3y + y 3 ). Subdividir [a, b] em m (múltiplo de 3) subintervalos iguais. Aplicar a equação acima a cada 4 pontos b=xm a=x f(x) dx I 3, I 3 = 3h 8 (y +3y 1 +3y +y 3 )+ 3h 8 (y 3+3y 4 +3y 5 +y 6 ) + + 3h 8 (y m 3+3y m +3y m 1 +y m ), I 3 = 3h 8 (y +3y 1 +3y +y 3 +3y 4 +3y 5 +y 6 + +y m 3 +3y m +3y m 1 +y m ), I 3 = 3h 8 m i= c i y i. Número de subintervalos m deve ser múltiplo de 3, que é o grau do polinômio interpolador usado. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf

23 Interpretação geométrica Integração da função f(x) utilizando polinômios interpoladores P (x) de grau y=f(x) y=p(x) Fórmula composta de Newton Cotes com polinômios de grau y x Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 3

24 Calcular 4 Exemplo ( x 3 + e x + 1 ) dx pela regra dos log e 1 3/8 de Simpson com m = 6 (múltiplo de 3) subintervalos. Valor de h = b a m = h =,5. i x i y i c i 1, 1, ,5 1,7433 3,, ,5, , 3, ,5 3, , 4,691 1, I 3 = 3,5 (1, (1,7433 +, , ,886) +, ,691) I 3 = 8,5633. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 4

25 ,7 Exemplo x + sen(x) Calcular dx, usando a regra dos 1 + cos(x) 3/8 de Simpson com passo de integração h =,3. Valor de m= b a h =,7,3 m=9(múltiplo de 3). i x i y i c i,, 1 1,3,346 3,6, ,9 1, , 1, ,5, ,8 3,5894 7,1 5, ,4 11, ,7 3,614 1, I 3 = 3,3 8 (,+3(,346+,638+1,565 +,335+5, ,7113) + (1, ,5894) + 3,614) I 3 = 1,3147. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 5

26 Erro de integração da regra do trapézio Erro de truncamento de um polinômio de Gregory- Newton de grau n T n (x) = n i= (x x i ) f n+1 (θ) (n + 1)!, x < θ < x n. Regra do trapézio (polinômio de grau n = 1) T 1 (x) = (x x )(x x 1 ) f (θ 1 ), x < θ 1 < x 1.! Erro de integração E 1,1 cometido ao usar P 1 (x) E 1,1 = x1 x (x x )(x x 1 ) f (θ 1 ) dx. Mudança de variável de x para u = u x = x x h E 1,1 = 1 (hu)(h(u 1))f (θ 1 ) h du, E 1,1 = h3 f (θ 1 ) ( u 3 3 u ) 1 E 1,1 = h3 f (θ 1 ). 1 Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 6

27 Erro de integração da regra do trapézio cont. Erro de integração global E 1 = m i=1 E 1,i = h3 1 (f (θ 1 )+f (θ )+ +f (θ m )), θ i determinado em cada um dos m subintervalos. Se f (x) for contínua no intervalo [a, b], então existe algum valor de x = θ [a, b] para o qual o somatório é igual a mf (θ). Passo de integração h = (b a)/m. Erro global de integração da regra do trapézio E 1 = h3 mf (θ) 1 (b a)3 mf (θ) = m 3 1, a < θ < b, (b a)3 E 1 = 1m f (θ), a < θ < b. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 7

28 Erro de integração das regras de Simpson Regra do 1/3 de Simpson (b a)5 E = 18m 4 f iv (θ), a < θ < b. Regra dos 3/8 de Simpson (b a)5 E 3 = 8m 4 f iv (θ), a < θ < b. Valor de θ é o ponto no intervalo [a, b], no qual a derivada de f(x) apresenta o maior valor em módulo. Equações fornecem a cota máxima do erro de integração. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 8

29 Calcular 3 1 Exemplo ( 4x 3 + 3x + x + 1 ) dx, utilizando a regra do 1/3 de Simpson com m = subintervalos. h = b a m = 3 1 h = 1, i x i y i c i , I = 1 3 ( ) I = 11. Erro de integração f(x)=4x 3 +3x +x+1, f (x)=1x +6x+1, f (x)=4x+6, f (x)=4, f iv (x)= E = (b a)5 18m 4 f iv (θ)= (3 1) =. Resultado exato ) (x 4 + x 3 + x 3 + x, 1 ( 4x 3 + 3x + x + 1 ) dx = 115,5 3,5 = 11. ( 4x 3 + 3x + x + 1 ) dx = Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 9

30 Calcular π Exemplo (ex + sen(x) + ) dx com m = 6. h = b a m = π h = π 6 6, i x i y i c i (t) c i (1S) c i (S) 3, π/6 4, π/3 5, π/ 7, π/3 1, π/6 16, π 5, Regra do trapézio I 1 = π 6 (3,+(4,1881+5,7157+7, , ,8)+5,147) I 1 =3,8816. Regra do 1/3 de Simpson I = π 6 3 (3,+4(4,1881+7,815+16,8) + (5,7157+1,9866)+5,147) I =3,4337. Regra dos 3/8 de Simpson I 3 = 3π 6 8 (3,+3(4,1881+5,7157+1, ,8)+ 7,815+5,147) I 3 =3,4455., Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 3

31 Determinação de θ Cálculo dos erros f(x) = e x + sen(x)+, f (x) = e x +cos(x), f (x) = e x sen(x) θ = π, f (x) = e x cos(x), f iv (x) = e x + sen(x) θ = π. Erro de integração da regra do trapézio E 1 = (b a)3 1m f (θ) = (π )3 1 6 (eπ sen(π)) E 1 = 1,669. Erro de integração da regra do 1/3 de Simpson E = (b a)5 18m 4 f iv (θ) = (π ) (eπ + sen(π)) E =,34. Erro de integração da regra dos 3/8 de Simpson E 3 = (b a)5 8m 4 f iv (θ) = (π ) (eπ + sen(π)) E 3 =,683. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 31

32 Comparação das regras de Newton-Cotes π (ex + sen(x)+) dx=(e x cos(x)+x) π 3,439. Erros de integração máximo e real cometidos n I n E n 3,439 I n 1 3,8816 1,669,4577 3,4337,34,98 3 3,4455,683,16. Regra do 1/3 de Simpson produziu os menores erro máximo e erro real. Sinal negativo do erro E n indica que a integração numérica foi por excesso: I n > I exata. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 3

33 Escolha da regra Calcular π ( x x + sen(x) ) dx com E < 1. Determinação do valor de m para cada fórmula f(x) = x4 4 +x + sen(x), f (x)=x 3 +x+cos(x), f (x)=3x + sen(x) θ = π, f (x) = 6x cos(x), f iv (x) = 6+ sen(x) θ = π. Regra do trapézio: θ = π. Regras de Simpson: θ = π. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 33

34 Cálculo do número de subintervalos Regra do trapézio (b a) 3 1m f (θ) <1 1 ( )1 (π ) 3 m 1 > 1 1 (3π + sen(π)) 9,37 m 1 = 91. Regra do 1/3 de Simpson (b a) 5 18m 4 f iv (θ) <1 ( (π ) 5 m > 18 1 (6 + sen(π/)) m = 6. Regra dos 3/8 de Simpson (b a) 5 8m 4 f iv (θ) <1 3 ( (π ) 5 m 3 > 8 1 (6 + sen(π/)) m 3 = 9. )1 4 5,87 )1 4 7,19 Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 34

35 Integração pela regra do 1/3 de Simpson Passo de integração h = b a m = π 6 h = π 6, i x i y i c i, 1 1 π/6,799 4 π/3,633 3 π/ 4, π/3 1,68 5 5π/6 19, π 34,19 1 Pela regra do 1/3 de Simpson I = π 6 3 (,+4(,799+4, ,979) + (,633+1,68)+34,19) I =7,6451. Verificação da exatidão π ( x 4 4 +x + sen(x) ) dx= ( x 5 + x3 3 cos(x) 7,6364 7,6451 =,87 < 1.. ) π 7,6364, Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 35

36 Algoritmo: Newton-Cotes Algoritmo Newton-Cotes { Objetivo: Integrar uma função pelo método de Newton-Cotes } par^ametros de entrada a, b, n, m { limite inferior, limite superior, } { grau do polinômio, número de subintervalos } par^ametros de saída I, Erro { valor da integral e condição de erro, sendo } { Erro = se não houve erro de consistência dos parâmetros, } { Erro = 1 se (n < 1 ou n > 8) e Erro = se resto(m, n) } se n < 1 ou n > 8 ent~ao Erro 1; escreva n < 1 ou n > 8 ; abandone fim se se resto(m, n) ent~ao Erro ; escreva m não é múltiplo de n ; abandone fim se d(1) ; d() 6; d(3) 8; d(4) 9; d(5) 88; d(6) 84 d(7) 178; d(8) 835 c(1) 1; c() 1; c(3) 4; c(4) 1; c(5) 3; c(6) 7 c(7) 3c(8) 1; c(9) 19; c(1) 75; c(11) 5 c(1) 41; c(13) 16; c(14) 7; c(15) 7; c(16) 751 c(17) 3577; c(18) 133; c(19) 989; c() 989 c(1) 5888; c() 98; c(3) 1496; c(4) 454 p (n (n + ) + resto(n, ))/4 x a; y f(a) { Avaliar a função f(x) em x = a } ck c(p); s y ck h (b a)/m escreva, x, y, ck para i até m + 1 faça x x + h y f(x) { Avaliar a função f(x) } k trunca((resto(i, n) + 1)/n) trunca((i 1)/m) + 1 ck c(p + trunca(n/) abs(trunca(resto(i, n) + 1 n/))) k s s + y ck escreva i 1, x, y, ck fim para I n h/d(n) s fim algoritmo Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 36

37 Complexidade: regras de Newton-Cotes Polinômios dados em termos do número de subintervalos m. Complexidade independe do grau n do polinômio interpolador utilizado. Operações Complexidade Adições 1m + 3 Multiplicações m + 4 Divisões 4m + 3 Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 37

38 Comparação das regras de Newton-Cotes Verificar o erro real cometido no cálculo de π ( x x + sen(x) ) dx, usando as seis primeiras regras de Newton-Cotes, com m = 6. n I exata I n 1 8, , , , , , À medida que o grau n do polinômio interpolador aumenta, o erro diminui. Fórmula utilizando grau par é melhor do que a de grau ímpar seguinte. Uso de fórmulas baseadas em polinômios interpoladores de grau par é mais vantajoso. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 38

39 Quadratura de Gauss-Legendre Escolher pontos igualmente espaçados nas fórmulas de Newton-Cotes simplifica os cálculos. Sem a imposição de espaçamento constante. Fórmulas fornecem uma maior exatidão, usando o mesmo número de pontos que Newton-Cotes. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 39

40 Newton-Cotes X Gauss-Legendre Integração de f(x) pela regra do trapézio, passando pelos pontos A e B Método de Newton Cotes com polinômio de grau 1 1 B.8 A.6 y.4..6 a b. x Pontos C e D escolhidos tal que a área do trapézio seja mais próxima da área sob a curva Método de Gauss Legendre com polinômio de grau 1 1 D.8 C.6 y.4..6 a b. x Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 4

41 Fórmula para dois pontos Mudança de variável de x para t, definida no intervalo [ 1, 1] x = x(t) = b a t + a + b. Derivando dx = b a dt e definindo F (t) = b a f(x(t)), a integral b a f(x) dx = 1 1 b a F (t)b a dt b a f(x) dx = 1 1 F (t) dt. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 41

42 Escolha das abscissas Pontos C[t 1, F (t 1 )] e D[t, F (t )] Abscissas do método de Gauss Legendre com polinômio de grau D [t,f(t)] C [t1,f(t1)].5.4 y t1 t t A integral b a f(x) dx= 1 1 F (t) dt I =A 1 F (t 1 )+A F (t ). Expressão análoga à regra do trapézio b a f(x) dx h f(a) + h f(b). Encontrar valores de t 1, t, A 1 e A que tornem a exatidão a maior possível. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 4

43 Construção da fórmula de dois pontos Método construído de modo a ser exato para polinômios de grau até 3. Fazendo F (t) = t k, k =, 1,, 3, e impondo A 1 F (t 1 ) + A F (t ) = 1 1 para k = F (t) = dt = 1 ( 1) = = A 11 + A 1, para k = 1 F (t) = t 1 1 t dt = t 1 1 F (t) dt, = 1 1 = = A 1t 1 + A t, para k = F (t) = t 1 1 t dt = t = 1 ( ) = 3 = A 1t 1 + A t, para k = 3 F (t) = t t3 dt = t = = = A 1t A t 3. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 43

44 Sistema de equações não lineares Sistema de equações não lineares de ordem 4 A 1 + A =, A 1 t 1 + A t =, A 1 t 1 + A t = 3, A 1 t A t 3 =. Solução t 1 = 1 3,5774; t = 1 3,5774; A 1 = 1; A = 1. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 44

45 5 Exemplo Calcular 1 (x3 + 3x + 6x + 1)dx. Mudança de variável x i = b a t i + a+b = 5 1 t i x i = t i +3, F (t i )= b a f(x i)= 5 1 f(x i) F (t i )=f(t i +3). Dispositivo prático i t i F (t i ) A i , ,917 1, I =A 1 F (t 1 )+A F (t )=1 69, ,917; I = 51,. Resultado exato (x 3 + 3x + 6x + 1)dx = ( ) x x3 + 3x + x, (x 3 + 3x + 6x + 1)dx = 517,5 5,5 = 51. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 45 1

46 π Exemplo Calcular (ex + sen(x) + ) dx. Mudança de variável x i = b a t i+ a+b = π t i+ +π x i = π (t i+1). F (t i )= b a f(x i)= π f(x i) F (t i )= π f ( ) π (t i+1) i t i F (t i ) A i , ,836 1, I = A 1 F (t 1 ) + A F (t ) = 1 7, ,836; I = 9,9841. Valor exato: 3,439. Erro cometido: 3,439 9,9841 =,4398. Mais exato que pela regra do trapézio com m = 6 subintervalos, equivalente a 7 pontos (3,8816). Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 46

47 Fórmula geral Determinar os valores dos pesos A i, e das abscissas t i, i = 1,,..., n b a f(x) dx= 1 1 F (t) dt I n, I n =A 1 F (t 1 ) + A F (t ) + + A n F (t n ), I n = n i=1 A i F (t i ). Fórmula exata para polinômios de grau menor ou igual a n 1. Faz-se F (t) = t k, k =, 1,..., n 1, sabendo que 1 1 tk dt =, se k for ímpar, k+1, se k for par. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 47

48 Sistema de equações não lineares Impondo n i=1 A i F (t i ) = 1 1 F (t) dt. Sistema de equações não lineares de ordem n A 1 + A + A A n =, A 1 t 1 + A t + A 3 t A n t n =, A 1 t 1 + A t + A 3t A nt n = 3,. A 1 t n 1 1 +A t n 1 +A 3 t n A n t n 1 n =. Solução fornece os n pesos A i e as n abscissas t i. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 48

49 Fórmula geral via polinômios de Legendre Fórmula de recorrência L n (x) = (n 1)xL n 1(x) (n 1)L n (x), n com L (x) = 1 e L 1 (x) = x. Por exemplo L (x) = 3x 1, L 3 (x) = 5x3 3x, L 4 (x) = 35x4 3x + 3, 8 L 5 (x) = 63x5 7x x. 8 Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 49

50 Propriedades dos polinômios de Legendre Propriedades básicas dos polinômios de Legendre L n (1) = 1 e L n ( 1) = ( 1) n, n =, 1,,..., 1 1 L n(x)q k (x) dx =, n > k, sendo Q k (x) um polinômio de grau k < n. Integral chamada de produto escalar das funções L n (x) e Q k (x). Duas funções são ditas ortogonais se seu produto escalar for nulo. Os polinômios L n (x) e Q k (x) são ortogonais e 1 1 L n(x)l k (x) dx =, se n k, >, se n = k. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 5

51 Polinômios de Legendre de grau até 5 Equações algébricas L n (x) = possuem n raízes reais distintas pertencentes ao intervalo ( 1, 1) Polinômios de Legendre 1 L(x) L3(x) L4(x) L1(x). L5(x) L(x)..4.6 L(x) x Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 51

52 Fórmula geral via polinômios de Legendre Sejam os polinômios F k (t) = t k L n (t), k =, 1,,..., n 1, L n (t): polinômio de Legendre de grau n. F k (t) de grau menor ou igual a n F k(t) dt = n i=1 A i F k (t i ), k =, 1,,..., n 1, 1 1 tk L n (t) dt= n i=1 A i t k i L n(t i ), k =, 1,,..., n 1. Polinômios de Legendre são ortogonais a qualquer polinômio de grau menor 1 1 tk L n (t) dt =, n > k n i=1 A i t k i L n(t i ) =, k =, 1,,..., n 1. Expressão verdadeira para qualquer valor de A i se L n (t i ) = para todo i. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 5

53 Valores de t i e A i Para maior exatidão na fórmula de quadratura é suficiente que t i, i = 1,,..., n sejam os zeros do polinômio de Legendre de grau n. Conhecidas as abscissas t i, o sistema não linear se reduz a um sistema linear de ordem n t 1 t t 3 t n t 1 t t 3 t n t n 1 1 t n 1 t n 1 3 t n 1 n A 1 A A 3. A n = 3... Em vez de resolver este sistema via decomposição LU, os pesos A i podem ser obtidos por A i = (1 t i )(L n(t i )), i = 1,,..., n, L n(t i ): derivada de L n (x) na abscissa t i. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 53

54 Abscissas e pesos para Gauss-Legendre n i t i A i 1 1 ; 1 ±, , ; 1 ±, , ; ±, , ; 1 ±, , , ; ±, , , 1 ±, , ; 3 ±, , ; ±, , ; 1 ±, , , ; 3 ±, , ; ±, , ; 1 ±, , ; 4 ±, , ; 3 ±, , ; ±, , ; 1 ±, , , ; 4 ±, , ; 3 ±, , ; ±, , ; 1 ±, , ; 5 ±, , ; 4 ±, , ; 3 ±, , ; ±, , ; 1 ±, , Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 54

55 Verificar que π = 4 Exemplo 1 Mudança de variável 1 dx, com n = 3 e n = 4. 1+x x i = b a t i+ a+b = 1 t i+ +1 x i = 1 (t i+1). F (t i )= b a f(x i)= 1 f(x i) F (t i )= 1 f Para n = 3 I 3 = 3 i=1 Para n = 4 I 4 = 4 i=1 i t i F (t i ) A i 1,7746,49373,55556,4, ,7746,7975,55556 ( ) 1 (t i+1) A i F (t i ) I 3 =, I 3 =3,1418 π. i t i F (t i ) A i 1,86114,4976,34785,33998,4589,6515 3,33998,3459,6515 4,86114,6796,34785 A i F (t i ) I 4 =, I 4 =3,1416 π.,, Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 55

56 Exemplo π Calcular (ex + sen(x)+) dx com n = 5. Mudança de variável x i = b a t i+ a+b = π t i+ +π x i = π (t i+1). F (t i )= b a f(x i)= π f(x i) F (t i )= π f ( ) π (t i+1) i t i F (t i ) A i 1,9618 5,1946,3693, ,4638, ,6867, , ,78861, , ,747,3693, I 5 = 5 i=1 A i F (t i ) I 5 = 3,446. Resultado exato: 3,4388. Gauss-Legendre com n = 5 é mais exato que a regra do 1/3 de Simpson com m = 6 (3,4337). Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 56

57 Erro de integração Erro de integração da fórmula de Gauss-Legendre E n = (b a)n+1 (n!) 4 ((n)!) 3 (n + 1) f n (θ), a < θ < b, θ: abscissa, na qual a derivada f n (x) apresenta o maior valor em módulo no intervalo [a, b]. Cota máxima do erro de integração da fórmula de Gauss-Legendre. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 57

58 π ( x 4 Exemplo Calcular 4 + x + sen(x) respectivo erro de integração. Mudança de variável ) dx, com n = e o x i = b a t i+ a+b = π t i+ +π x i = π (t i+1). F (t i )= b a f(x i)= π f(x i) F (t i )= π ( ) π f (t i+1) Para n = i t i F (t i ) A i 1, , , ,4165 1, I = i=1 A i F (t i ) I = 7, Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 58

59 Determinação de θ Cálculo do erro f(x) = x4 4 +x + sen(x), f (x) = x 3 +x+cos(x), f (x) = 3x + sen(x), f (x) = 6x cos(x), f iv (x) = 6+ sen(x) θ = π. Cálculo do erro máximo E n = (b a)n+1 (n!) 4 ((n)!) 3 (n + 1) f n (θ), E = (π )5 (!) 4 (4!) 3 (5) ( 6 + sen ( )) π E =, Valor exato: 7, Erro real: 7, ,14719 =,489 < E. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 59

60 Algoritmo: pesos e abscissas para G-L Algoritmo PesAbsGL { Objetivo: Calcular pesos e abscissas para a } { fórmula de Gauss-Legendre } par^ametros de entrada n { número de pontos } par^ametros de saída A, t, Erro { Pesos, abscissas e condição de erro, sendo } { Erro= se não houve erro (n 1) e Erro=1 se n < 1 } se n < 1 ent~ao escreva número de pontos < 1 ; Erro 1; abandone fim se m trunca((n + 1)/); Erro para i 1 até m faça z cos(π (i,5)/(n +,5)) repita p1 1; p para j 1 até n faça p3 p; p p1 { Polinômio de Legendre no ponto z } p1 (( j 1) z p (j 1) p3)/j fim para { Derivada do polinômio de Legendre no ponto z } pp n (z p1 p)/(z 1); z1 z { Método de Newton para calcular os zeros } z z1 p1/pp se abs(z z1) < 1 15 ent~ao interrompa fim se fim repita t(m + 1 i) z { abscissa } A(m + 1 i) /((1 z ) pp ) { peso } { Metade das raízes são calculadas devido à simetria } fim para fim algoritmo Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 6

61 Algoritmo: quadratura de Gauss-Legendre Algoritmo Gauss-Legendre { Objetivo: Integrar função por Gauss-Legendre } par^ametros de entrada a, b, n { limite inferior, limite superior, número de pontos } par^ametros de saída Integral, Erro { valor da integral e condição de erro, sendo } { Erro= se não houve erro (n 1) e Erro=1 se n < 1 } se n < 1 ent~ao escreva número de pontos < 1 ; Erro 1; abandone fim se [A, t, Erro] PesAbsGL(n) { parâmetros de saída de PesAbsGL } { retornam nas variáveis A, t, Erro } Erro { Cálculo da integral } s ; e1 (b a)/; e (a + b)/ para i 1 até n faça j i (n + 1)/ + sinal(i (n + resto(n + 1, ))/) (resto(n, ) + resto(n + 1, )/) z sinal(j) t(abs(j)) x e1 z + e; y e1 f(x) { Avaliar a função f(x) } c A(abs(j)); s s + y c escreva i, z, x, y, c fim para Integral s fim algoritmo Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 61

62 Comparação dos métodos π sen(x) dx, = cos(x) π =. 1 f(x)=sen(x) y x grau subintervalos Newton-Cotes pontos Gauss-Legendre 1 1, 1 6, , , , , , , , , , , , , , , Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 6

63 Exemplo 5 x sen(3x) dx = sen(3x) 9 5 x cos(3x) 3 f(x)=x*sen(3*x) 5 1, y x 1/3 de Simpson Gauss Legendre log1(resultado do método valor exato) número de pontos Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 63

64 5 Exemplo x sen(15x) dx = sen(15x) 5 5 f(x)=x*sen(15*x) x cos(15x) 15 5, y x 1/3 de Simpson Gauss Legendre log1(resultado do método valor exato) número de pontos Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 64

65 Integração dupla por Newton-Cotes Determinação do valor de integral dupla definida I = b a d c f(x, y) dy dx. Função integrando f(x, y) pode ser aproximada por um polinômio interpolador. Integral do polinômio obtida analiticamente. Fazendo G(x) = d c f(x, y) dy I = b a G(x) dx. Cálculo de uma integral dupla consiste na solução de duas integrais simples. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 65

66 Fórmulas simples Para resolver uma integral simples, pode-se aplicar qualquer uma das fórmulas de Newton-Cotes. Se for utilizada a regra do 1/3 de Simpson I = b a G(x) dx = 1 3 h x(g(x ) + 4G(x 1 ) + G(x )), I = 1 3 h x i= c xi G(x i ). h x = (b a)/, c x = c x = 1, c x1 = 4 e G(x i ) = d c f(x i, y) dy, i =, 1,. Para o cálculo de G(x i ) pode ser utilizada também qualquer uma das fórmulas de Newton-Cotes. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 66

67 Fórmulas simples cont. Utilizando a regra dos 3/8 de Simpson G(x i ) = d c f(x i, y) dy, = 3 8 h y(f(x i, y ) + 3f(x i, y 1 ) + 3f(x i, y ) + f(x i, y 3 )), G(x i ) = 3 8 h y 3 j= c yj f(x i, y j ). h y = (d c)/3, c y = c y3 = 1, c y1 = c y = 3 e f(x i, y j ) é o valor da função integrando no ponto (x i, y j ). Substituindo os valores de G(x i ) I = 1 3 h x 3 8 h y 3 i= j= c xi c yj f(x i, y j ). Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 67

68 Exemplo Calcular I = Fazendo π π 4 sen(x + y) dy dx. G(x) = π 4 π sen(x + y) dy I = G(x) dx. Utilizando a regra do 1/3 de Simpson em x I = 1 3 h x(g(x )+4G(x 1 )+G(x )), h x = b a = π 4. Cálculo de G(x i ) = x i = a + ih x = i π 4. π 4 sen(x i + y) dy, i =, 1, e Utilizando a regra dos 3/8 de Simpson G(x i ) = 3 8 h y( sen(x i +y )+3 sen(x i +y 1 ) + 3 sen(x i +y )+ sen(x i +y 3 )), h y = d c 3 = π 1 e y j = c + jh y = j π 1. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 68

69 Exemplo cont. Sendo x i = a + ih x = i π 4 e y j = c + jh y = j π 1. Para x = π 4 = : G(x ) = 3 π 8 1 ( sen(+y )+3 sen(+y 1 )+3 sen(+y ) + = π 3 sen(+y 3 )), G(x ) =,99. Para x 1 = 1 π 4 = π 4 : ( ( π ( π ( π sen()+3 sen +3 sen + sen 1) 6) 4)) ( sen( π 4 +y G(x 1 ) = 3 π 8 1 π )) sen( 4 +y 3, ) π ) π ) +3sen( 4 +y 1 +3sen( 4 +y + = π ( ( π ( π sen +3 sen 3 4) 4 1) + π ( π +3 sen 4 + π + 6) ( π sen 4 + π 4)) G(x 1 ) =,771. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 69

70 Exemplo cont. Para x = π 4 = π : G(x ) = 3 π ( π ) π ) π ) sen( 8 1 +y +3sen( +y 1 +3sen( +y + π )) sen( +y 3, = π ( ( π ( π sen +3 sen 3 ) 1) + π ( π +3 sen + π + 6) ( π sen + π 4)) G(x ) =,771. Valor numérico da integral I = 1 3 h x(g(x ) + 4G(x 1 ) + G(x )), I = 1 π (,99 + 4,771 +,771) I = 1, Cálculo anaĺıtico da integral I = π π π 4 ( ( I = cos x+ π 4 ( ( π I = sen + π 4) sen(x + y) dy dx = π cos(x + y) π 4 dx, ) ) [ ( cos(x+) dx= sen x+ π ) sen(x) 4 ] π ( π ( ( sen + sen + )) π ) ) sen() I = 1. 4, Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 7

71 Dispositivo prático Utilizando a regra do 1/3 de Simpson para integração em x e a regra dos 3/8 em y. j 1 3 y j c c + h y c + h y c + 3h y i x i c xi \c yj a 1 c x c y c x c y1 c x c y c x c y3 f(x, y ) f(x, y 1 ) f(x, y ) f(x, y 3 ) 1 a + h x 4 c x1 c y c x1 c y1 c x1 c y c x1 c y3 f(x 1, y ) f(x 1, y 1 ) f(x 1, y ) f(x 1, y 3 ) a + h x 1 c x c y c x c y1 c x c y c x c y3 Valor da integral f(x, y ) f(x, y 1 ) f(x, y ) f(x, y 3 ) I = 1 3 h x 3 8 h ys, S = 3 i= j= c xi c yj f(x i, y j ). S: soma obtida, tomando-se todas as células da tabela, do produto c xi c yj dos coeficientes de Cotes pelo valor da função f(x i, y j ). Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 71

72 Exemplo Calcular I = Para tal, π π 4 sen(x + y) dy dx. h x = b a = π/ h y = d c 3 = π/4 3 h x = π 4 e x i =a+ih x =+i π 4 x i = i π 4, h y = π 1 e y j =c+jh y =+j π 1 y j = j π 1. j 1 3 y j π/1 π/6 π/4 i x i c xi \c yj ,,588,5, π/ ,771,866,9659 1, π/ ,,9659,866,771 Valor da integral I = 1 3 h 3 x 8 h ys = 1 π 3 π 38,9975 I = 1, Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 7

73 Fórmulas compostas Melhorar a exatidão de uma integral. Subdividir o intervalo [a, b] em m x iguais. subintervalos m x múltiplo do grau n x do polinômio usado em x. Na regra do 1/3 de Simpson, m x deve ser múltiplo de (= n x ). I = b a G(x) dx, = 1 3 h x(g(x ) + 4G(x 1 ) + G(x )) h x(g(x ) + 4G(x 3 ) + G(x 4 )) h x(g(x mx ) + 4G(x mx 1) + G(x mx )), I = 1 3 h x(g(x ) + 4G(x 1 ) + G(x ) + 4G(x 3 ) + G(x 4 ) G(x mx ) + 4G(x mx 1) + G(x mx )) I = 1 3 h x m x i= c xi G(x i ). Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 73

74 Fórmulas compostas cont. Para o cálculo de G(x i ), i =, 1,..., m x usando a regra dos 3/8 de Simpson G(x i )= d c f(x i, y)dy G(x i )= 3 8 h y(f(x i, y )+3f(x i, y 1 )+3f(x i, y )+f(x i, y 3 )). Subdividindo o intervalo [c, d] em m y subintervalos iguais. m y múltiplo do grau n y do polinômio usado em y. G(x i ) = d c f(x i, y) dy = 3 8 h y(f(x i, y )+3f(x i, y 1 )+3f(x i, y )+f(x i, y 3 )) h y(f(x i, y 3 )+3f(x i, y 4 )+3f(x i, y 5 )+f(x i, y 6 )) h y(f(x i,y my 3)+3f(x i,y my )+3f(x i,y my 1)+f(x i,y my )), G(x i ) = 3 8 h y(f(x i, y )+3f(x i, y 1 )+3f(x i, y )+f(x i, y 3 ) G(x i ) = 3 8 h y + 3f(x i, y 4 )+3f(x i, y 5 )+f(x i, y 6 ) f(x i,y my 3)+3f(x i,y my )+3f(x i,y my 1)+f(x i,y my )), m y j= c yj f(x i, y j ), i =, 1,,..., m x. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 74

75 Fórmulas compostas cont. Substituindo os valores de G(x i ) I = 1 3 h x m x i= c xi 3 8 h y m y j= c yj f(x i, y j ) I = 1 3 h x 3 8 h y m x m y i= j= c xi c yj f(x i, y j ). Fórmula generalizada para qualquer grau do polinômio interpolador utilizado I = n x d nx h x n y d ny h y m x m y i= j= c xi c yj f(x i, y j ). h x = (b a)/m x e h y = (d c)/m y. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 75

76 Algoritmo: integração dupla de Newton-Cotes Algoritmo Newton-Cotes-Dupla { Objetivo: Cálculo de integral dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes } par^ametros de entrada ax, bx, nx, mx, ay, by, ny, my { limite inferior em x, limite superior em x, } { grau do polinômio em x, número de subintervalos em x, } { limite inferior em y, limite superior em y, } { grau do polinômio em y, número de subintervalos em y } par^ametros de saída Integral, Erro { valor da integral e condição de erro, sendo } { Erro = se não houve erro de consistência dos parâmetros, } { Erro = 1 se grau nx < 1 ou nx > 8 ou ny < 1 ou ny > 8, } { Erro = se mx não for múltiplo de nx ou my não for de ny } se (nx < 1 ou nx > 8) ou (ny < 1 ou ny > 8) ent~ao Erro 1, escreva nx < 1 ou nx > 8 ou ny < 1 ou ny > 8, abandone fim se se (resto(mx, nx) ) ou (resto(my, ny) ) ent~ao Erro escreva num. subintervalos incompatível com grau do polinômio abandone fim se Erro ; d(1) ; d() 6; d(3) 8; d(4) 9 d(5) 88; d(6) 84; d(7) 178; d(8) 835 c(1) 1; c() 1; c(3) 4; c(4) 1; c(5) 3; c(6) 7; c(7) 3 c(8) 1; c(9) 19; c(1) 75; c(11) 5; c(1) 41 c(13) 16; c(14) 7; c(15) 7; c(16) 751; c(17) 3577 c(18) 133; c(19) 989; c() 989; c(1) 5888 c() 98; c(3) 1496; c(4) 454 px (nx (nx+)+resto(nx, ))/4; py (ny (ny+ )+resto(ny, ))/4 hx (bx ax)/mx; hy (by ay)/my; Soma para i até mx faça x ax + i hx kx trunca((nx resto(i, nx))/nx) trunca((mx resto(i, mx))/mx)+1 ckx c(px+trunca(nx/) abs(trunca(resto(i 1, nx)+1 nx/))) kx para j até my faça y ay + j hy ky trunca((ny resto(j,ny))/ny) trunca((my resto(j,my))/my)+1 cky c(py+trunca(ny/) abs(trunca(resto(j 1, ny)+1 ny/))) ky fxy f(x, y) { Avaliar a função f em (x, y) } Soma Soma + ckx cky fxy fim se fim se Integral nx ny hx hy/(d(nx) d(ny)) Soma fim algoritmo Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 76

77 5 1 Exemplo Calcular sen(x + y ) dy dx, com n x = 3 (regra dos 3/8), m x = 3 subintervalos em x, n y = (regra do 1/3) e m y = 4 subintervalos em y. Integracao dupla por Newton-Cotes i x(i) c(i) j y(j) c(j) f(x(i),y(j)).e+ 1.e e-1 1.5e e-1 5.e e e e e e e+ 3.e e-1 1.5e e-1 5.e e e e e e-1 4.e+ 3.e e-1 1.5e e-1 5.e e e e e e e+ 1.e e-1 1.5e e- 5.e e e e e e-1 Resultado da integral: I =,7876. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 77

78 Integração dupla via Gauss-Legendre Fórmulas de Gauss-Legendre também podem ser utilizadas para o cálculo aproximado da integral dupla definida I = b a d c f(x, y) dy dx. Fazendo G(x) = d c f(x, y) dy, I = b a G(x) dx. Cálculo de integral dupla por Gauss-Legendre consiste na determinação de duas integrais simples. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 78

79 Fórmula para dois pontos Fazendo uma mudança de variável de x para t sendo que 1 t 1 x = x(t) = b a t + a + b Tomando x i = b a t i + a + b. Definindo H(t)= b a G(x(t)), b 1 I = G(x) dx= a 1 dx = b a dt. b a H(t)b a dt= 1 1 H(t) dt. Resolvendo a integral simples por Gauss-Legendre, com n x = pontos I = 1 1 H(t) dt = A 1H(t 1 ) + A H(t ). A i : pesos e t i : abscissas ou zeros do polinômio de Legendre de grau n x =. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 79

80 Fórmula para dois pontos cont. Valores de A i e t i podem ser obtidos na literatura ou gerados pelo algoritmo dado. Particularmente, para n x = A 1 = A = 1, t 1 = 1/ 3 e t = 1/ 3. Cálculo de G(x i ) = d c f(x i, y) dy. Mudança de variável de y para u tal que 1 u 1 y = y(u) = d c u + c + d dy = d c du Tomando y j = d c u j + c + d. Definindo F i (u) = d c f(x i, y(u)), G(x i ) = d c f(x i, y) dy = 1 1 d c F i(u) d c du. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 8

81 Fórmula para dois pontos cont. Valor de G(x i ) G(x i ) = 1 1 F i(u) du. Usando a fórmula para n y = pontos 1 G(x i )= F i(u) du=b 1 F i (u 1 )+B F i (u ). 1 B j : pesos e F i (u j ) = d c f(x i, y j ). Logo H(t i ) = b a G(x i) = b a (B 1F i (u 1 ) + B F i (u )). Substituindo os valores de H(t i ) ( ) b a I = A 1 (B 1F 1 (u 1 )+B F 1 (u )) A ( b a (B 1F (u 1 )+B F (u )) ). + Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 81

82 Fórmula para dois pontos cont. Substituindo F i (u j ), j = 1, ( ( b a d c I = A 1 B 1 +A ( b a )) f(x d c 1, y 1 )+B f(x 1, y ) ( d c B 1 f(x d c, y 1 )+B f(x, y ) )). Rearranjando I = (b a) (d c) (A 1 B 1 f(x 1,y 1 ) + A 1 B f(x 1,y )+ + A B 1 f(x,y 1 ) + A B f(x,y )), I = 1 4 (b a)(d c) A i i=1 j=1 B j f(x i, y j ). Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 8

83 Dispositivo prático Sistematizar dados necessários para calcular uma integral dupla pela fórmula de Gauss-Legendre. Usando n x = pontos em x e n y = pontos em y j 1 u j 1/ 3 1/ 3 y j y 1 y i t i x i A i \B j / 3 x 1 1 f(x 1, y 1 ) f(x 1, y ) 1/ 3 x 1 f(x, y 1 ) f(x, y ) Valor da integral I = 1 (b a)(d c)s, 4 S = A i i=1 j=1 B j f(x i, y j ). Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 83

84 Exemplo Calcular pontos. π π 4 sen(x+y) dy dx, usando n x = n y = x i = b a t i + a + b = π/ t i + + π/ x i = π 4 (t i + 1), y j = d c u j + c + d = π/4 u j + +π/4 y j = π 8 (u j + 1). j 1 u j 1/ 3 1/ 3 y j,166,6194 i t i x i A i \B j / 3,3319 1,4776,814 1/ 3 1,388 1,9863,959. Valor da integral I = 1 4 (b a)(d c)s = 1 4 (π/ )(π/4 ) 3,371 I =,9984. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 84

85 Fórmula geral Fórmula para n x = n y = pontos pode ser modificada para um número qualquer de pontos em x e em y. Fórmula geral para integração dupla por Gauss- Legendre I = b d a c f(x, y) dy dx = 1 n x 4 (b a)(d c) i=1 A i n y j=1 B j f(x i, y j ). x i = b a t i + a + b e y j = d c u j + c + d. Pesos A i, i = 1,,..., n x e B j, j = 1,,..., n y e as abscissas t i e u j podem ser obtidos na literatura ou gerados pelo algoritmo dado. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 85

86 Dispositivo prático Calcular uma integral dupla pela fórmula de Gauss- Legendre com n x pontos em x e n y em y. j 1... n y u j u 1 u... u ny y j y 1 y... u ny i t i x i A i \B j B 1 B... B ny. 1 t 1 x 1 A 1 f(x 1, y 1 ) f(x 1, y )... f(x 1, y ny ) t x A f(x, y 1 ) f(x, y )... f(x, y ny ) n x t nx x nx A nx f(x nx, y 1 ) f(x nx, y )... f(x nx, y ny ) Valor da integral I = 1 n x 4 (b a)(d c)s, S = i=1 n y A i j=1 B j f(x i, y j ). Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 86

87 Calcular n y = Exemplo (y log 1 (3x)) dy dx, com n x = 3 e x i = b a t i + a + b = 4 1 t i x i = 1,5t i +,5; y j = d c u j + c + d = u j + + y j = u j + 1. j u j,8611,34,34,8611 y j,1389,66 1,34 1,8611 i t i x i A i \B j,3479,651,651,3479 1,7746 1,3381,5556,116,69 1,838,97,,5,8889,169,381 1,5713 3,39 3,7746 3,6619,5556,1,4534 1,8689 3,651. Valor da integral I = 1 4 (b a)(d c)s = 1 (4 1)( ) 4,517 4 I = 6,766. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 87

88 Algoritmo: integração dupla de G-L Algoritmo Gauss-Legendre-Dupla { Objetivo: Integração dupla por Gauss-Legendre } par^ametros de entrada ax, bx, nx, ay, by, ny { lim. inf. em x, lim. sup. em x, num. pontos em x, } { lim. inf. em y, lim. sup. em y, num. pontos em y } par^ametros de saída Integral, Erro { valor da integral e condição de erro, sendo } { Erro = se não houve erro (nx 1 e ny 1) e } { Erro = 1 se nx < 1 ou ny < 1 } [A, t, Erro] PesAbsGL(nx) se ny = nx ent~ao para j 1 até trunca((nx + 1)/) faça B(j) A(j); u(j) t(j) fim para sen~ao [B, u, Erro] PesAbsGL(ny) fim se ex1 (bx ax)/; ex (ax + bx)/ ey1 (by ay)/; ey (ay + by)/; Soma para i 1 até nx faça kx sinal(i (nx+resto(nx+1, ))/) (resto(nx,)+resto(nx+1,)/) kx kx + i (nx + 1)/ tx sinal(kx) t(abs(kx)) Ax A(abs(kx)); x ex1 tx + ex; Som para j 1 até ny ky sinal(j (ny+resto(ny+1,))/) (resto(ny,)+resto(ny+1,)/) ky ky + j (ny + 1)/ ty sinal(ky) u(abs(ky)) Ay B(abs(ky)) y ey1 ty + ey fxy f(x, y) { Avaliar a função em x,y } Som Som + Ay fxy fim para Soma Soma + Ax Som fim para Integral,5 (bx ax) (by ay) Soma fim algoritmo Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 88

89 Calcular e n y = Exemplo x + y cos(xy) dy dx, com n x = 5 Integracao dupla por Gauss-Legendre i t(i) x(i) A(i) j u(j) y(j) B(j) f(x(i),y(j)) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+ Valor calculado da integral: I = 1,5684. Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 89

90 Comparação dos métodos de integração dupla Primeiro teste π π π xy sen(xy ) dy dx. Solução anaĺıtica I = (4 sen(π 3 /8) sen(π 3 /))/π,91. Resultados grau do número de Newton-Cotesnúmero degauss-legendre polinômiosubintervalos pontos 1 1 5,9 1 1, , , , , , , , , , , , , , , Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 9

91 Gráfico da função f(x, y) = xysen(xy ) f(x,y)=xysen(xy ) Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 91

92 Desempenho de quatro métodos Newton-Cotes com n =, 4 e 8 com m múltiplo de n e Gauss-Legendre com número de pontos p = 3, 5, 7,..., 11. Abscissa contém o número p de pontos avaliados, e a ordenada, o logaritmo decimal da diferença entre o valor obtido pelo método e o valor exato. f(x,y)=xysen(xy ) Newton Cotes= Newton Cotes=4 Newton Cotes=8 Gauss Legendre log1(resultado do método valor exato) número de pontos Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 9

93 Integral dupla π 4 1 Segundo teste 3y cos(x + y 3 ) dy dx. Valor exato cos(64) + cos(π + 1) cos(1) cos(π + 64),969. f(x,y)=3y cos(x+y 3 ) Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 93

94 Desempenho dos quatro métodos f(x,y)=3y cos(x+y 3 ) log1(resultado do método valor exato) Newton Cotes= 14 Newton Cotes=4 Newton Cotes=8 Gauss Legendre número de pontos Algoritmos Numéricos Cap.5: Integraç~ao numérica Ed1. c 1 FFCf 94