Atividades Práticas Supervisionadas (APS)

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1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Pro: Lauro Cesar Galvão Campus Curitiba Departamento Acadêmico de Matemática Cálculo Numérico Entrega: unto com a a parcial DATA DE ENTREGA: dia da a PROVA (em sala de aula) Atividades Práticas Supervisionadas (APS) (EXERCÍCIOS: % da a parcial) Conteúdo: Auste de Curvas, Integração Numérica, Solução Numérica de Equações Dierenciais Ordinárias Imprimir esta lista FRENTE/VERSO Entregar os eercícios com preenchimento manual Escrever de orma clara e obetiva De preerencia, utilizar lapis ou lapiseira Aluno: Número: Turma: Curitiba PARANÁ

2 a APS: Eercícios Cálculo Numérico Eercícios da apostila Eercício Interpolar o ponto,5 na tabela abaio, empregando o polinômio interpolador de Lagrange i i y i é o grau máimo de ( ) P Li L L L L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( )( ) ( )( )( ) ( ( ) )( )( ) ( )( )( ) ( ( ) )( )( ) ( )( )( ) ( ( ) )( )( ) ( )( )( ) Logo: ( ) P P ( ) (,5) ( ) (,5) i i P n y L ) i i( ( ) P P P i ( ) P L L L L P (,5) y P( ) 8 -

3 a APS: Eercícios Cálculo Numérico Eercício Interpolar o ponto,5 na tabela abaio, empregando a orma de Newton i i é o grau máimo de ( ) Tabela de dierenças divididas: y i n ordem ordem ordem ordem P P P P P ( ) [ ]( ) [, ]( )( ) [,, ] ( )( )( ) [,,, ] ( ) ( ) ( )

4 a APS: Eercícios Cálculo Numérico Eercício Sea ( ) dada em orma de tabela de valores, como segue:,,4,4,5,6,7 ( ),6,,7,9,,7 a) Obter (,47) usando um polinômio de grau ; b) Dar uma estimativa para o erro Tabela de dierenças divididas:, ordem ordem ordem ordem 4,4,4,5,6,7 Deve-se escolher pontos próimos de,47 para a obtenção de P ( ) ( ) [ ]( ) [, ]( )( ) [,, ] P P P ( ) ( ) a) (,47) (,47) b) (,47) (,47) P E n E n

5 a APS: Eercícios Cálculo Numérico Eercício 4 Considere a tabela a seguir: y e,,,,4,5,5,4,499,498, Obter, tal que,65, usando um processo de interpolação quadrática Usar a orma de Newton para obter ( ) Construir a tabela de dierenças divididas y ordem ordem ordem ordem e P y,5,4,499,498,6487 P (y) = g[y ] + (y y ) g[y, y ] + (y y ) (y y ) g[y, y, y ] ( ) P P y (,65) Assim, e,65 Na calculadora,659 Erro cometido: M ( ) ( )( )( )! E y y y y y y y E (,65) ma g'''( y), [, ] o Caso: pode ser aproimado por (tabela de dierenças divididas de ordem )! E (,65) E ( y ) o Caso: ( ) e g ( y ) ( y ) lny M M y y y Logo: M E (,65)

6 a APS: Eercícios Cálculo Numérico Eercício 5 (Regressão Linear) Austar os dados da tabela abaio através de uma reta i i 4 5,,4 5, 6,8 8, 6 ( i ), 5,,8 6, 5,8 g Fazendo ( ) g ( ) g ( ) e considerando g () g () ) e, tem-se: Assim, a reta que melhor se austa aos valores da tabela terá coeicientes e, que são solução do seguinte sistema na orma matricial: g, g g, g g, g, g g, g g, g [ ] T g [ ] T [ ] T g, g g, g g( g, g g, g g, g, Assim, Logo a equação da reta procurada é: g()

7 a APS: Eercícios Cálculo Numérico Eercício 6 Austar os dados da tabela através da parábola : i i g() ,75,6,5,,,4,5,7 7 ( i ),5,5,45,4,5,,6,5,,5 y - g Fazendo ( ) g ( ) e considerando, obtém-se Assim, para se obter a parábola que melhor se austa aos pontos da tabela, será necessário encontrar do sistema: g, g, g g [ ] T [ ] T g, g g, g, g () g ) g( Assim, Logo a equação da parábola procurada é: g()

8 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 8 Eercício 7 Austar os dados da tabela abaio por um polinômio do segundo grau g( ) i i 4 ( i ) 9 g () ) g ( () g Neste caso tem-se que:, e g g g, g, g, g g g g, g, g, g g g g, g, g, g g g g,,, g g g [ ] T [ ] T [ ] T [ ] T g, g g, g g, g g, g g, g g, g g, g g, g g, g g, g, g, Assim, Logo a equação da parábola procurada é: g()

9 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 9 Eercício 8 Aproimar a unção ( )4 por um polinômio do primeiro grau, uma reta, no intervalo [,] ( ) g ( ) g ( )=, isto é, ( ) e ( ) g A a a a b b a a g, g g, g a a g, g g, g b g, g g, g g, g, g, g a g, g b b g g, g, g A b Logo: g ( ) ( )4 em [,] Eercício 9 Aproimar a unção ( ) no intervalo [,] por uma reta ( ) ( ) ( )=, g g isto é, ( ) e ( ) A a a a g, g g, g, g a a g, g g, g, g b g, g g g g b b e a g, g g, g a a g, g b, g

10 a APS: Eercícios Cálculo Numérico b, g Usando o método de integração por partes em : u dv u v vdu b g ( ) ( ) em [,] Eercício Austar os dados da tabela que segue por uma unção da orma ( ) ( ),5,7 Desta orma, linearizando a unção g ( ), como no primeiro eemplo anterior, tem-se: e e g e g g g g, g, g g g, g a, g a [ ] T [ ] T, g, g [ ]T g, g g, g g, g g, g,g,g g, g g ( ) ( )

11 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 9 Eercício Calcular 6 5, usando a regra dos trapézios e calcule uma aproimação para o erro máimo cometido d d I T O erro cometido será, no máimo: E T Logo, Eercício Calcular 6 5 empregando o método dos trapézios com 8 repetições Determine uma aproimação para o erro cometido 9 d = = = = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = () d Erro cometido será, no máimo: E TR Neste caso em particular, ( ) pode ser integrada de orma eata: d

12 a APS: Eercícios Cálculo Numérico I e d Eercício Sea Calcule uma aproimação para usando subintervalos e a regra dos trapézios repetida Estimar o erro cometido I e d Erro cometido será, no máimo: E TR I e d Eercício 4 Sea Qual o número mínimo de subdivisões, para a regra dos I trapézios repetida aplicada em, de modo que o erro sea inerior a? n Eercício 5 Sea e d Calcule uma aproimação para usando a regra / de Simpson com m I Estime o erro cometido I e d Estimativa do erro: E SR Observe que E e E SR TR

13 a APS: Eercícios Cálculo Numérico Eercício 6 Sea Para que valor de teríamos erro inerior a? I e d m m Para um erro inerior a seriam necessários subintervalos Obs: na regra dos trapézios com repetição são necessários intervalos Eercício 7 Sea logd Aproime com a regra dos trapézios com 8 repetições Estime o erro cometido I 6 I h h i i ( i ) 6 log d Estimativa do erro: E TR

14 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 4 Eercício 8 Sea logd Aproime com a regra de Simpson com 8 subintervalos Estime o erro cometido h I 6 e h I m n i i ( i ) 6 log d Estimativa do erro: E SR

15 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 5, y y Eercício 9 Achar aproimações para a solução do PVI na malha de y( ) [,] com h =,,,,, Usar Erro! Fonte de reerência não encontrada para : y a b m, m,,,,9 : TABELA: y y y y ( ) ( ) e,487,87,488 4,7 5,65 6,488 7, ,499 9,657,67879

16 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 6, y y Eercício Achar aproimações para a solução do PVI na malha [,] y( ) com =, usando o método da equação () h,,,, Usar equação () para : y a b m,,,,9 m : TABELA: y y ( ) y ( ) e y,487,87,488 4,7 5,65 6,488 7, ,499 9,657,67879

17 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 7 dy y Eercício Achar aproimações para a solução do PVI d na malha [,] com y() h =,5 usando o método de Euler Aprimorado y k ( ) ( ) dy y Eercício Calcular a solução do PVI d com h =,, no interior do intervalo y() [,], pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem y y ( ), para,,,,9 k h 6 k k k k 4 k y / e y y k k k 4 y k k k k

18 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 8, y y Eercício Achar aproimação para a solução do PVI na malha [,] y( ) com =, usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado) h,,,, y y ( ), para,,,,9, y a b m k k, m k k y k k

19 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 9 Eercícios diversos Eercício 4 Supondo que a velocidade do som na água varia com a temperatura de acordo com a tabela abaio, determinar, utilizando um polinômio interpolador de Lagrange, um valor aproimado para a velocidade do som na água em uma temperatura de Temperatura ( C) 86, 9, 98,9 4,4, Velocidade ( m / s ) C P 4 () O polinômio de Lagrange procurado será do tipo: L ) L ( ) L ( ) L ( ) L ( ), onde: ( 4 4 L i n ( ) ( ) ( i ) i Resposta: P 4 ()

20 a APS: Eercícios Cálculo Numérico Eercício 5 Dada a tabela que segue e utilizando o polinômio interpolador de Newton, obtenha um polinômio do quarto grau, escolhendo adequadamente os pontos, para calcular sin (5 o ) ( graus) sin P 4 () ,588,5,77,866,9659, A tabela de dierenças divididas é a seguinte: Ordem Ordem Ordem Ordem Ordem 4 5,588,5 45,77 6,866 75,9659 9,

21 a APS: Eercícios Cálculo Numérico Resposta: P 4 (5)

22 a APS: Eercícios Cálculo Numérico Eercício 6 Um obeto oi lançado verticalmente do alto de um prédio Sua altura oi registrada a cada segundo após o lançamento e os dados obtidos encontram-se na tabela abaio Altura ( m ) Tempo ( s ) 4 5 Utilize o método dos mínimos quadrados para estimar a altura velocidade inicial de lançamento e o valor da aceleração da gravidade v essas três grandezas são relacionadas por: Fazendo: h, v g h( t) h vt t, g h g do prédio, a, sabendo que Resposta: h, v e g

23 a APS: Eercícios Cálculo Numérico Eercício 7 Aproimar a unção ( ) sin( ) por uma unção g( ) no intervalo [,] Empregar a regra de Simpson com 4 subintervalos ( n =4) para determinar os produtos internos do vetor dos termos independentes I g ( ) g ( ) g ( )=, isto é, g () e g ) ( Resposta: g ()

24 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 4 Eercício 8 Sabendo-se que a dependência uncional entre a carga de um condensador e o tempo t é do tipo Q da tabela: t(s) t, determinar os parâmetros Q e,5,6,7,8,9, Q (Coulomb) 4,78,97,,75,9,9 a partir t Q Resposta: Q

25 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 5 Eercício 9 Calcule cos( ) d empregando o método dos trapézios e precisão Resposta: cos( ) d

26 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 6 ln()d empregando o método de Simpson com quatro repetições Eercício Calcule ( n = 8) Faça uma estimativa do erro cometido na integração numérica Resposta: ln()d e E SR Eercício Empregando o método de Simpson, calcule o trabalho W realizado por um gás sendo aquecido segundo a tabela abaio Lembre que W PdV V ( m ),5,,5,,5 4, 4,5 P ( Kg / m ) V V i Resposta: W

27 a APS: Eercícios Cálculo Numérico 7 d Eercício Sea a equação dierencial ordinária y( ) y com condição inicial d Considere o intervalo de integração igual [,4] Solucione a equação dierencial pelo método de Euler (Passo Simples de ordem ) com passos que a solução eata da equação dierencial é y( ) e, compare os resultados obtidos em cada uma das integrações com os valores obtidos com a solução eata y( ) h, h,5 e h,5 Sabendo y y h l l ( l, yl ), l,,,, ( m ) l Para h : l y l 4 ( l, yl ) l y l l y l ) e l ( Erro= y( l ) yl l Para h,5: l y l ( l, yl ) l y l l y l ) e l ( Erro= y( l ) yl l Para h,5: l y l 4 ( l, yl ) l y l l y l ) e l ( Erro= y( l ) yl

28 a APS: Eercícios Cálculo Numérico d Eercício Sea a equação dierencial ordinária y( ) y com condição inicial d Considere o intervalo de integração igual [,4] Solucione a equação dierencial pelo método de Runge-Kutta de ordem com passo equação dierencial é y( ) e, compare os resultados obtidos em cada uma das integrações com os valores obtidos com a solução eata y( ) h,5 Sabendo que a solução eata da y y h l l ( K K ), l,,,, m K l, y ) e K h, y h K ) ( l ( l l l l y l, K K l y( ) e Erro= y( l ) yl l l