Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos.

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1 Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e Urbanismo Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 007- Professor: Eduardo Nobre Lages Derivadas Maceió/AL

2 Objetivo Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos. Para matutar Para endoidar Ao se dar passos de mesma projeção horizontal, qual caminho levará a uma maior mudança na altitude?

3 Motivação Os valores de funções num determinado ponto nos permitem afirmar a posição relativa entre esses valores, mas são incapazes de nos dizer como elas se modificam na vizinhança desse ponto. Para matutar Para endoidar H v H V

4 Quem está por trás das mudanças nas vizinhanças? y y f cresce cresce mais rápido decresce decresce mais rápido Quem poderia nos indicar esse comportamento? O coeficiente angular da reta tangente à curva pode indicar se há crescimento ou decrescimento, além da intensidade da mudança.

5 Quem está por trás das mudanças nas vizinhanças? y y f 4 1 O que dizer do comportamento da função? 1: cresce : cresce mais rápido : decresce 4: decresce mais lento O que dizer dos coeficientes angulares das retas tangentes? m 1 > 0 m > 0 m > m 1 m < 0 m 4 < 0 m < m 4

6 De Volta ao Problema da Reta Tangente É possível se aproimar do coeficiente angular da reta tangente usando uma reta secante que passa pelo ponto de tangência P e um segundo ponto na curva Q. y f reta secante θ m sec m sec tanθ y y f c + f c

7 De Volta ao Problema da Reta Tangente Conforme o ponto Q se aproima do ponto P, o coeficiente angular da reta secante se aproima do coeficiente angular da reta tangente. Quando essa posição limite eistir, o coeficiente angular da reta tangente é chamado de limite do coeficiente angular da reta secante.

8 De Volta ao Problema da Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo o ponto c, e supondo que o limite lim 0 y Reta Tangente lim 0 f c + f c m eista, então a reta que passa pelo ponto c, fc e cujo coeficiente angular é m é chamada de reta tangente ao gráfico de f no ponto c, fc. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto c, fc também é chamado de inclinação do gráfico de f em c.

9 De Volta ao Problema da Reta Tangente Eemplo: Determine a inclinação da reta tangente à curva definida pela função f / no ponto de abscissa. f + f + m lim 0 m lim m lim m lim m lim 0 m

10 De Volta ao Problema da Reta Tangente Eemplo continuação: A reta tangente: y m + b y / Como o ponto, f da curva também pertence a esta reta, calcula-se o coeficiente linear b impondo-se o atendimento da equação f m + b b f m y θ Reta tangente: y m tan θ

11 De Volta ao Problema da Reta Tangente Eemplo: Determine a inclinação da reta tangente à curva definida pela função f no ponto de abscissa. f + f m lim 0 + m lim m lim m lim 1 0 m lim m 6

12 De Volta ao Problema da Reta Tangente Eemplo continuação: Reta tangente: y + 6 y θ y m tan θ 6

13 Definição da Derivada de uma Função A derivada ou diferencial da função f no ponto é dada por f lim 0 desde que este limite eista. f + f O domínio da função f é o conjunto de pontos para o qual este limite eiste. A derivada de uma função que depende da variável também é função desta mesma variável. Esta nova função descreve o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f no ponto, f, caso esta reta tangente eista.

14 Notações f dy d : f linha de : derivada de y em relação a : dy d y : y linha d d [ f ] : df de d

15 Calculando a Derivada via Calculando a Derivada via Limites Limites Eemplo: Calcule a derivada da função f +. f f f + lim 0 f ] [ lim 0 f lim 0 f lim 0 lim f + f

16 Calculando a Derivada via Eemplo continuação: Limites f + Gráficos da função f e de sua derivada f no intervalo [-1;1] f +

17 Regras Básicas de Derivação A Regra da Constante: A derivada de uma função constante é nula, isto é, se c é um número real, então d [ c] 0 d Verificação: d d [ c] f f + f lim 0 c c lim lim

18 Regras Básicas de Derivação A Regra da Multiplicação por uma Constante: Se f é uma função derivável e c é um número real, então a função cf também é derivável e d [ cf ] cf d d cf + cf Verificação: [ cf ] lim d 0 lim c 0 c lim 0 c f f + f + f f

19 Regras Básicas de Derivação A Regra da Potência: Seja n qualquer número real e f n, então f é derivável e d d [ ] n n 1 n

20 Regras Básicas de Derivação As Regras da Soma e da Diferença: A soma ou a diferença de duas funções deriváveis f e g também é uma função derivável. Além disso, a derivada de f + g ou f g é a soma ou a diferença das derivadas da f e da g, ou seja, d d [ f ± g ] f ± g

21 Regras Básicas de Derivação A Regra do Produto: O produto de duas funções deriváveis f e g também é uma função derivável. Além disso, a derivada de fg é o produto da derivada da primeira função com a segunda função, somada ao produto da primeira função com a derivada da segunda função, ou seja, d d [ f g ] f g + f g

22 Eemplo: Eemplo: Calcule a derivada da função h g f g f h 4 5 e onde Considere + 4, e 4 Como g f Portanto, g f g f h h ndo, Simplifica h + Regras Básicas de Derivação Regras Básicas de Derivação regra do produto regras da soma/diferença e da potência

23 Regras Básicas de Derivação Eemplo continuação: 5 + h 4 Gráficos da função h e de sua derivada h no intervalo [-;]. Obs: Os eios não estão na mesma escala. h

24 Regras Básicas de Derivação A Regra do Quociente: O quociente f/g de duas funções deriváveis f e g também é uma função derivável para todos os valores de para os quais g 0. Além disso, a derivada de f/g é igual à diferença do produto do denominador com a derivada do numerador e do produto do numerador com a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador, ou seja, d f f g f g d g [ g ]

25 Eemplo: Eemplo: Calcule a derivada da função h 1 e 5 onde Considere + g f g f h, e 5 Como g f Portanto, g g f g f h h Simplificando, h Regras Básicas de Derivação Regras Básicas de Derivação regra do quociente regras da soma/diferença e da potência

26 Regras Básicas de Derivação Eemplo continuação: Gráficos da função h e de sua derivada h no intervalo [-5;5]. y h y h

27 Regra da Cadeia Esta regra trata da derivada de funções compostas. Se y fu é uma função derivável na variável u, e u g é uma função derivável na variável, então y fg é uma função derivável na variável e dy d ou, equivalentemente, d d dy du du d [ f g ] f g g

28 Regra da Cadeia Eemplo: Calcule a derivada da função f 1 Considere Assim, Ainda, f u u onde u g 1 1 g 1 1 f u u u 1 f g 1 Finalizando, d d [ f g ] f g g

29 Derivada de Funções Especiais d d d d [ sin ] cos [ tan ] sec d d [ ] e e d d d d [ cos ] sin [ ] c c ln c para c > 0 d [ ln ] 1 d

30 Derivadas de Ordem Superior Aplicação recursiva, em um número apropriado de vezes, da derivada de uma função. dy d d d Segunda derivada: y, f, d y d, [ f ] d d Terceira derivada: y, f, d y d, [ f ] d d d y d Quarta derivada: y, f,, 4 4 d d f n n n n d y d Enésima derivada: y, f,, n n d d f Primeira derivada: y, f,, [ f ] Quarta derivada: [ ] Enésima derivada: [ ]

31 As Derivadas de Ordem Superior no Estudo do Movimento Retilíneo km 0 st 0 A função que descreve a posição do objeto: Movimento uniformemente variado MUV s0 s Movimento retilíneo qualquer Movimento retilíneo uniforme MRU... Repouso t

32 As Derivadas de Ordem Superior no Estudo do Movimento Retilíneo A velocidade do objeto no instante t,, ou velocidade instantânea,, é dada por: v t lim t 0 s t + t t s t d v t t dt [ s ] A aceleração do objeto no instante t,, ou aceleração instantânea,, é dada por: a t v t + t v t lim t 0 t d dt d dt d a t t dt [ ] d a t s t a t [ s t ] dt [ v ]

33 A Derivada Segunda e a Concavidade da Curva Descrita por uma Função y A função derivada y é crescente. A segunda derivada y é positiva. A concavidade da curva é para cima. y A função derivada y é decrescente. A segunda derivada y é negativa. A concavidade da curva é para baio.

34 Aplicações de Diferenciação Restrição de funções Necessidade de atendimento de alguma informação conhecida da função derivada para alguns pontos do domínio da função derivada. Otimização de funções Determinação dos pontos etremos máimo e mínimo de funções comprimento, área, volume, custo etc.

35 Aplicações de Diferenciação Eemplo: - Restrição de Funções - A seção lateral de uma coberta é formada por dois trechos horizontais, desnivelados de 1m, ligados por uma curva de transição polinomial do º grau, cuja projeção horizontal é de 4m. 1m 4m Descrever matematicamente a curva de transição suave entre os dois níveis da coberta.

36 Aplicações de Diferenciação - Restrição de Funções - Eemplo continuação: 1m y Restrições 4m y a 0 +a 1 +a +a y0 1 y4 0 y 0 0 y 4 0 a 0 1 a 1 0 a /16 a 1/ a 0 1 a 0 +4a 1 +16a +64a 0 a 1 0 a 1 +8a +48a 0 y

37 Aplicações de Diferenciação Eemplo: - Restrição de Funções - Uma escultura é concebida pela composição de uma folha, na forma de uma parábola y, combinada com um cilindro de raio unitário, conforme esquema abaio. y Determinar a ordenada do centro da circunferência geratriz do cilindro.

38 Aplicações de Diferenciação - Restrição de Funções - Eemplo continuação: y 0,b C 1 Restrição geométrica A circunferência tangencia a parábola. t t T y p t y c t

39 Aplicações de Diferenciação - Restrição de Funções - Eemplo continuação: Curvas y p y p y c b 1 y c Restrição geométrica Ordenada do centro t 1 t t 1 t C : 0,b T :, 4 5 CT 1 b 4

40 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Definição de Etremos: Seja f uma função definida num intervalo I que contenha c. 1. fc é o mínimo de f em I se fc f para todo pertencente a I.. fc é o máimo de f em I se fc f para todo pertencente a I. O mínimo e o máimo de uma função em um intervalo são os valores etremos, ou etremos, da função neste intervalo. O mínimo e o máimo de uma função em um intervalo são chamados também de mínimo absoluto e máimo absoluto neste intervalo.

41 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Função contínua no intervalo fechado [-1, ]

42 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Função contínua no intervalo aberto -1,

43 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Função descontínua no intervalo fechado [-1, ] g + 1,, 0 0

44 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções Definição de Etremo Relativo: 1. Se eiste um intervalo aberto contendo c no qual fc é um máimo, então fc é chamado de máimo relativo de f.. Se eiste um intervalo aberto contendo c no qual fc é um mínimo, então fc é chamado de mínimo relativo de f.

45 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções Definição de Número Crítico: Teorema Se f tem um mínimo relativo ou um máimo Teorema: relativo em c, então c é um número crítico de f. Seja f uma função definida em c. Se f c 0 ou se f não é diferenciável em c, então c é um número crítico de f.

46 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Encontrando Etremos em um Intervalo Fechado: Para encontrar os etremos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b] deve-se 1. Achar os números críticos em a, b.. Calcular f em cada número crítico em a, b.. Calcular f nas etremidades de a, b. 4. O menor desses valores é o mínimo. O maior é o máimo.

47 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo: Ache os etremos de f 4 4 no intervalo [-1, ]. Passo 1: Achar os pontos críticos f 1 1 f

48 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo continuação: Passo : Achar o valor da função nos pontos críticos f 0 0 e f 1 1 Passo : Calcular o valor da função nas etremidades do intervalo e f 1 7 f 16 Passo 4: Identificar os valores etremos Valor mínimo igual a 1 em 1 Valor máimo igual a 16 em

49 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo continuação:

50 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo: Ache os etremos de f / no intervalo [-1, ]. Passo 1: Achar os pontos críticos 1/ 1 f 1/ 1/ 1/ 1 f / No entanto, 0 também é número crítico, uma vez que f 0 não eiste.

51 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo continuação: Passo : Achar o valor da função nos pontos críticos f 0 0 e f 1 1 Passo : Calcular o valor da função nas etremidades do intervalo e f 1 5 f 6 9 0, 4 Passo 4: Identificar os valores etremos Valor mínimo igual a 5 em 1 Valor máimo igual a 0 em 0

52 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo continuação: Máimo 0, 0, -0,4 1, -1 f / Mínimo -1, -5

53 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo revisitando o problema da caia: Deseja-se construir uma caia aberta a partir de uma folha de papel Ofício cortando arestas de quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados para cima agora com a técnica da aba, conforme esquematização abaio. dobre aqui dobre aqui dobre aqui dobre aqui Determinar a medida de corte que resulte em uma caia de maior volume. Qual o volume da caia otimizada?

54 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo continuação: 16 mm dobre aqui dobre aqui dobre aqui dobre aqui 16-0 mm V 0 16 V mm 0-

55 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo continuação: Ache o ponto de máimo da função no intervalo [0, 108]. V Passo 1: Achar os pontos críticos f f , ,4 Fora do domínio

56 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo continuação: Passo : Achar o valor da função no ponto crítico V , 41 Passo : Calcular o valor da função nas etremidades do intervalo V 0 V 108 Passo 4: Identificar o valor máimo 0 Valor máimo igual a , mm 164,0 cm para 4,6 mm 4,6 cm

57 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo: Deseja-se construir um recipiente no formato de um cilindro fechado para comportar um volume conhecido. Descobrir as dimensões do cilindro diâmetro e altura correspondente ao recipiente ótimo menor gasto de material. b volume V h

58 Eemplo continuação: Eemplo continuação: Aplicações de Diferenciação Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções Otimização de Funções - h b V 4 π 4 b V h π Relação entre as dimensões do cilindro em função da restrição do volume bh b A π π + 4 Área da superfície do cilindro b V b b A π π π b V b b A 4 + π

59 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo continuação: Ache o ponto de mínimo da função correspondente à área da superfície do cilindro no intervalo [0, [, onde b 4V A b π + b Passo 1: Achar os pontos críticos A b πb A b 4V b 0 4V πb b πb 4V b 0 b 4 V π O outro número crítico eistente, b 0, será tratado como etremidade do intervalo.

60 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo continuação: Passo : Achar o valor da função no ponto crítico A 4V π V π Passo : Calcular o valor da função nas etremidades do intervalo e lim A b b 0 lim b A b Passo 4: Identificar o valor etremo de interesse Valor mínimo igual a V π em 4 π b V

61 Aplicações de Diferenciação - Otimização de Funções - Eemplo continuação: Altura do cilindro para o projeto da superfície mínima h h o 4V 4 V b o π 4V h o πb 4 V 4 V π h o b o 4 V π 4 V π π π volume V

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