3ª LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO NUMÉRICO Prof.: Magnus Melo

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1 ª LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO NUMÉRICO Prof.: Magnus Melo Os eercícios a 4 se referem a interpolação polinomial. Resolva-os com os dois polinômios interpoladores estudados. 4 ) Dada a função f ( ), determine: (a) P (,5) usando os valores de f (,) e f (,). (b) P (,5) usando os valores de f (,), f (,) e f (,). Obs.: Compare os resultados com o valor eato de f(,5). ) Usando três pontos da tabela abaio, determine a população de Belo Horizonte no ano de 975. ANO POPULAÇÃO Resp.:.5.45 com os últimos pontos. ) Considere a tabela dada a seguir e obtenha os coeficientes a, a e a do polinômio interpolador do o grau, P ( ) a a a Resp.: a =,5, a=,5 e a =. y 6 4) A tabela seguinte relaciona a quantidade ideal de calorias, em função da idade e do peso para homens que possuem atividade física moderada e vivem a uma temperatura ambiente de o C. Cota de Calorias (kcal) Peso (kg) Idade (anos) Usando três pontos, determine a cota aproimada de calorias para um homem,

2 (a) de anos que pesa 7 kg; Resp.: 7,44 kcal (b) de 45 anos que pesa 6 kg; Resp.: 756, kcal (c) de 5 anos que pesa 78 kg; Resp.: 75, kcal 5) Usando a regra dos trapézios, calcular o valor das integrais: cos (a) d, com m cos (b) d, com m 4 6 (c) ( ) d, com m obs.: Valores eatos: cos d, 6 6 e ( ) d 4 6) Calcular usando a a regra de Simpson, (a) d, para m e m 4 Obs.: Solução analítica: d arctan( ) c 7) O comprimento de arco de uma função contínua, no intervalo [a, b], é dado pela integral: b a f () d Calcular o comprimento do arco dado, no intervalo dado, usando a regra indicada: a) f () e ; em [,]. Usar a a regra de Simpson;

3 Resp.:, com m = 6. b) f () e em [,]. Usar a a regra de Simpson. Resp.:, com m = 6. 8) Dada a função y f () definida através da tabela dada abaio, calcule: aplicando:. 6 f( ) d, (a) A a Regra de Simpson. Resp.:,6 (b) A a Regra de Simpson. Resp.:, y ) Considere a tabela do eercício anterior. Determine o valor das integrais, usando qualquer método:.6 d, com H =,; Resp.:,4 com a ª regra de Simpson. (a) f ( ) (b).6 d f ( ), com m = 6. Resp.:,94 com a ª regra de Simpson. ) Integração dupla: Seja a integral: Pode-se escrever: Considerando-se: F () I b d a c d c f (, y)dyd, I b f (, y)dy, tem-se: a d c a b f (, y)dyd e c y d

4 I b a F()d Ou seja, o cálculo desta integral pela ª regra de Simpson, por eemplo, é dado por: I h com, F( ) 4F() F( ) 4F( ) F( 4 ) F( n ) 4F( n ) F( b a h n A integral, d F ( ) f (, y) dy pode ser resolvida por qualquer uma das regras de i c i integração numérica (normalmente a mesma usada para o cálculo de I). n ) Resolver as integrais duplas seguintes. Usar qualquer regra com 4 subintervalos. Reter, durante os cálculos, casas decimais. (a) I ydy d Resp.: Solução eata: I = 8 (b) I dyd y Resp.: Solução eata (com duas casas decimais): I = 4,4 ) Dado o P.V.I abaio, considere h =.5 e.5: y' 4 y() ) Dado o P.V.I a) Escreva a solução analítica deste P.V.I; Resp.: y 4 b) Encontre uma aproimação para y() usando o método de método de Taylor de ordem. y' y, deseja-se encontrar uma aproimação para y(,4). Resolva por: y() o Método de Taylor de ordem com h =,; o Euler, com h =,. Obs.: Solução analítica: y 4

5 y' y y ) Considere o P.V.I: Determinar I yd y() Pra resolução do P.V.I use o método de Euler. Usar h =.5 e h =.5. Use qualquer método de integração numérica para resolver a integral. Resp.: I =,9 e I =,9 com a ª regra de Simpson. 4) Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e um indutor L ligados em série, conforme ilustrado esquematicamente na figura abaio, com uma força eletromotiz V=V(t). Fechado o interruptor S em t=, segue-se, de uma das leis de Kirchhoff para circuitos elétricos que, se t>, a corrente I=I(t) satisfaz a equação diferencial: di L dt RI V(t) Estimar o valor de I(,5), sabendo que I()=, usando o método de Taylor de ordem, com h =,5. Considere V = t, R= e L=. Use casas decimais em seus cálculos. Resp.: I(,5) =,7A. 5) Resolva os P.V.I s desta lista com um dos métodos de Runge Kutta de ordem. 6) Resolva os P.V.I s abaio: a) y'' y' y y() y'(), com h =. e m = ;

6 b) y'' 7 y y() y'(), com [, ] e h =,; c) y' ' ( e y ) y() y'(), com [,.6] e h =,. Respostas do eercício 6: a) i i yi,,,99,,954,,88 b) i i yi,,,7,4,99,6 -,7 4,8 -,4 5 -,946 c) i i yi,,,4,4,568,6, 7) Seja o circuito Elétrico RCL: Onde, E = E(t) força eletromotriz (Volts); L indutância (Henrys); R resitência (Ohms); C capacitância (Farad).

7 A equação que representa o circuito é: d q L dt dq R dt q C E(t) aqui, q = q(t) é a carga no capacitor (Coulombs) no tempo t. Use o método de Taylor de ordem para determinar a carga do capacitor em t =,4 segundos, considerando: L = Henry, R = Ohms, C =,5 Farad, E(t) = 5cost, q() = 4 Coulombs e q () =. Use h =, e duas casas decimais em seus cálculos. Resposta: q(,4) = 7,7 Coulombs