GOVERNO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG.

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1 GOVERNO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA CÁLCULO II Discente CPF Turma A2 Sala NT 02 CCA Data 07 de Dezembro de 2015 Integração Numérica As primitivas de algumas funções, como e, não têm fórmulas elementares. Quando não conseguimos determinar uma primitiva viável para a função ƒ que precisamos integrar, dividimos o intervalo de integração, substituímos ƒ por um polinômio ajustado bem próximo de f em cada subintervalo, integramos os polinômios e somamos os resultados para aproximar a integral de f. Esse procedimento é um exemplo de integração numérica. Estudaremos dois métodos, a regra do trapézio e a regra de Simpson. Para que seja, possível aplicar esse método a função precisa ser continua ao longo do intervalo de integração. Esse procedimento é um exemplo de integração numérica. Aproximações por trapézios A regra do trapézio para o valor de uma integral definida se baseia na aproximação da região entre uma curva e o eixo com trapézios em vez de retângulos, como foi feito na demonstração da área entre e o eixo dos (Integral de Riemann). 1

2 Não é preciso que os pontos da subdivisão, na figura estejam uniformemente espaçados, mas a fórmula resultante será mais simples se isso acontecer. Por isso, consideramos o comprimento de cada subintervalo como O comprimento malha. recebe o nome de Tamanho do passo ou Tamanho da A área do trapézio que fica acima do i-éssimo subintervalo é Onde e. Essa área é o comprimento da altura horizontal do trapézio vezes a média das suas bases verticais. A área abaixo da curva e acima do eixo é, então, aproximada pela soma das áreas de todos os trapézios: Onde A regra do trapézio diz: use para estimar a integral de, de até. Definição Regra do Trapézio Para aproximar, use Os são os valores de nos pontos da partição Onde. A regra do Trapézio aproxima pequenos trechos da curva com Trapézios. 2

3 Regra de Simpson: aproximações com o uso de parábolas Outra regra para aproximar a integral definida de uma função contínua consiste em usar parábolas em vez dos segmentos de reta que forma trapézios. Como anteriormente, dividimos o intervalo em subintervalos de mesmo comprimento, mas dessa vez exigimos que seja um número par. Em cada par consecutivo de intervalos, aproximaremos a curva por uma parábola, como mostra a figura abaixo. Uma parábola típica passa por três pontos consecutivos na curva. e Calcularemos a área sombreada sob uma parábola que passa por três pontos consecutivos. Para simplificar nossos cálculos, primeiro consideremos o caso em que e. Figura abaixo. Onde. A área sob a parábola será a mesma se deslocarmos o eixo para a esquerda ou para a direita. A parábola tem uma equação da forma até é, portanto, a área sob ela de 3

4 Integrando vem Como a curva passa pelos três pontos e também temos De onde obtemos o sistema linear Assim, a expressão da área em termos das ordenadas e, fica Agora, se deslocarmos a parábola horizontalmente para a posição sombreada na figura abaixo, a área sob ela permanecerá a mesma. ainda é Assim, a área sob a parábola que passa por e na figura Da mesma forma, a área sob a parábola que passa pelos pontos e é 4

5 Calculando as áreas sob todas as parábolas e somando os resultados, podemos escrever a aproximação da área por O resultado é conhecido como regra de Simpson. Não preciso que a função seja positiva, mas o número de subintervalos tem que ser par. Definição Regra de Simpson Para aproximar, use Os são os valores de nos pontos da partição Onde. A regra de Simpson aproxima pequenos trechos da curva com parábolas. Análise de erro Sempre que usamos uma técnica de aproximação, a questão que se coloca é o quanto a aproximação pode ser precisa. O teorema a seguir leva a fórmulas para estimar os erros quando se usa a regra dos trapézios e a regra de Simpson. O erro é a diferença entre a aproximação obtida pela regra e o valor real da integral definida. 5

6 Regra do Ponto Médio Considere agora o caso, em temos o retângulo de base e altura, sendo o ponto médio do intervalo Definição Regra do Ponto Médio Para aproximar, use é o ponto médio do j-ésimo intervalo Teorema 2 Estimativa de Erro para o Ponto Médio Seja. Então um número tal que 6