Interpolação polinomial

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1 Quarto roteiro de exercícios no Scilab Cálculo Numérico Rodrigo Fresneda 8 de abril de 0 Guia para respostas: Entregue suas respostas às tarefas contidas no roteiro de cada uma das quatro atividades, incluindo quaisquer algoritmos pedidos. Não copie do pdf e cole no Scilab para evitar erros de compilação: digite todos os comandos novamente. Data limite para entrega: 09/05/0 Parte I Interpolação polinomial Nesta atividade iremos calcular o polinômio interpolador p de grau n ou menor aos n pontos distintos (x i, y i ), p (x i ) = y i, i =,..., n Para tanto iremos nos valer de duas formas para p vistas em sala: aquela dada pela fórmula de Lagrange, e aquela dada pela fórmula de Newton. Polinômios interpoladores de Lagrange A fórmula de Lagrange para o polinômio interpolador de grau n é dada por p (x) = y i L i (x) em que y i, i =,..., n, são as coordenadas depentes na tabela (x i, y i ), e os L i (x) são os polinômios n x x j L i (x) = x i x j j = j i

2 A seguinte função do Scilab obtém a interpolação num ponto xin usando a fórmula de Lagrange para o polinômio interpolador: Algoritmo Fórmula de Lagrange function [ yin ] = i l a g r a n g e ( x, y, xin ) // i l a g r a n g e a j u s t a um polinomio de Lagrange a um conjunto de pontos dado // e usa o polinomio para determinar o v a l o r i n t e r p o l a d o de um ponto. // V a r i a v e i s de entrada : // x Vetor coluna com as coordenadas x dos pontos dados //y Vetor coluna com as coordenadas y dos pontos dados // xin A coordenada x do ponto a s e r i n t e r p o l a d o // V ariavel de s a i d a : // yin O v a l o r i n t e r p o l a d o de xin // O comprimento do v e t o r x f o r n e c e o numero de termos do polinomio n = length ( x ) ; for i = : n, // Calcula os termos Li do p r o d u t o r i o L(, i ) = ; for j = : n, i f j ~= i, L(, i ) = L(, i )*( xin - x ( j ) ) / ( x ( i ) - x ( j ) ) ; // Calcula o v a l o r do polinomio da Eq. (6) yin = ; function Polinômios interpoladores de Newton A formula de Newton para o polinômio interpolador de grau n, para os n pontos de interpolação (x i, y i ), i =,..., n, e p (x) = [y,..., y i ] (x x ) (x x ) (x x i )

3 em que os coeficientes [y,..., y i+ ] são as diferenças divididas de ordem i dos y i em relação aos x i. As diferenças divididas de ordens 0, e são: [y ] = y [y, y ] = y y x x [y, y, y 3 ] = x 3 x = [y, y 3 ] [y, y ] x 3 x Seguindo essa relação de recorrência, podemos escrever e de modo geral, ( y3 y y ) y x 3 x x x [y, y, y 3, y 4 ] = [y,y 3, y 4 ] [y, y, y 3 ] x 4 x [y,..., y k ] = [y,..., y k ] [y,..., y k ] x k x O seguinte programa pode ser utilizado para interpolar um ponto xin usando polinômios de Newton. 3

4 Algoritmo Fórmula de Newton function yin = inewton ( x, y, xin ) // inewton a j u s t a um polinomio de Newton a um dado conjunto de pontos e // usa e s s e polinomio para determinar o v a l o r i n t e r p o l a d o de um ponto. // V a r i a v e i s de entrada : // x Vetor com as coordenadas x dos pontos dados //y Vetor com as coordenadas y dos pontos dados // xin Coordenada x do ponto a s e r i n t e r p o l a d o // V ariavel de s a i d a : // yin O v a l o r i n t e r p o l a d o de xin. n = length ( x ) ; //Comprimento do v e t o r x f o r n e c e o numero de c o e f i c i e n t e s // ( e termos ) do polinomio a ( ) = y ( ) ; // Primeiro c o e f i c i e n t e a for i = : n-, // Calcula as d i f e r e n c a s d i v i d i d a s de ordem // Elas sao armazenadas na a coluna de d i f d i f ( i, ) = ******************** ; for j = : n-, // Calcula as d i f e r e n c a s d i v i d i d a s de ordem ate (n ) // Elas sao armazenadas nas colunas de d i f for i = : n-j, d i f ( i, j ) = ( d i f ( i +, j -)- d i f ( i, j - ) ) / ( x ( i+j )-x ( i ) ) ; for j = : n, // A t r i b u i os c o e f i c i e n t e s a a an ao v e t o r a a ( j ) = d i f (, j - ) ; // Calcula o v a l o r i n t e r p o l a d o de xin yin = a ( ) ; xn=; for k = : n, xn = xn*( xin-x ( k- ) ) ; yin = ********* ; function Atividade. Complete as linhas com *** das funções ilagrange e inewton.. Sabe-se que um dispositivo não-linear, quando alimentado por uma tensão U (em volts) apresenta como saída a corrente I (em ma), dada por I = 5U 3 8U + 0U () 4

5 Usando a equação acima, preencha seguinte tabela com os valores esperados para a corrente U (V ) I: I (ma) 3. Qual o valor de I para U = 0V? 4. Usando apenas os n = primeiros pontos da tabela, obtenha por extrapolação uma estimativa para a corrente quando U = 0V usando a função ilagrange. Qual o erro absoluto da estimativa? 5. Repita o item 4 para n = 3, 4, 5, 6, 7, 9. Comente os resultados obtidos. Se você usasse o programa inewton, os resultados seriam diferentes? Justifique. 6. O programa abaixo traça num mesmo gráfico a função dada na () para 0 U 0 e o polinômio interpolador utilizando os n = 3 primeiros pontos da tabela. Comente os resultados obtidos. Algoritmo 3 x = linspace (- 0, 0, 0 0 ) ; y = 5 x.^3-8 x.^+0 x ; v = [ ] ; - i = 5 v.^3-8 v.^+0 v ; for int = : length ( x ) xin = x ( int ) ; yin ( int ) = i l a g r a n g e ( v, i, xin ) ; plot ( x, y, x, yin, r, v, i, ) ; xgrid ; x l a b e l ( v ) ; y l a b e l ( i ) ; leg ( Valores exatos, Polinomio de Lagrange, Dados usados na i n t e r p. ) ; 7. Modifique o programa do item 6 de forma a usar os n = 4 primeiros pontos da tabela. Comente os resultados obtidos. 3 Aproximação polinomial a um conjunto de n+ pontos pelo método dos mínimos quadrados Dado um vetor x com n componentes distintas e um vetor y com n valores, queremos encontrar o polinômio p de grau m < n que melhor se ajusta aos pontos (x i, y i ) no sentido de minimizar a distância y p = n (y i p (x i )) () 5

6 Algoritmo 4 Calcula o polinômio P nos pontos x. P=poly ( a, x, c o e f f ) horner (P, x ) Como vimos em sala, esse problema é equivalente a resolver o sistema linear (e 0, e 0 ) (e, e 0 ) (e, e 0 ) (e m, e 0 ) a 0 (e 0, e ) (e, e ) (e, e ) (e m, e ) a (e 0, e ) (e, e ) (e, e ) (e m, e ) a =. (e 0, e m ) (e, e m ) (e, e m ) (e m, e m ) a m (y, e 0 ) (y, e ) (y, e ). (y, e m ) (3) onde os vetores e i, i = 0,..., m dados abaixo são linearmente indepentes, x x x x, e = x 3, e = x 3,..., e m = e 0 =.. x n. x n x m x m x m 3. x m n, e o produto escalar no R n é (x, y) = x i y i, x, y R n Atividade. Escreva uma rotina que recebe os vetores x e y de mesmo comprimento como dados de entrada e calcula a matriz de coeficientes e o vetor de constantes do sistema de equações normais para um dado grau m do polinômio de ajuste (3).. Utilize sua rotina, juntamente com a rotina de eliminação gaussiana da aula passada para obter o polinômio de grau 5 que melhor se ajusta aos dados contidos no arquivo dados.txt que se encontra na página do curso. 3. Finalmente, calcule o erro na sua aproximação de acordo com a expressão (). Dica: utilize a função poly para criar um polinômio em x cujos coeficientes são as componentes do vetor a, e a função horner para calcular o polinômio nos pontos dados pelo vetor x : Para ler uma tabela de dados com colunas de números a partir de um arquivo, utilize os comandos: 6

7 Algoritmo 5 Como ler dados a partir de um arquivo dados = mopen( /caminho/ para / arquivo / dados. txt, r ) ; // abre arquivo i f ( dados == -) error ( nao e p o s s i v e l l e r arquivo ) ; [ num, x, y ] = mfscanf (-, dados, %f %f ) ; // l e r t a b e l a com duas colunas mclose ( dados ) ; // f e c h a arquivo Parte II Integração Numérica 4 integração por trapézios A regra do trapézio para a integração numérica de funções é baseada na aproximação da integral a partir da interpolação de uma reta que passa pelos limites de integração a e b. Na figura abaixo podemos observar que a integral neste caso equivale à área de um trapézio com bases f (a) e f (b) e altura (b a). Figura : Integração por trapézio em pontos A área abaixo da curva é dada então por: (b a) I [f (a) + f (b)] Dividindo o intervalo [a, b] em n sub-intervalos podemos calcular a integral de f (x) pela soma do valor da integral em cada subintervalo. 7

8 Figura : Integração por trapézios em n + pontos I ˆ x x =a ˆ x3 ˆ xn+=b f (x) dx + f (x) dx + + f (x) dx = x x n Aplicando a regra do trapézio a cada um dos subintervalos, temos: I ( ) xi+ x i [f (x i+ ) + f (x i )] No caso dos intervalos serem igualmente espaçados temos que: Finalmente: I h x i+ x i = h [f (x i+ ) + f (x i )] i=0 ˆ xi+ x i f (x) dx A expressão acima pode ser facilmente implementada no Scilab para efetuar o cálculo da integral f (x). Atividade 3. Escreva uma função no Scilab para calcular, por meio da fórmula dos trapézios, a integral dos dados tabulados abaixo. Os argumentos da função devem ser os vetores x e y dos dados.. Utilizar a função acima para calcular a área contida sobre os pontos da tabela abaixo (Resp. 0, 346). x y Reescreva a função que você criou para o cálculo do valor da integral de uma função. Os argumentos da função devem ser: a própria função a ser integrada, os limites de integração e 8

9 o número de subintervalos. Utilize a função recém criada para o cálculo das integrais abaixo: ˆ 0 e x dx resp.0, ˆ 0 e x sin (x) dx resp. 0, 4584 Dica: seu algoritmo pode receber como parâmetro uma string como exp(-x^) e calcular a integral da função representada por esse string. Para isso, dentro do seu algoritmo você pode criar uma outra rotina que recebe a string e um número, e calcula a função representada por essa string no ponto especificado: Algoritmo 6 Exemplo de implementação de função genérica function [ y]=f( z, string ) x=z y=evstr ( string ) \\ c a l c u l a a string ( funcao de x ) no ponto z function 5 regra de Simpson /3 A fórmula de integração por trapézios se baseia na aproximação do integrando por um polinômio de primeira ordem, para então integrar o polinômio no intervalo desejado. A regra de Simpson /3 é uma extensão da regra dos trapézios em que o integrando é aproximado por um polinômio de grau (ver figura abaixo). Assim: I = ˆ b a f (x) dx ˆ b a p (x) dx Figura 3: Simpson /3: p (x) é um polinômio de grau 9

10 Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange, para os pontos de interpolação a, b e o ponto médio m = (a + b) / temos p (x) = f (a) Após integrar, temos: (x m) (x b) (x a) (x b) (x a) (x m) + f (m) + f (b) (a m) (a b) (m a) (m b) (b a) (b m) I = ˆ b a p (x) dx = b a 6 [ f (a) + 4f ( a + b ) ] + f (b) Observe que como são necessários 3 pontos para a definição de um polinômio de grau, o intervalo de integração [a, b] é dividido em intervalos adjacentes. Desta forma a equação acima pode ser escrita como: em que I ˆ b a p (x) dx = h 3 [ f (a) + 4f ( a + b ) ] + f (b) h = b a De maneira análoga ao que foi feito para a regra dos trapézios, podemos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos e calcular a integral em cada um destes subintervalos. I ˆ x3 x =a ˆ x5 ˆ xn+=b f (x) dx + f (x) dx + + f (x) dx = x 3 x n Aplicando a regra de Simpson temos: I h f (a) i=,4,6,... f (x i ) + n i=3,5,7,... i=,4,6,... ˆ xi+ f (x i ) + f (b) x i f (x) dx Note que como o método de Simpson é aplicado em dois intervalos adjacentes de uma só vez, o intervalo de integração deve ser dividido em um número par de subintervalos para a utilização deste método. Atividade 4. Escreva uma função no Scilab para calcular por meio do método Simpson /3 a integral de dados tabulados. Os argumentos da função devem ser os vetores x e y dos dados.. Utilizar a função acima para calcular a integral nos pontos da tabela apresentada na atividade anterior. 3. Reescreva a função que você criou para o cálculo do valor do integral de uma função. Os argumentos da função devem ser: a própria função a ser integrada, os limites de integração e 0

11 o número de sub-intervalos. Utilize a função recém criada para o cálculo das integrais abaixo: ˆ 0 ˆ 0 e x dx (4) e x sin (x) dx (5)

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