Integração Numérica Regras de Newton-Cotes. Computação 2º Semestre 2016/2017

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1 Integração Numérica Regras de Newton-Cotes Computação 2º Semestre 2016/2017

2 Integração e Diferenciação Integração é o inverso da diferenciação: a) Diferenciação d v( t) yt dt b) Integração y( t) t 0 vt dt 2

3 Integração Integração: I f x dx é o valor total (soma) de f(x) dx deste a até b: b a 3

4 Integração em Ciência e Engenharia Cálculo de áreas: Cálculo de médias: Mean n i 1 n y i Mean b a f x b a dx 4

5 Integração em Ciência e Engenharia Cálculo do valor total de uma variável (linha/superfície/volume) Ex: Massa = concentraçãovolume Caso discreto: Caso contínuo: n i1 ( x, y, z) dxdydz c c i V i 5

6 Regras de Newton-Cotes São os métodos de integração numérica mais comuns. A ideia é substituir uma função complicada (ou os valores tabelados) por um polinómio que seja fácil de integrar: em que f n (x) é um polinómio interpolador de grau n: I b f x dx f n x dx a b a 6

7 Regras de Newton-Cotes A função pode ser um polinómio de qualquer ordem: (a) linha recta (b) parábola. O integral pode ser aproximado num só passo ou numa série de passos para diminuir o erro. 7

8 Regra do Trapézio É a primeira das regras de Newton-Cotes; usa uma linha recta para aproximar a função: b I f n x dx I a b f (a) f b f a x adx a b a f b 2 I b a f a 8

9 Regra do Trapézio Uma estimativa para o erro local de truncatura da aplicação da regra do trapézio é: E t 1 12 f b a 3 em que é um valor entre a e b. O erro depende da curvatura da função e da distância entre os pontos. O erro pode portanto ser reduzido partindo a curva em segmentos. 9

10 Regra do Trapézio Exemplo: Usar a regra do trapézio para integrar numericamente: de a=0 a b=0.8. (o valor exacto calculado analiticamente é ) I f a f b b a f 0.8 f Como sabemos o valor exacto, o erro é: E t = = t Em geral apenas podemos calcular uma estimativa para o erro: E t 1 12 f No nosso caso: Cuja média é: Logo uma estimativa do erro é: % b a 3 10

11 Regra do Trapézio Composta Assumindo n+1 pontos equidistantes, integrar nos n segmentos resultantes. O integral total corresponde à soma dos integrais obtidos em cada segmento: x n x 1 x 2 x n I f n x dx f n x dx f n x dx f n x dx x 0 I x 1 x 0 f x 0 fx 1 2 I h n1 2 f x 0 2 fx i f x n i 1 x 0 x 1 x 2 x 1 f x 1 f x 2 2 x n1 x n x n1 f x n1 f x n 2 11

12 Regra do Trapézio Composta I h 2 f n 1 x f x f x 0 2 i1 i n h b a n O erro da regra do trapézio composta corresponde à soma dos erros cometidos em cada segmento: 3 n b a E f t 12n 3 i1 i Que pode ser estimado usando a aproximação: 3 b a E a 2 12n f (dobrar o nº de segmentos corresponde a dividir por 4 o erro) 12

13 Regra do Trapézio Composta Exemplo: Usar a regra do trapézio com 2 segmentos para integrar : de a=0 a b=0.8. (o valor exacto calculado analiticamente é ) n 2 ( h 0.4) : 0.2 2(2.456) I Como sabemos o valor exacto, o erro é: A estimativa do erro é: f ( 0) 0.2 f ( 0.4) f ( 0.8) E t = = E a 3 b a n 2 f 12(2) 3 2 ( 60) 0.64 t 34.9% 13

14 Regra do Trapézio Composta Exemplo: Usar a regra do trapézio com n segmentos para integrar : de a=0 a b=0.8. (o valor exacto calculado analiticamente é ) (dobrar o nº de segmentos corresponde a dividir por 4 o erro) 14

15 Regra do Trapézio Composta function I = trap(func,a,b,n,varargin) % trap: composite trapezoidal rule quadrature % I = trap(func,a,b,n,pl,p2,...): composite trapezoidal rule % input: % func = name of function to be integrated % a, b = integration limits % n = number of segments (default = 100) % pl,p2,... = additional parameters used by func % output: % I = integral estimate if nargin<3,error('at least 3 input arguments required'),end if ~(b>a),error('upper bound must be greater than lower'),end if nargin<4 isempty(n),n=100;end 15

16 Regra do Trapézio Composta x = a; h = (b - a)/n; s=func(a,varargin{:}); for i = 1 : n-1 x = x + h; s = s + 2*func(x,varargin{:}); end s = s + func(b,varargin{:}); I = (b - a) * s/(2*n); 16

17 Regra do Trapézio Composta Exemplo: Calcular a distância z percorrida por um bungee-jumper após 3 segundos com g=9.81 m/s 2, m=68.1 kg, c d =0.25 kg/m cuja solução analítica é: Usando a solução analítica: >> format long >> z=@(t) (68.1/0.25)*log(cosh(sqrt(9.81*0.25/68.1)*t)); >> dist = z(3) dist = z( t) z( t) t t gm vt dt tanh 0 0 c d m c d lncosh gc m d t gc m d t dt 17

18 Regra do Trapézio Composta Exemplo: Calcular a distância z percorrida por um bungee-jumper após 3 segundos com g=9.81 m/s 2, m=68.1 kg, c d =0.25 kg/m cuja solução analítica é: Usando a regra do trapézio composta com 5 segmentos: >> v=@(t) sqrt(9.81*68.1/0.25)*tanh(sqrt(9.81*0.25/68.1)*t); >> tr5=trap(v,0,3,5), dist tr5 = dist = z( t) z( t) t t gm vt dt tanh 0 0 c d m c d lncosh gc m d t gc m d t dt 18

19 Regra do Trapézio Composta Exemplo: Calcular a distância z percorrida por um bungee-jumper após 3 segundos com g=9.81 m/s 2, m=68.1 kg, c d =0.25 kg/m cuja solução analítica é: Usando a regra do trapézio composta com segmentos: >> tr5=trap(v,0,3,10000), dist tr5 = dist = z( t) z( t) t t gm vt dt tanh 0 0 c d m c d lncosh gc m d t gc m d t dt 19

20 Regras de Simpson Uma desvantagem da regra do trapézio resulta de o erro depender da segunda derivada da função. Polinómios de ordem superior podem ser melhores para aproximar curvas: (a) Polinómio de 2º grau; (b) Polinómio de 3º grau As fórmulas que resultam da integração desses polinómios denominam-se Regras de Simpson. 20

21 Regra de Simpson 1/3 A Regra de Simpson 1/3 corresponde a usar um polinómio de segunda ordem que passe pelos 3 pontos: f n x x x 1 x x 2 x 0 x 1 x 0 x 2 f x 0 x x 0 x x 2 x 1 x 0 x 1 x 2 f x 1 x x 0 x x 1 x 2 x 0 x 2 x 1 f x 2 Cuja integração se simplifica para: x 2 I f n x dx x 0 I h 3 f x 0 4 f x 1 f x 2 x 1 a b 2 h b a 2 21

22 Regra de Simpson 1/3 Uma estimativa para o erro local de truncatura da aplicação da regra de Simpson 1/3 é: E t f 4 b a 5 em que é um valor entre a e b. O erro depende da quarta derivada da função e da distância entre os pontos. O erro pode ser reduzido partindo a curva em segmentos. O erro depende do tamanho do passo elevado à 5ª potência (em vez de elevado à 3ª potência como na regra do trapézio). 22

23 Regra de Simpson 1/3 Exemplo: Usar a regra de Simpson 1/3 para integrar : de a=0 a b=0.8. (o valor exacto calculado analiticamente é ) n 2 ( h 0.4) : 0.2 4(2.456) I Como sabemos o valor exacto, o erro é: A estimativa do erro é: f ( 0) 0.2 f ( 0.4) f ( 0.8) E t = = E a f t 16.6% ( 2400)

24 Regra de Simpson 1/3 Composta A regra de Simpson 1/3 também pode ser aplicada a uma sequência de subintervalos: Implica um número ímpar de pontos. A fórmula é mais complicada que a da regra do trapézio: x n x 2 x 4 x n I f n x dx f n x dx f n x dx f n x dx x 0 x 0 x 2 I h 3 f x 0 4 f x 1 f x 2 h 3 f x 2 4 f x 3 f x 4 h 3 f x n2 4 f x n1 f x n I h n1 n2 3 f x 0 4 f x i 2 f x i i1 j2 i, odd j, even f x n x n2 E a 5 b a (4) 180n 4 f 24

25 Regra de Simpson 1/3 Composta Exemplo: Usar a regra de Simpson 1/3 com n=4 para integrar: de a=0 a b=0.8. (o valor exacto calculado analiticamente é ) n 4 ( h 0.2) : f ( 0) 0.2 f ( 0.2) f ( 0.4) f ( 0.6) f ( 0.8) ( ) 2(2.456) I Como sabemos o valor exacto, o erro é: E t = = A estimativa do erro é: E a 5 b a n 4 f (4) 5 180(4) 4 t 1.04% ( 2400)

26 Regra de Simpson 3/8 A Regra de Simpson 3/8 corresponde a usar um polinómio de 3ª grau que passe por 4 pontos. A integração nos quatro pontos simplifica-se para: x 3 I f n x dx x 0 I 3h 8 f x 0 3 f x 1 3 f x 2 f x 3 A Regra de Simpson 3/8 é geralmente usada em conjunto com a regra de Simpson 1/3 quando o número de segmentos é ímpar. 26

27 Regra de Simpson 3/8 Exemplo: Usar a regra de Simpson 3/8 para integrar: de a=0 a b=0.8. (o valor exacto calculado analiticamente é ) n 3 ( h ) : f ( 0) 0.2 f ( ) f ( ) f ( 0.8) ( ) I Como sabemos o valor exacto, o erro é: E t = = t 7.37% 27

28 Regra de Simpson 3/8 Exemplo: Usar a regras de Simpson 3/8 e 1/3 para integrar em 5 segmentos: de a=0 a b=0.8. (o valor exacto calculado analiticamente é ) n 5 ( h 0.16) : f ( 0) 0.2 f ( 0.48) f ( 0.64) O integral dos primeiros 2 segmentos é calculado pela regra de Simpsom 1/ ( ) I O integral dos últimos 3 segmentos é calculado pela regra de Simpsom 3/ ( ) I O total é: I Como sabemos o valor exacto, o erro é: E t = = f ( 0.16) f ( 0.32) % t f ( 0.8)

29 Regras de Newton-Cotes de Ordem Superior Podem ser usados polinómios de ordem superior Quanto maior for a ordem do polinómio maior a ordem da derivada na estimativa do erro e maior potência do tamanho do passo. 29

30 Integração com Segmentos Desiguais As fórmulas anteriores foram simplificadas devido à equidistância entre os pontos. Frequentemente, em casos experimentais, apenas sabemos os valores de alguns pontos não equidistantes. A regra do trapézio pode ser facilmente adaptada a estes casos: x n x 1 x 2 x n I f n x dx f n x dx f n x dx f n x dx x 0 I x 1 x 0 f x 0 x 0 f x 1 2 x 1 x 2 x 1 f x 1 f x 2 2 x n1 x n x n1 f x n1 f x n 2 30

31 Integração com Segmentos Desiguais function I = trapuneq(x,y) % trapuneq: unequal spaced trapezoidal rule quadrature % I = trapuneq(x,y): % Applies the trapezoidal rule to determine the integral % for n data points (x, y) where x and y must be of the % same length and x must be monotonically ascending % input: % x = vector of independent variables % y = vector of dependent variables % output: % I = integral estimate if nargin<2,error('at least 2 input arguments required'),end if any(diff(x)<0),error('x not monotonically ascending'),end n = length(x); if length(y)~=n,error('x and y must be same length'); end 31

32 Integração com Segmentos Desiguais s = 0; for k = 1:n-1 s = s + (x(k+l)-x(k))*(y(k)+y(k+l))/2; end I = s; 32

33 Integração com Segmentos Desiguais Exemplo: Usar a regra do trapézio para integrar nos pontos da tabela: de a=0 a b=0.8. (o valor exacto calculado analiticamente é ) Solução: >> x = [ ]; >> y = *x-200*x.^2+675*x.^3-900*x.^4+400*x.^5; >> trapuneq(x,y) ans =

34 Funções do MATLAB O MATLAB disponibiliza as seguintes funções para o cálculo de integrais com a regra do trapézio: z = trapz(y) z = trapz(x, y) calcula o integral de y sobre x. Se x for omitido, assume h=1. z = cumtrapz(y) z = cumtrapz(x, y) calcula a acumulada do integral de y sobre x. Se x for omitido, assume h=1. 34

35 Funções do MATLAB Exemplo: Usar a regra do trapézio para integrar nos pontos da tabela: de a=0 a b=0.8. (o valor exacto calculado analiticamente é ) Solução: >> x = [ ]; >> y = *x-200*x.^2+675*x.^3-900*x.^4+400*x.^5; >> trapz(x,y) ans =

36 Funções do MATLAB Exemplo: iiustrar a distância percorrida por um bungee-jumper ao longo do tempo com g=9.81 m/s 2, m=68.1 kg, c d =0.25 kg/m cuja solução analítica é: Solução : >> format short g >> t=[ ]; >> g=9.81;m=70;cd=0.275; >> v=round(sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t)); >> z=cumtrapz(t,v) z= z( t) z( t) t t gm vt dt tanh 0 0 c d m c d lncosh gc m t d gc m d t dt 36

37 Funções do MATLAB Exemplo: iiustrar a distância percorrida por um bungee-jumper ao longo do tempo com g=9.81 m/s 2, m=68.1 kg, c d =0.25 kg/m >> format short g >> t=[ ]; >> g=9.81;m=70;cd=0.275; >> v=round(sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t)); >> z=cumtrapz(t,v) z= >> ta=linspace(t(1),t(length(t))); >> za=m/cd*log(cosh(sqrt(g*cd/m)*ta)); >> plot(ta,za,t,z,'o') >> title('distance versus time') >> xlabel('t (s)'),ylabel('x (m)') >> legend('analytical','numerical') 37

38 Integrais Múltiplos Integrais múltiplos podem ser calculados numericamente integrando uma dimensão de cada vez. Integrais múltiplos podem ser usados para calcular médias: 38

39 Integrais Múltiplos Exemplo: A temperatura de uma superfície é descrita pela seguinte equação: Se a superfície tiver um comprimento de 8 m (dimensão x) e uma largura de 6 m (dimensão y) qual é a sua temperatura média? (o valor exacto é ) Solução: Usando a regra do trapézio com 2 segmentos para cada dimensão Resultado: 2554/(68)=53 39

40 Integrais Múltiplos O MATLAB tem funções pré-definidas dblquad e triplequad para calcular integrais duplos e triplos respectivamente: q = dblquad(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, tol) em que: q é o resultado do integral fun é a função a integrar xmin e xmax são os limites de integração da primeira variável ymin e ymax são os limites de integração da segunda variável Exemplo: >> q = dblquad(@(x,y) 2*x*y+2*x-x.^2-2*y.^2+72,0,8,0,6) q = 2816 >> q/(6*8) ans =