Métodos Numéricos. Professor Tenani - 9 de Agosto de 2015

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1 Métodos Numéricos Professor Tenani de Agosto de 2015 Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

2 Índice Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

3 Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

4 Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

5 Motivação O QUE SÃO MÉTODOS NUMÉRICOS? Métodos Numéricos são técnicas computacionais pelas quais os problemas matemáticos são formulados de modo que possam ser resolvidas com auxílio computacional. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

6 Motivação POR QUE DEVEM SER ESTUDADOS? Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na resolução de problemas. Eles são capazes de lidar com problemas que, em geral, são impossíveis de resolver de maneira analítica. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

7 Motivação POR QUE DEVEM SER ESTUDADOS? Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na resolução de problemas. Eles são capazes de lidar com problemas que, em geral, são impossíveis de resolver de maneira analítica. Durante a carreira, o engenheiro terá oportunidade de usar softwares disponíveis no mercado. Sem um conhecimento da teoria básica o prossional utiliza o software como uma caixa preta. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

8 Motivação POR QUE DEVEM SER ESTUDADOS? Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na resolução de problemas. Eles são capazes de lidar com problemas que, em geral, são impossíveis de resolver de maneira analítica. Durante a carreira, o engenheiro terá oportunidade de usar softwares disponíveis no mercado. Sem um conhecimento da teoria básica o prossional utiliza o software como uma caixa preta. Muitos problemas não podem ser resolvidos utilizando-se pacotes prontos de software, assim o engenheiro pode projetar sua própria solução para o problema. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

9 Motivação POR QUE DEVEM SER ESTUDADOS? Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na resolução de problemas. Eles são capazes de lidar com problemas que, em geral, são impossíveis de resolver de maneira analítica. Durante a carreira, o engenheiro terá oportunidade de usar softwares disponíveis no mercado. Sem um conhecimento da teoria básica o prossional utiliza o software como uma caixa preta. Muitos problemas não podem ser resolvidos utilizando-se pacotes prontos de software, assim o engenheiro pode projetar sua própria solução para o problema. Os métodos numéricos são um meio eciente para o aprendizado de programação. Os métodos numéricos auxiliam o prossional a reforçar seu entendimento da matemática. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

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11 Modelagem Matemática Objetivos da Seção Aprender como modelos matemáticos podem ser formulados com base em princípios cientícos para simular o comportamento de um sistema físico. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

12 Modelagem Matemática Objetivos da Seção Aprender como modelos matemáticos podem ser formulados com base em princípios cientícos para simular o comportamento de um sistema físico. Entender como métodos numéricos fornecem meios de gerar soluções de maneira que possa ser implementada em um computador. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

13 Modelagem Matemática Objetivos da Seção Aprender como modelos matemáticos podem ser formulados com base em princípios cientícos para simular o comportamento de um sistema físico. Entender como métodos numéricos fornecem meios de gerar soluções de maneira que possa ser implementada em um computador. Compreender os diferentes tipos de leis de conservação presentes nos modelos empregados nas várias disciplinas de engenharias. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

14 Modelagem Matemática Objetivos da Seção Aprender como modelos matemáticos podem ser formulados com base em princípios cientícos para simular o comportamento de um sistema físico. Entender como métodos numéricos fornecem meios de gerar soluções de maneira que possa ser implementada em um computador. Compreender os diferentes tipos de leis de conservação presentes nos modelos empregados nas várias disciplinas de engenharias. Conhecer os aspectos básicos de diferentes tipos de métodos numéricos que serão abordados neste curso. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

15 Motivação - Você tem um problema Objetivo: Prever a velocidade v(t) do salto de um saltador de bungee jumping em função do tempo t durante o período de queda livre do salto. Essa informação será utilizada para determinar o comprimento e a resistência da corda elástica para saltadores de diferentes pesos. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

16 Motivação - Um Modelo Matemático Simples Um modelo matemático pode ser denido como uma formulação ou uma equação que expressa as características essenciais de um sistema ou processo físico em termos matemáticos. y = f(variáveis independentes, parâmetros, funções forçantes) (1) onde y é a variável dependente A expressão algébrica (1) pode variar de uma simples relação algébrica a um conjunto grande e complicado de equações diferenciais. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

17 Motivação - Um modelo matemático simples Modelando o problema: Segunda Lei de Newton A segunda Lei de Newton tem uma expressão matemática bem conhecida: F = ma (2) Essa equação pode ser reescrita na forma: dv dt = F m (3) Podemos usar a equação (3) para determinar a velocidade nal de um corpo em queda livre. Nosso corpo em queda livre será o do saltador de bungee jumping Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

18 Motivação - Um modelo matemático simples Modelando o problema: Força resultante A força resultante de nosso problema será composta de duas forças opostas: F = F B + F C (4) Força gravitacional F B para baixo. F B = mg (5) Força de resistência do ar F C para cima proporcional ao quadrado da velocidade. F C = kv 2 (6) onde k é chamado coeciente de arrastre concentrado (kg/m) Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

19 Motivação - Um modelo matemático simples Nosso modelo: A força resultante é a soma das forças para baixo e para cima. dv dt = F m = F B + F C m = mg m kv 2 m = g kv 2 m Assim: onde: g 9, 98m/s 2 k é o coeciente de arrastre. m é a massa do saltador. dv dt = g k m v 2 (7) Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

20 Motivação - Um modelo matemático simples - Exemplo Nosso modelo: Solução algébrica A equação (7) é uma equação diferencial e não pode ser resolvida utilizando manipulação algébrica simples. Supondo que o saltador está inicialmente em repouso, v(0) = 0, a solução da equação (7) será: ( ) gm gk v(t) = k tanh m t (8) onde: tanh (x) = ex e x e x + e x Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

21 Motivação - Um modelo matemático simples - Exemplo Solução Analítica para o problema do bungee jumping Um saltador de bungge jumping com uma massa de 68, 1kg pula de uma balão de ar quente parado. Use a equação anterior para determinar a velocidade para cada um dos 12 segundos iniciais da queda livre. Determine também a velocidade nal que será atingida, considerando uma corda innitamente longa. Use um coeciente de arraste de 0, 25kg/m. Solução v(t) = ( ) gm gk k tanh m t = ( 9, 81 68, 1 tanh 0, 25 v(t) = 51, 6938tanh(0, t) ) 9, 81 0, 25 t 68, 1 * O MATLAB Permite o cálculo da tangente hiperbólica usando a função tang(x) Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

22 Motivação - Um modelo matemático simples - Exemplo Solução Substituindo os valores de t na fórmula calculamos os possíveis valores para a velocidade do saltador. A equação 8 é uma solução analítica porque satisfaz exatamente a equação original. Existem muitos modelos matemáticos que não possuem solução exata. v(t) = 51, 6938tanh(0, t) t(s) v (m/s) , , , , , ,6175 Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

23 Motivação - Um modelo matemático simples -Exemplo v(t) = 51, 6938tanh(0, t) Figura: A solução mostra que a velocidade aumenta com o tempo e se aproxima assintoticamente de uma velocidade nal. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

24 Motivação - Um modelo matemático simples - Exemplo Solução Aproximada - Método de Euler No Método de Euler trocamos a velocidade instantânea calculada através da derivada pela velocidade média obtendo: dv dt v t = v(t i+1) v(t i ) (9) t i+1 t i Onde v e t são as diferenças na velocidade e no tempo calculadas sobre intervalos nitos. v(t i ) é a velocidade em um instante inicial t i e v(t i+1 ) é a velocidade em um instante nal t i+1. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

25 Motivação - Um modelo matemático simples - Exemplo Solução Aproximada - Método de Euler Substituindo (9) na equação (7) ou v(t i+1 ) v(t i ) t i+1 t i = g k m v(t i) 2 v(t i+1 ) = v(t i ) + [g km ] v(t i) 2 (t i+1 t i ) Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

26 Motivação - Um modelo matemático simples - Método de Euler Figura: O uso do Método de Euler para aproximar a derivada Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

27 Motivação - Um modelo matemático simples - Exemplo Método de Euler Faça os mesmos cálculos que foram feitos no exemplo (1), mas use o Método de Euler para calcular a velocidade. Use uma tamanho de passo de 2s para os cálculos. Solução v(t i+1 ) = v(t i ) + [g km ] v(t i) 2 (t i+1 t i ) Para t 0 = 0 temos v(0) = 0. Para t 1 = 2 temos [ ] 0, 25 v(2) = v(0) + 9, 81 68, 1 v(0)2 [ ] 0, 25 2 = 0 + 9, 81 68, = 19, 62 Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

28 Motivação - Um modelo matemático simples - Exemplo Método de Euler Faça os mesmos cálculos que foram feitos no exemplo (1), mas use o Método de Euler para calcular a velocidade. Use uma tamanho de passo de 2s para os cálculos. Solução v(t i+1 ) = v(t i ) + [g km ] v(t i) 2 (t i+1 t i ) Para t 0 = 0 temos v(0) = 0. Para t 1 = 2 temos [ ] 0, 25 v(2) = v(0) + 9, 81 68, 1 v(0)2 Para t 2 = 4 temos [ v(4) = v(2) + 9, 81 [ ] 0, 25 2 = 0 + 9, 81 68, = 19, 62 ] [ 0, 25 68, 1 v(2)2 2 = 19, , 81 ] 0, 25 19, = 36, , 1 Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

29 Motivação - Um modelo matemático simples - Exemplo Método de Euler Faça os mesmos cálculos que foram feitos no exemplo (1), mas use o Método de Euler para calcular a velocidade. Use uma tamanho de passo de 2s para os cálculos. Solução v(t i+1 ) = v(t i ) + [g km ] v(t i) 2 (t i+1 t i ) Assim v(0) = 0 [ ] [ ] 0, 25 0, 25 v(2) = v(0) + 9, 81 68, 1 v(0)2 2 = 0 + 9, 81 68, = 19, 62 [ ] [ ] 0, 25 0, 25 v(4) = v(2) + 9, 81 68, 1 v(2)2 2 = 19, , 81 19, = 36, 4137 [ ] [ 68, 1 ] 0, 25 0, 25 v(6) = v(4)+ 9, 81 68, 1 v(4)2 2 = 36, , 81 36, = 46, , 1 Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

30 Motivação - Um modelo matemático simples - Exemplo Método de Euler Faça os mesmos cálculos que foram feitos no exemplo (1), mas use o Método de Euler para calcular a velocidade. Use uma tamanho de passo de 2s para os cálculos. Solução Seguindo o raciocínio, de forma análoga, temos t, s v, m/s , , , , , ,6938 Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

31 Motivação - Um modelo matemático simples - Método de Euler Figura: Comparação das soluções numérica e analítica do problema do saltador de bungeee jumping. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

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33 Erros - Introdução Objetivos da Seção Aprender como quanticar o erro. Aprender a usar estimativas de erros para decidir quando encerrar um cálculo iterativo. Entender como erros de arredondamento ocorrem em computadores digitais. Entender os limites de precisão na representação de números em ponto utuante. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

34 Erros - Você tem um problema Modelo Na seção inicial sobre modelagem, desenvolvemos um modelo numérico para calcular a velocidade de um saltador de bungee jumping aproximando a derivada da velocidade com uma diferença nita. Assim, a solução resultante não é exata dv dt v t = v(t i+1) v(t i ) t i+1 t i Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

35 Erros - Você tem um problema Computador O computador é uma ferramenta imperfeita em sua capacidade de representar os valores e a precisão. Logo, a própria máquina fornece resultados que contém erros Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

36 Erros - Você tem um problema Pergunta Como lidar com essa incerteza? É possível quanticar e controlar esses erros? Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

37 Erros Erro Verdadeiro A relação entre o resultado exato e a aproximação pode ser formulada como: E v = Valor Verdadeiro - Aproximação onde E v é o valor exato do erro. Erro Verdadeiro Relativo Um problema na denição acima é que o erro verdadeiro é que ele não leva em conta a ordem de grandeza do valor examinado.normalizando o erro, temos: Valor Verdadeiro - Aproximação ε v = Valor Verdadeiro onde ε v é o erro relativo percentual verdadeiro. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

38 Erros Erro Verdadeiro Relativo Valor Verdadeiro - Aproximação ε v = Valor Verdadeiro Erro Verdadeiro O sinal da equação anterior pode ser tanto positivo quanto negativo. Ao se realizar os cálculos não há preocupações com o sinal do erro. Assim, consideramos: ε a = Valor Verdadeiro - Aproximação Valor Verdadeiro (10) Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

39 Erros Erro Aproximado Nas aplicações do mundo real,não se conhece, o resultado verdadeiro a priori. A alternativa é estimar o erro como a diferença entre as aproximações prévia e atual. Aproximação Atual - Aproximação Anterior ε a = Aproximação Atual (11) onde ε a é o erro relativo percentual aproximado. Erro Aproximado O sinal da equação 11 pode ser tanto positivo quanto negativo. Ao se realizar os cálculos não há preocupações com o sinal do erro. Assim, consideramos: ε a = Aproximação Atual - Aproximação Anterior Aproximação Atual (12) Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

40 Erros - Critério de Parada Tolerância Ao se realizar os cálculos temos interesse em saber se o valor absoluto percentual ɛ a é menor que uma tolerância percentual pré especicada ɛ t. Para tais casos, os cálculos são repetidos até que: ε a < ɛ t (13) Essa relação é chamada de critério de parada. onde ε t é o erro máximo percentual permitido ou critério de parada. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

41 Erros - Estimativa de Erros série de Maclaurin Funções geralmente podem ser representadas por séries innitas. Por exemplo, a função exponencial y = e x pode ser calculada usando-se e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + + x n n! +... Conforme mais termos forem adicionados a sequência, a estimativa se torna cada vez mais próxima do valor verdadeiro e x. Esta equação é chamada de Expansão em série de Maclaurin. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

42 Exemplo série de Maclaurin e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + + x n n! +... Estime o valor de e 0,5 usando a série de Maclaurin adicionando um termo de cada vez; calculando o erro verdadeiro percentual ɛ v ;o erro aproximado percentual ɛ a e usando ɛ t = 0, 05% = 0, Use também que o valor verdadeiro de e 0,5 seja e 0,5 = 1, Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

43 Erros - Exemplo Solução Para um único termo temos e x = 1 e 0,5 = 1 O erro verdadeiro pode ser calculado como Valor Verd. - Valor Aprox. ε v = Valor Verd. = 1, , = = 39, 34% O erro aproximado não pode ser calculado pois não temos o erro aproximado anterior. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

44 Erros - Exemplo Solução Para dois termos temos e x = 1 + x e 0,5 = 1 + 0, 5 O erro verdadeiro pode ser calculado como Valor Verd. - Valor Aprox. ε v = Valor Verd. = 1, , 5 1, = = 9, 02% O erro aproximado pode ser calculado por Aprox. Atual - Aprox. Anterior ε a = Aprox. Atual = 1, 5 1 1, 5 = = 33, 33% Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

45 Exemplo Solução Para três termos temos e x = 1 + x + x 2 2! e0,5 = 1 + 0, 5 + (0, 5)2 2 = 1, 625 O erro verdadeiro pode ser calculado como Valor Verd. - Valor Aprox. ε v = Valor Verd. = 1, , 625 1, = = 1, 43% O erro aproximado pode ser calculado por Aprox. Atual - Aprox. Anterior ε a = Aprox. Atual = 1, 625 1, 5 1, 625 = = 7, 69% Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

46 Erros - Exemplo Solução Para quatro termos temos e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! e0,5 = 1 + 0, 5 + (0, 5)2 2 + (0, 5)3 6 = 1, 6458 O erro verdadeiro pode ser calculado como Valor Verd. - Valor Aprox. ε v = Valor Verd. = 1, , , = 0, 0017 = 0, 17% O erro aproximado pode ser calculado por Aprox. Atual - Aprox. Anterior ε a = Aprox. Atual = 1, , 1, 625 1, 6458 = = 1, 27% Métodos Numéricos Professor Tenani / 51

47 Erros - Exemplo Solução Todos esses cálculos podem ser resumidos em Termos Resultados ε v (%) ε a (%) ,3 2 1,5 9,02 33,3 3 1,625 1,44 7,69 4 1, ,175 1,27 5 1, ,0172 0, , , ,0158 Portanto, depois que seis termos são incluídos, o erro aproximado cai abaixo de ε t = 0, 05% e os cálculos podem ser encerrados. Métodos Numéricos Professor Tenani / 51